第四章(第三節(jié))

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。PAGE第頁/共頁第四章第三節(jié)二維延續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問題:已知二維延續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為,為某一延續(xù)函數(shù)。求的概率密度.普通主意:記,,.下面給出二維延續(xù)型隨機(jī)變量的幾個(gè)詳細(xì)的函數(shù)的分布的求解主意.的分布實(shí)例:一可變電路中,兩可變電阻和串聯(lián)聯(lián)接,則總電阻.設(shè)二維延續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為.對(duì)隨意實(shí)數(shù),記,,上式表明:是延續(xù)型隨機(jī)變量,且其概率密度為.此積分的計(jì)算主意:有向直線:,沿直線,增強(qiáng)方向;即參數(shù)方程,.第二類曲線積分;所以.(第二類曲線積分及計(jì)算主意:設(shè)曲線的方程為,則有)倘若與自立,此時(shí),,右端的積分稱為函數(shù)與的卷積,記為,即.二、的分布實(shí)際例題:一電子器件由兩個(gè)部件并聯(lián)組成,兩個(gè)部件的壽命分離為和,則器件的壽命為.設(shè)二維延續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為,分布函數(shù)為.求的分布函數(shù)和概率密度。的分布函數(shù)的求法：對(duì)隨意實(shí)數(shù),因?yàn)?，所以的分布函?shù) ,求有兩種算法：,)的概率密度.求概率密度的另一個(gè)主意：因?yàn)?，所以。例。倘若與自立,此時(shí)，有,.上述結(jié)果不難推廣到個(gè)隨機(jī)變量的情形.設(shè)是個(gè)互相自立的隨機(jī)變量,的概率密度為,分布函數(shù)為,.則的分布函數(shù)為;異常地,當(dāng)互相自立,且具有相同的概率分布(概率密度為,分布函數(shù)為,)時(shí),有.三、的分布實(shí)際例題:一個(gè)系統(tǒng)由兩個(gè)部件串聯(lián)組成,兩個(gè)部件的壽命分離為和,則系統(tǒng)的壽命為設(shè)二維延續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為,分布函數(shù)為.求隨機(jī)變量的分布函數(shù)和概率密度.求隨機(jī)變量的分布函數(shù)的主意：主意一；主意二,主意三;(有兩種計(jì)算主意)的概率密度。倘若與自立,此時(shí).上述結(jié)果不難推廣到個(gè)隨機(jī)變量的情形.設(shè)是個(gè)互相自立的隨機(jī)變量,的概率密度為,分布函數(shù)為,.則的分布函數(shù)為;異常地,當(dāng)互相自立,且具有相同的概率分布(概率密度為,分布函數(shù)為,)時(shí),.計(jì)算題舉例例1設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為,試求的概率密度.解(I)首先畫出使的區(qū)域D,(II)公式,,當(dāng)或時(shí),直線AB與D不相交,在直線AB上,,所以;(2)當(dāng)時(shí),;(3)當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;即得Z=X+Y的概率密度.定理1設(shè),,且與互相自立,則有順從正態(tài)分布.證實(shí)按照題設(shè)條件知,的概率密度為,, 的概率密度為,的概率密度為,即得.我們已有結(jié)果:設(shè),則,。結(jié)合前面的結(jié)果,我們得到設(shè),,且與互相自立,則有,;;.這個(gè)結(jié)論可推廣到普通正態(tài)分布的線性函數(shù).可以證實(shí)如下定理定理設(shè),,且互相自立,為不全為零的常數(shù),為常數(shù).則有順從正態(tài)分布.(這個(gè)結(jié)果要求記著,并會(huì)用)例3設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為,求分布函數(shù),邊沿分布函數(shù);求的概率密度;求的概率密度.解(1),(畫出各種情形的積分區(qū)域,結(jié)合被積函數(shù)不為零的范圍,定出有效積分限).()當(dāng)或時(shí),,,()當(dāng),時(shí),,()當(dāng),時(shí),,()當(dāng),時(shí),,()當(dāng)時(shí),,所以;;;(2),(注重取值,僅取直線經(jīng)過的點(diǎn)上的值,直線不經(jīng)過的點(diǎn)取不到)故(3),,,,故.(2),(3)的另一種解法(2)(注重有效積分區(qū)域及變化)(i)當(dāng)時(shí),;(ii)當(dāng)時(shí),,(iii)當(dāng)時(shí),(iv)當(dāng)時(shí),,即得,故(3),當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,即,故.P125，習(xí)題28設(shè)某系統(tǒng)LK由三個(gè)自立子系統(tǒng)組成，子系統(tǒng)的壽命的概率密度為,，試求系統(tǒng)LK的壽命X的概率密度（注：子系統(tǒng)3為備用，即當(dāng)子系統(tǒng)1，2均失效時(shí)，子系統(tǒng)3將自動(dòng)接通繼續(xù)工作）。解按照題意，互相自立.令,則系統(tǒng)LK的壽命，子系統(tǒng)的壽命的分布函數(shù)為，的分布函數(shù)為，的概率密度為，的概率密度為，與互相自立，的概率密度為，的概率密度，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，