第07講二項(xiàng)式定理（人教A版2019選擇性）（原卷版）

第07講二項(xiàng)式定理【人教A版2019】·模塊一二項(xiàng)式定理·模塊二二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一二項(xiàng)式定理1．二項(xiàng)式定理一般地，對(duì)于任意正整數(shù)n，都有

=++++++.(*)

公式(*)叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式，其中各項(xiàng)的系數(shù)(k∈{0,1,2,,n})叫做二項(xiàng)式系數(shù)，叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第k+1項(xiàng)：=.(2)二項(xiàng)展開式的規(guī)律

①二項(xiàng)展開式一共有(n+1)項(xiàng).

②(n+1)項(xiàng)按a的降冪b的升冪排列.

③每一項(xiàng)中a和b的冪指數(shù)之和為n.【考點(diǎn)1求二項(xiàng)展開式】【例1.1】（2023下·北京通州·高二統(tǒng)考期中）二項(xiàng)式x+23的展開式為（

A．x3+6xC．x3+12x【例1.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列不屬于x?23的展開式的項(xiàng)的是（

A．x3 B．6x2 C．12x【變式1.1】（2023下·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）x?yx+y10展開式中的項(xiàng)數(shù)為（A．11 B．12 C．22 D．2【變式1.2】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）(x＋2)n的展開式共有11項(xiàng)，則n等于（

）A．9 B．10 C．11 D．8【考點(diǎn)2

求展開式的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)】【例2.1】（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）二項(xiàng)式2x?1x3A．160 B．?80x C．80x3 【例2.2】（2023下·福建三明·高二?？茧A段練習(xí)）在x?1x24的展開式中，A．?4 B．4 C．?6 D．6【變式2.1】（2023·北京西城·北京師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）在x+2xA．1 B．3 C．6 D．12【變式2.2】（2023下·廣東珠?！じ叨？计谥校┤?x+a)5的展開式中x2的系數(shù)是80，則實(shí)數(shù)a的值是（A．1 B．2 C．3 D．4模塊二模塊二二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)楊輝三角——二項(xiàng)式系數(shù)表

當(dāng)n依次取1,2,3,時(shí)，觀察的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)：從中我們可以看出，左側(cè)三角是根據(jù)二項(xiàng)式定理得到的，右側(cè)三角是算出對(duì)應(yīng)的組合數(shù)的值后所得結(jié)果，由此我們可以發(fā)現(xiàn)以下性質(zhì)：

①每一行中的二項(xiàng)式系數(shù)是對(duì)稱的，如第一項(xiàng)與最后一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.

②每一行兩端都是1，而且從第二行起，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和.

③從第二行起，每一行的二項(xiàng)式系數(shù)從兩端向中間逐漸增大.

④第一行的兩個(gè)數(shù)之和為2=，第二行的三個(gè)數(shù)之和為4=，，第六行的各數(shù)之和為，，第n行的(n+1)個(gè)數(shù)之和為.(2)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì)稱性與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等(即)增減性當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大；當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸減小，因此二項(xiàng)式系數(shù)在中間取得最大值最大值當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，展開式的中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，展開式的中間兩項(xiàng)與的二項(xiàng)式系數(shù)，相等且最大各二項(xiàng)式

系數(shù)的和【考點(diǎn)1

用賦值法求系數(shù)和問題】【例1.1】（2023上·福建莆田·高二?？计谀┤?1+x)9=a0+A．1 B．513 C．512 D．511【例1.2】（2023下·重慶·高二統(tǒng)考期末）已知1?4x2023=a0+A．?2 B．?1 C．0 D．1【變式1.1】（2023下·高二單元測(cè)試）若1+2x21=a0+A．－2 B．－1 C．1 D．2【變式1.2】（2023下·廣東湛江·高二?？计谥校┤?2x?1)10=a0A．a(chǎn)1+aC．a(chǎn)2=160 【考點(diǎn)2多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題】【例2.1】（2023上·遼寧丹東·高三統(tǒng)考期中）1?2xy(x+y)6的展開式中A．55 B．?70 C．65 D．?25【例2.2】（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若4x?mx?25的展開式中的x3的系數(shù)為?600，則實(shí)數(shù)m=A．8 B．7 C．9 D．10【變式2.1】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）1+x+13xA．120 B．80 C．60 D．40【變式2.2】（2023下·山東菏澤·高二?？茧A段練習(xí)）在2x+ax+2x6的展開式中，x2A．3204 B．?160 C．160 D．?320【考點(diǎn)3求展開式中系數(shù)最大（?。┑捻?xiàng)】【例3.1】（2023下·上海長(zhǎng)寧·高二?？计谀┒?xiàng)式1?x4n+1n∈N,n≥1的展開式中，系數(shù)最大項(xiàng)的是（A．第2n+1項(xiàng) B．第2n+1項(xiàng)和第2n+2項(xiàng)C．第2n項(xiàng) D．第2n+2項(xiàng)【例3.2】（2023·江西南昌·江西師大附中?？既＃┤?x2?A．第二項(xiàng) B．第三項(xiàng) C．第四項(xiàng) D．第五項(xiàng)【變式3.1】（2023下·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）已知在x?23xnA．6 B．8 C．9 D．11【變式3.2】（2023·浙江·?？寄M預(yù)測(cè)）若二項(xiàng)式2x+1xnn∈N?的展開式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，若展開式的有理項(xiàng)中第kA．5 B．6 C．7 D．8【考點(diǎn)4利用二項(xiàng)式定理證明整除問題或求余數(shù)】【例4.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知m>0，且152021+m恰能被14整除，則m的取值可以是（A．1 B．3 C．7 D．13【例4.2】（2023下·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）若(3x+2)2023=a0+A．0 B．3 C．5 D．8【變式4.1】（2023下·山東泰安·高二統(tǒng)考期中）若a∈N，且502023+a能被17整除，則aA．0 B．1 C．16 D．18【變式4.2】（2023·湖南懷化·統(tǒng)考二模）若(2x+1)100=a0+A．4 B．5 C．6 D．7【考點(diǎn)5

楊輝三角問題】【例5.1】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）根據(jù)楊輝三角，寫出a+b8【例5.2】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）根據(jù)楊輝三角，我們可以得到很多與組合數(shù)有關(guān)的性質(zhì)．例如，在下圖中，C1C2……(1)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，猜想：Crr+(2)你還能發(fā)現(xiàn)有關(guān)組合數(shù)的哪些性質(zhì)？【變式5.1】（2023上·湖南岳陽·高一?？奸_學(xué)考試）閱讀材料，完成相應(yīng)任務(wù)：“賈憲三角”又稱“楊輝三角”，在歐洲則稱為“帕斯卡三角”(如圖所示)，它揭示了(a+b)n(n為非負(fù)數(shù)根據(jù)上述規(guī)律，完成下列問題：(1)直接寫出(a+b)5(2)(a+1)8的展開式中a(3)利用上述規(guī)律求115【變式5.2】（2023下·安徽蕪湖·高二統(tǒng)考期末）楊輝是我國古代數(shù)學(xué)史上一位著述豐富的數(shù)學(xué)家，著有《詳解九章算法》?《日用算法》和《楊輝算法》，楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》給出了如下圖1所示的表，我們稱這個(gè)表為楊輝三角，圖2是楊輝三角的數(shù)字表示，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早500年左右，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.楊輝三角本身包含了很多有趣的性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，可以解決很多數(shù)學(xué)問題.性質(zhì)1：楊輝三角的第n行就是(a+b)n性質(zhì)2（對(duì)稱性）：每行中與首末兩端“等距離”之?dāng)?shù)相等，即Cn性質(zhì)3（遞歸性）：除1以外的數(shù)都等于肩上兩數(shù)之和，即Cn性質(zhì)4：自腰上的某個(gè)1開始平行于腰的一條線上的連續(xù)n個(gè)數(shù)的和等于最后一個(gè)數(shù)斜右下方的那個(gè)數(shù)，比如：1+2+3+4+5=15,1+3+6+10=20；請(qǐng)回答以下問題：(1)求楊輝三角中第8行的各數(shù)之和；(2)證明：Cn(3)在(1+x)2+(1+x)模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）二項(xiàng)式a+b6的展開式中共有（

）項(xiàng)A．5 B．6 C．7 D．82．（2023下·江西贛州·高二?？茧A段練習(xí)）二項(xiàng)式x2?2A．?160x3 B．240x8 3．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）yx+mx?y7的展開式中x3y4A．2 B．1 C．?1 D．?24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在3x?1xnA．二項(xiàng)式系數(shù)和為32B．各項(xiàng)系數(shù)和為128C．常數(shù)項(xiàng)為?135D．常數(shù)項(xiàng)為1355．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知x?2yn的展開式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中的x5yA．―4 B．84 C．―280 D．5606．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若x2?3A．314 B．421 C．?47．（2023下·山東菏澤·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)a∈Z，且0≤a≤13，若512023+a能被13整除，則aA．0 B．1 C．11 D．128．（2023上·全國·高三階段練習(xí)）已知x3+ax6A．43,52 B．43,9．（2023上·浙江·高一階段練習(xí)）x2?x?26=aA．?32 B．0 C．32 D．6410．（2023下·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，它揭示了二項(xiàng)式展開式中的組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示，則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（

）楊輝三角A．在第10行中第5個(gè)數(shù)最大B．第2023行中第1011個(gè)數(shù)和第1012個(gè)數(shù)相等C．CD．第6行的第7個(gè)數(shù)、第7行的第7個(gè)數(shù)及第8行的第7個(gè)數(shù)之和等于9行的第8個(gè)數(shù)11．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）用二項(xiàng)式定理展開下列各式：(1)3a(2)2x12．（2023下·甘肅金昌·高二?？计谥校?/p>