高等數(shù)學上冊教案

高等數(shù)學教案

一、課程的性質(zhì)與任務

高等數(shù)學是計算機科學與技術；信息管理與信息系統(tǒng)兩個專業(yè)

的一門重要的基礎理論課，通過本課程的學習，也是該專業(yè)的核心

課程。要使學生獲得“向量代數(shù)”與“空間解析幾何”，“微積分”,

“常微分方程與無窮級數(shù)”等方面的基本概論、基本理論與基本運

算；同時要通過各個教學環(huán)節(jié)逐步培訓學生的抽象概括能力、邏輯

推理能力、空間想象能力和自學能力。在傳授知識的同時，要著眼

于提高學生的數(shù)學素質(zhì)，培養(yǎng)學生用數(shù)學的方法去解決實際問題的

意識、興趣和能力。

第一章：函數(shù)與極限

教學目的與要求18學時

1.解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會建立簡單應用問題中的函數(shù)

關系式。

2.解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。

3.理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。

4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。

5.理解極限的概念,理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、

右極限之間的關系。

6.掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則。

7.了解極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極

限求極限的方法。

8.理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小

求極限。

9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類

型。

10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的

性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質(zhì).

第一節(jié)：映射與函數(shù)

一、集合

1、集合概念

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體叫做集合。組成這個集合的事物稱

為該集合的元素

表示方法：用A,B,C,D表示集合；用a,b,c,d表示集合中的

元素

l)A={ai,a2,a3,....}

2)4={一的性質(zhì)P}

元素與集合的關系：Aa&A

一個集合，若它只含有有限個元素，則稱為有限集；不是有限集的集合

稱為無限集。

常見的數(shù)集：N,Z,Q,R,N+

元素與集合的關系：A、B是兩個集合，如果集合A的元素都是集合

B的元素，則稱A是B的子集，記作AuB。

如果集合A與集合B互為子集，則稱A與B相等，記作A=B

若作AuB且AHB則稱A是B的真了?集。

空集。：0uA

2、集合的運算

并集AuB：ADB={X|XwA曲e8}

交集AcB：AcB={x|xeAJLre5}

差集A\B：A\B={x|xe

全集I、E補集4：

集合的并、交、余運算滿足下列法則：

交換律、A<JB=B<JAAC5=3CA

結(jié)合律、(AD3)UC=Au(BuC)

(AcB)cC=Ac(8cC)

分配律(AUB)CC=(ACC)D(8CC)

(AnB)uC=(AuC)n(BuC)

對偶律(AD3)C=A'T|B，(Ac3)c=A'、D3'

笛卡兒積AXB={(x,y)|xeA且yeB}

3、區(qū)間和鄰域

開區(qū)間(a,加

閉區(qū)間[a,b]

半開半閉區(qū)間(a,“\a,b)

有限、無限區(qū)間

鄰域：U(a)U(a,S)=U|a—SYxYa+S}

a鄰域的中心3鄰域的半徑

去心鄰域6(a,b)

左、右鄰域

二、映射

1.映射概念

定義設X,Y是兩個非空集合，如果存在一個法則/,使得對X中

的每一個元素X,按法則/,在Y中有唯一確定的元素y與之對應，

則稱/為從X到Y(jié)的映射，記作

/：Xfy

其中y稱為元素x的像，并記作/(x),即y=/(x)

注意：1)集合X；集合Y；對應法則/

2)每個X有唯一的像；每個Y的原像不唯一

3)單射、滿射、雙射

2、映射、復合映射

三、函數(shù)

1、函數(shù)的概念：

定義：設數(shù)集DuR,則稱映射R為定義在D上

的函數(shù)記為y=/(x)xeD

自變量、因變量、定義域、值域、函數(shù)值

用/、g、<P

函數(shù)相等：定義域、對應法則相等

自然定義函數(shù)；單值函數(shù)；多值函數(shù)、單值分枝.

例：1)y=2

2)y=N

1XAO

3)符號函數(shù)y=<0x=0

—1XY0

4)取整函數(shù)y=[x](階梯曲線)

2五0<x<l

5)分段函數(shù)y=<

1+xx>1

2、函數(shù)的幾種特性

1）函數(shù)的有界性（上界、下界；有界、無界）

有界的充要條件：既有上界又有下界.

注：不同函數(shù)、不同定義域，有界性變化。

2）函數(shù)的單調(diào)性（單增、單減）在XI、X2點比較函數(shù)值

/（內(nèi)）與/（占）的大?。ㄗⅲ号c區(qū)間有關）

3）函數(shù)的奇偶性（定義域?qū)ΨQ、/（幻與/（-X）關系決定）

圖形特點（關于原點、Y軸對稱）

4）函數(shù)的周期性（定義域中成立：/（%+/）=/（%））

3、反函數(shù)與復合函數(shù)

反函數(shù)：函數(shù)，：。->/（。）是單射，則有逆映射/T（y）=x,稱此映

射/t為/函數(shù)的反函數(shù)

函數(shù)與反函數(shù)的圖像關y=x于對稱

復合函數(shù)：函數(shù)M=g（y）定義域為D”函數(shù)y=/（x）在D上有定義、

且了（。）匚。1。則〃=g（/（x））=go/（x）為復合函數(shù)。（注意：構(gòu)成

條件）

4、函數(shù)的運算

和、差、積、商（注：只有定義域相同的函數(shù)才能運算）

5、初等函數(shù)：

1）幕函數(shù)：y=x’2）指數(shù)函數(shù)：y=a*

3）對數(shù)函數(shù)y=log“（x）

4）三角函數(shù)

y=sin(x),y=cos(x),y=tan(r),y=cot(r)

5)反三角函數(shù)

y=arcsin(x),y=arccor>

y=arctan?>=arccot⑺

以上五種函數(shù)為基本初等函數(shù)

6)雙曲函數(shù)

,ex-e~x.ex+e~x

shx=--------cnx=---------

22

shxex—e~x

tnx=----=-------—

chxex+e~x

注：雙曲函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性。

雙曲函數(shù)公式

sh(x+y)=shx-chy+chx-shy

sh(x—y)=shx-chy—chx-shy

ch(x+y)=chx-chy+shx-shy

ch(x—y)=chx-chy—shx-shy

y=arshx

反雙曲函數(shù)：-rchx

y=arthx

作業(yè)：同步練習冊練習一

第二節(jié)：數(shù)列的極限

一、數(shù)列

數(shù)列就是由數(shù)組成的序列。

1)這個序列中的每個數(shù)都編了號。

2)序列中有無限多個成員。

一般寫成：a,a2a3a4..........an..........

縮寫為｛以｝

例1數(shù)列是這樣一個數(shù)列｛x“｝,其中

x“=—，n=1,2,3,4,5..........

n

也可寫為：

]1111

2345.................

可發(fā)現(xiàn)：這個數(shù)列有個趨勢，數(shù)值越來越小，無限接近0,記為

lim—=0

"—8n

1、極限的￡—N定義：

V￡A()BN稱數(shù)列氏｝的極限

為a,記成1inK=a

“Toon

也可等價表述：

1)Ve>03NV〃>Np｛xnd)<￡

2)Ve>0BNV〃>NxnGO(a￡)

極限是數(shù)列中數(shù)的變化總趨勢，因此與數(shù)列中某個、前幾個的值沒

有關系。

二、收斂數(shù)列的性質(zhì)

定理1:如果數(shù)列｛/｝收斂，那么它的極限是唯一

定理2如果數(shù)列｛怎｝收斂，那么數(shù)列｛%?｝一定有界

定理3：如果limx“=a且a>0(a<0)那么存在正整數(shù)N>0,當n>N時，

X->QO

X,,>o(x?<0)

定理4、如果數(shù)列｛x“｝收斂于a那么它的任一子數(shù)列也收斂，且收斂于a。

第三節(jié)：函數(shù)的極限

一、極限的定義

1、在與點的極限

1)玉)可在函數(shù)的定義域內(nèi)，也可不在，不涉及/在玉)有沒有定義,

以及函數(shù)值/(%)的大小。只要滿足：存在某個。>0使：

(X?！猟x<>)J(X。，“<>+Q)uZ)。

2)如果自變量》趨于尤。時，相應的函數(shù)值/(x)有一個總趨勢-一

以某個實數(shù)A為極限，則記為：lim/(x)=A。

?rfxo

形式定義為：

,

V￡>O-BJ-Vx(O<|x-xo|<J)|/(x)-i4|

注：左、右極限。單側(cè)極限、極限的關系

2、X—>8的極限

設：y=/(x)xe(-8,+o。)如果當時函數(shù)值有一個總趨勢....該

曲線有一條水平漸近線y=A---則稱函數(shù)在無限遠點8有極限。記為:

lim/(x)=A

在無窮遠點8的左右極限：

/(48)=1im/(x)

XT+oo

/(9)=lim/(x)

X—>-00

關系為：

lim/(x)=Aolimf(x)=A=limf(x)

X—>8x—>-KO

二、函數(shù)極限的性質(zhì)

1、極限的唯一性

2、函數(shù)極限的局部有界性

3、函數(shù)極限的局部保號性

4、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系

第四節(jié)：無窮小與無窮大

一、無窮小定義

定義：對一個數(shù)列｛居｝,如果成立如下的命題：

<￡則稱它為無窮小量，即

limxn=0

X->8

注：1、V3￡的意義；

2、同<￡可寫成k“-q<￡;p(0,Xn)<￡

3、上述命題可翻譯成：對于任意小的正數(shù)￡,存在一個號碼

N,使在這個號碼以后的所有的號碼〃，相應的須與極限0的距離比這

個給定的￡還小。它是我們在直觀上對于一個數(shù)列趨于0的認識。

定理1在自變量的同一變化過程Xf%(或X-8)中，函數(shù)/(X)

具有極限A的充分必要條件是f(x)=A+a,其中a是無窮小。

二、無窮大定義

一個數(shù)列卜“},如果成立：

>G那么稱它為無窮大量。記成：

limx”=00。

X—>8

特別地，如果PG>U?3NNn>N?x〃>G,則稱為正無窮大，記

成limx“=+oo

XT8

特別地，如果VG>0與N?V〃>N-x,〈一G,則稱為負無窮大,

記成lim%“=—

Xf00

注：無法區(qū)分正負無窮大時就籠統(tǒng)地稱之為無窮大量。

三、無窮小和無窮大的關系

定理2在自變量的同一變化過程中，如果/(x)為無窮大，則」一

/(x)

為無窮??；反之，如果/(X)為無窮小，且/'(x)。。則一^為無窮大

/(X)

即：非零的無窮小量與無窮大量是倒數(shù)關系：當x“wO時：有

lim=0=>lim—=oo

QOx—>00X

lim=oo=>lim—=0

x<—oox->oox人〃

注意是在自變量的同一個變化過程中

第五節(jié)：極限運算法則

I、無窮小的性質(zhì)

設色｝和｛%｝是無窮小量于是：

(1)兩個無窮小量的和差也是無窮小量：

limxn=0lim=0=>lim(x?±)=0

Xf8x—>00OO

(2)對于任意常數(shù)C,數(shù)列｛c-x,J也是無窮小量：

limxn=0=>lim(c-x,()=0

x—>00x<—00

(3)｝也是無窮小量，兩個無窮小量的積是一個無窮小

量。

1inx?=01iny?=0=>1i小.%)=0

X->8Xf8X->8

(4)｛xj｝也是無窮小量：

limxn=0。limlx,1=0

x->xoXTxJ

(5)無窮小與有界函數(shù)的積為無窮小。

2、函數(shù)極限的四則運算

1、若函數(shù)/和g在點玉)有極限，則

lim(/(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)

Xf*0>A0A—>xo

2、函數(shù)/在點X。有極限，則對任何常數(shù)”成立

lim(6z?/(%))=a-lim/(%)

3、若函數(shù)/和g在點與有極限，則

lim(/(%)?g(x))=limf(x)-limg(x)

x—A—>.r0x7玉)

3、若函數(shù)/和g在點與有極限，并且limg(x)=〃wO,

貝!)

c11mf(x)a

----

11rr^(x)1

XfX。

極限的四則運算成立的條件是若函數(shù)/和g在點X。有極限

例：求下述極限

[.x-32x-3

lim----lim

7九一一9—5x+4

3X3+4X2+2

lim-------；---

32

X—>007x+5x-3I/2x-x+5

2X3-X2+5sin%

limhm----

XTOO3?-2x-lXf8x

4、復合函數(shù)的極限運算法則

定理6設函數(shù)y=/[g(x)｝是由函數(shù)y=/(〃)與M=g(x)復合而成,

/[g(x)]在點/的某去心鄰域內(nèi)有定義，若limg(仕)=%,

0

lim/(W)=A,且存在品〉0,當xw”(X0,bo)時，有

g(x)#"o，則

lim/[^(x)]=limf(u)=A

XT/NT%

第六節(jié)：極限存在準則兩個重要極限

定理1夾逼定理：三數(shù)列｛5｝、｛%｝和｛z“｝,如果從某個號碼起成

立：1)xn<yn<z“，并且已知｛x,J和｛z“｝收斂,

2)limx“=a=limz”，則有結(jié)論：

X—>00X—>00

limyn=a

定理2單調(diào)有界數(shù)列一定收斂。

單調(diào)增加有上界的數(shù)列一定收斂；單調(diào)減少有下界的數(shù)列一定收

斂。

smx

例：證明:lim----1

x->0x

..tan11-cosjc

例：lim-----lim----：——

x->0%xf0%"

「arcsinx

lim-------

10x

lim(l-L),的極限

證明:lim(lH—)'有界。求

x->8

xXf8X

第七節(jié)：無窮小的比較

定義：若a,/?為無窮小

lim^=O

a

lvim—P=oo

a

且

lvim—P=c^0n

a

p八

hrm-^r=c#0

aK

lim—=1

a

高階、低階、同階、k階、等價a?夕

1、若a,1為等價無窮小則（3=。+。（。）

2、若a?〃、夕?夕且limg存在，

貝小=

,.tan2x「sinx

例：lim——-lim-------

Isin5xXTOX5+3x

a+x2r-i

lrim---------------

xf°cosx-1

第八節(jié)：函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

一、函數(shù)在一點的連續(xù)性

函數(shù)/在點與連續(xù)，當且僅當該點的函數(shù)值/(%)、左極限

/(xo-o)與右極限y(xo+o)三者相等：

y(xo-o)=/(xo)=/(xo+o)

或者：當且僅當函數(shù)/在點X。有極限且此極限等于該點的函數(shù)值。

lim/(x)=/(%?)其形式定義如下：

XT殉

Ve<()3^VX|-X-x0|<^)|/U)-/(x0)|

函數(shù)在區(qū)間(a,b)連續(xù)指：區(qū)間中每一點都連續(xù)。

函數(shù)在區(qū)間［a,b］連續(xù)時注意端點。

注：左右連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù)(注意端點)

連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)且不間斷的曲線

二、間斷點

若：/(%—0)=./?(%)=.f(Xo+°)中有某一個等式不成立，就間

斷，分為：

1、第一類間斷點：

可去型：/(松—0)=f(+0)但limf(x)*/(xo)

Xox

^x0

跳躍型：/(xo+O)^/(xo-O)

即函數(shù)在點的左右極限皆存在但不相等，曲線段上出現(xiàn)一個跳躍。

2、第二類間斷點與：左極限/(Xo—°)與右極限/(/+0)兩者

之中至少有一個不存在(無窮型間斷點和振蕩型間斷點)

例：見教材

第九節(jié)：連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性

一、連續(xù)函數(shù)的四則運算

l.lim/(%)=f(Xo)且limg(x)=g(%),

x—X—>x0

=>lim{a'/(%)+。g(x)}=a'/(x0)+/3-g(x0)

2limf(x)=f(x0)且limg(x)=g(x0),

x->xoXfXo

=>Hm{/(x)*g(x)}=/(x)*g(x)

XT%。00

3.limf(x)=/(%)且limg(x)=g(x0)/0，

A—>AQXT/

=lim包=3

f。g(%)g(%0)

反函數(shù)連續(xù)定理：如果函數(shù)f:y=/(x)xGDf是嚴格單調(diào)增加

(減少)并且連續(xù)的，則存在它的反函數(shù)/』：x=f-'(y)yeDj并

且/t也是嚴格單調(diào)增加(減少)并且連續(xù)的。

注：1)反函數(shù)的定義域就是原來的值域。

2)通常慣用X表示自變量，Y表示因變量。反函數(shù)也可表成

)=尸3XGD尸

復合函數(shù)的連續(xù)性定理：

設函數(shù)f和g滿足復合條件況guDf,若函數(shù)g在點Xo連續(xù)；

g(xo)=m°,又若/函數(shù)在點/連續(xù)，則復合函數(shù)/og在點X。連續(xù)。

注：復合函數(shù)的連續(xù)性可以保證極限號與函數(shù)符號的交換:

limf(g(x))=/(lim^(x))

1玉)

從這些基本初等函數(shù)出，通過若干次四則運算以及復合，得到的種種函數(shù)

統(tǒng)稱為初等函數(shù)，并且：初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

第十節(jié)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

一、最大、最小值

設函數(shù)：y=.f(x),在上有界，現(xiàn)在問在值域

D={y|y=/(%),%G。}

中是否有一個最大的實數(shù)？如果存在，譬如說它是某個點與e。的函數(shù)

值>o=/(/)，則記%=max{/(x)}叫做函數(shù)在D上的最大值。

xeD

類似地,如果Df中有一個最小實數(shù),譬如說它是某個點々GDf的

函數(shù)值%=/(％2)，則記%=min{/(%)}稱為函數(shù)在上的最小

XGDf

值。

二、有界性

有界性定理：如果函數(shù)/在閉區(qū)間口力］上連續(xù)，則它在句上有

界。

三、零點、介值定理

最大值和最小值定理：如果函數(shù)/在閉區(qū)間上連續(xù)則它在

［。力］上有最大值和最小值，也就是說存在兩個點G和使得

/(G</(x)</(7),xwb］

亦即

/($■)=niin{/(x)}/S)=ma"(%)}

xe［a,b\xe［a,b\

若Xo使/(%)=0,則稱Xo為函數(shù)的零點

零點定理：

如果函數(shù)/在閉區(qū)間［a,“上連續(xù)，且/在區(qū)間［a,”的兩個端點

異號：/(a)*/(0)<0則至少有一個零點Je(a,。)，使/(4)=0

中值定理：

如果函數(shù)/在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則/在\a,b］上能取到它的最大

值和最小值之間的任何一個中間值。

作業(yè)：見課后各章節(jié)練習。

第二章導數(shù)與微分

教學目的與要求22學時

1、理解導數(shù)和微分的概念與微分的關系和導數(shù)的幾何意義，會

求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數(shù)的物理意義，

會用導數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間

的的關系。

2、熟練掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法則，熟練

掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，了解微分的四則運算法則和

一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。

3、了解高階導數(shù)的概念，會求某些簡單函數(shù)的n階導數(shù)。

4、會求分段函數(shù)的導數(shù)。

5、會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階、二階導數(shù)，會

求反函數(shù)的導數(shù)。

一、導數(shù)概念(1)

/

I、定義f(x0)=lim電

Ax-?OAx

=limf(Xo+Ax)-f(x())

Axf0Ax

..f(x)-f(x)

=hm.......—0

X—>XQX-XQ

f/(x)=limf(x+-x)-f(x)

Axf0Ax

左導數(shù)

\f(x+Ax)-f(x)f(x)-f(x)

f.(x)=lrim——-0-----------0=lim--------0-

Ax->0'取xfx()-X-X。

右導數(shù)

\rf(x0+Ax)-f(x0)f(x)-f(x0)

f+(x)=lim——-------------=lim---------

+

Ax.o+以x->x0x-x。

，f/(Xo)=Agf/(Xo)=f；(Xo)=A

可以證明：

可導一連續(xù)。即可導是連續(xù)的充分條件。

連續(xù)是可導的必要條件。

左右導數(shù)(注：與左右極限關系)

2、導數(shù)的幾何意義

曲線y=f(x)在點(X0,y0)處切線：

y-yo=f/(xoXx-xo)

例1：討論xsin—**0在*=0處可導性

f(x)=<X

0x=0

解：:limf(x)=limxsin—=0=f(0)

x-0xf0x

f(x)在x=0連續(xù)

lim*x)-f(。)=limsiIU-不存在?*-f(x)在

x~^0X—0x~^0X

x=0不可導

例2：已知f/(X0)存在

則n1n與士型二區(qū)2=2F(XO)

…h(huán)-------

limf(x<)-5h)-f(x°)=_5f，(x0)

i。h---------

［淞/禺+3〃)-/(/-1)

/ioh

=limf(x0+3h)-f(x0)_f(x°-h)-f(x。)

h…h(huán)h

=4-(x°)

例3：設函數(shù)f(衿可微，

則limf"x+Ax)-f2(x)=2f(x)fz(x)

AxfOAX----------

例4：

設xx<x

以f(X)=0

ax+bx>0

為使f(x)在x=x()處可導，應如何選取常數(shù)a、b

解：首先f(X)必須在xo連續(xù)

limf(x)=limx2=XQ

X-?X0-X—>X0.

limf(x)=limax+b=ax0H-b

xfx°+x—>XQ+

Aax+b=Xn①

22

XX0

f_(x)=hm------------=limXo

x-?X0-x-x0xfx0

=limx+x0=2x0

x->x(f

f：(x)=lim網(wǎng)-帆)=]imax+b-x0

+

Xfxo+X-Xox->x0X-Xo

..ax-ax

hm---------0=a

xfx()+x-x

0（由①得）

f/(x0)存在

a=2x0從而b=-x0

例5：f(x)=x(x-l)(x-2).......(x-9),則f(o)=—9!

???f/(O)=limf必f(。)

x->0X-0

=lim(x-l)(x-2).......(x-9)=-9!

x->0

例6：設f(x)在x=0領域內(nèi)連續(xù)，Rm，(x)__=2,

x->oVl+x-1

則f/(O)=l

丁f(0)=limf(x)=0(分母fO)

xf0

...f(x)-f(O)..f(x)

??f(0)=lim------------=lim

xf0x-0xf()x

f(x)Jl+X-11

=hm/-------------=2—=1

x—>oJl+x-1x2

例7：設函數(shù)f(1+x)=af(x),

且f/(0)=b(a,b7^0),

問Q(l)存在否？

解：Q⑴=Hm…)Slim笆她任紇

Ax->0AxAxfOAx

f(Ax)-f(0)"仆

=lrima----------=af(0)=abk

AxfOAx

二、導數(shù)的求法

1、顯函數(shù)導數(shù)

求一個顯函數(shù)的導數(shù)需解決：

①基本初等函數(shù)導數(shù)(PQ;

②導數(shù)四則運算法則(P65)；

③復合函數(shù)與反函數(shù)求導法則(P66)。

定理：

u=(p(x)在X有導數(shù)出,，y=f(u)在對應點U有導數(shù)曳,

dxdu

則復合函數(shù)y=f[(p(x)]在x處也有導數(shù)，

a=曳.曳=f/(u)W(x)。

dxdudx

例1：y=xsin(2x2+1)求y'

解：yZ=sin(2x2+l)+x-4xcos(2x2+1

例2：求y

/12xx

解：v=------=-----

2l+x21+x2

例3：y=arctgV7求y

解：y/=—!____L

1+x2Vx

1

arctg—/

例4：y=ax求y

解：

例5：y=ln3(2x+1)求y，

解：y/=31n2Qx+l)—

2x+1

例6：例Jx+Jx+g求y/

解：y_i

2個x+Vx+Vx

例7：y=xsinx求y/

繇v_psinxlnxzssiinnxxfsinx.1

解：y-ey/=xi+cosx-InxI

p>x?ba/

例8：y=aD+x+bv求y

解：yz=abIna-bxlnb+abxa-1+bxInb-axa-1

例9：i求y/

Ve2x+1

解：y=-^[lne2x-ln(e2x+1)]=x-^ln(e2x+1

/?12e2x1

y=1---------------=----------

2x2x

2e+1l+e

高階導數(shù)、二階:

d2yf《X0+Ax)-f/(x())

=lim

2

dxx=XQAX->0Ax

二Iim叫曰如)

X—?XQX—XQ

例10：y=f(e2x),fZ(x)=Inx求dy

dx

解：dy_df(e2x)de2x

dxde2xdx

=f/(e2x).2e2x

=lne2x-2e2x=4xe2x

先講微分(后頁)

2、隱函數(shù)導數(shù)參數(shù)方程導數(shù)

如方程F(x,y)=0確定了y=y(x),只需方程兩邊對x求導，注意y-y(x)

例10：求下列隱函數(shù)的導數(shù)

(1)設ysinx—cos(x-y)=0求y，

解：方程兩邊對X求導，

yGinx+ycosx+sin(x-y)?(1-y，)=0

/_ycosx+sin(x-y)

sin(x-y)-sinx

(2)設y=y(x)是由方程6*丫+ln上=0所確定的隱函數(shù)，

x+1

求y/(0)

解：由原方程知當x=0時，y=l，

e

方程兩邊對X求導。

exy(y+xy-....1—-0，將x=0,y=—代入得：

v'y1+xe

—+eyZ（0）-1=0,,ty/（0）=—|1—j

eeVej

（3）y=y（x）是由方程e、+q=e所確定的隱函數(shù)，

試求y/（0）,y〃（0）。

解：方程兩邊對X求導：

eyyz+y+xy/=0①

方程兩邊再對X求導：

eYy"+eY（y，y+2y/+4”=0②

由原方程知，當x=（）時，y=l,代入①得y/（o）=_J_

e

再將x=0,y=1,y/（o）=_J_代入②式，

e

得y"（0）=g

求立

y=t3+ldxdx2

dy2

解：dy_dt_3L_3*2C-2t

dx-dx_2e2t-2

dt

d*端

dy_(dxj_dt_3(2te-21-2t2e-2')--^

dx2-dx-dx-22e21

dt

a

=1t(l-t)e-41

(5)設y=y(x)是由方程組，、、=t?一2t—3所確定的函數(shù)，求：曳。

y--e>sint-1=0dx

解:

dxc3

—=2t-2

dt

dyvv-dy?dyeycost

--eJcost-eJsint—=0—=---------

dtdtdtl-eysint

dy

dy_dt_e、cost

dxdx2(t-l)(l-eysint)

dt

3、分段函數(shù)的導數(shù)

’22

)用—ax+1—,x<0

Duf(x)=a.a(a>0,a^l),

srnx八

----,x>0

、x

求：fZ(x)

x<0,fz(x)=-lna-ax

解：當a

八、xcosx-sinx

x>0,f/(x)=------z------

x

/±a+1---1

f_(0)=lim.KO]lim/—J

x->o-x-()x-(rx

—(ax-1)2

=lim---------=—Ina

X->O-Xa

sinx

f\(0)=limWz他

lim

x"Xx-o+X

sinx-x..COSX-1c

hm---h-m------------=0

x"x，x->o+2x

f/_(0)wf/+(0)

f/(0)不存在，故/(x)=.x<0

x>0

高階導數(shù)(n階)略，

例y=x(2x-(x+3)3

y⑹=4x6!

2)設f(X)在(-8,+8)上具有二階連續(xù)導數(shù)，且f(0)=0,對函

f(x)xWO

數(shù)x

g(x)=

ax=0

(1)確定a的值，使g(x)在(-8,+8)上連續(xù)

(2)對(1)中確定的。，證明g(x)在(-co,+8)上

一階導數(shù)連續(xù)

解：

①「/、「f(x)f(x)-f(O)/

a=limg(x)=lim----=lrim-----------=f(0)

x->0x-?0xx->0x

即當a=P(O),y(x)在x=0連續(xù)，

也就是在(-8,+8)連續(xù)

,、仆—-fz(0)

②g/(0)=lim軟也-8(0)=時_jc--------

xf0xxf0x

rf/(x)rf〃(x)f〃(0)

=lim-----=lim------=------

x-?o2xxfo22

而r><\v好/(x)—f(x)

叩limg(x)=lim------------

xfOx-0x'

11xf(x)+f(x)-f'(x)=limS

m=g(°)

x-X)2

XTO2X

8‘伍)在乂=。連續(xù),即在(-00,+8)連續(xù)

三、微分

y=f(x)

dy=fZ(x)Ax=f/(x)dx

一階微分形式不變y=f(u)

dy=fz(u)du(u自變量)

如y=f(u)u=(p(x)

dy=f/(u)(p/(x)dx=f(u)du(u中間變量)

乂222o2

例：y=e,dy=2xevdx，dy=exdx2=2xexdx

可導----------可微

第三章微分中值定理導數(shù)的應用

教學目的與要求

1掌握并會應用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒

中值定理。

2理解函數(shù)的極值概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方

法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應用。

3.用二階導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、

鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。

4.握用洛必達法則求未定式極限的方法。

5.道曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。

6.了解方程近似解的二分法及切線法。

一、中值定理，泰勒公式(放入泰勒級數(shù)中講)

1.羅爾定理

如f(x)滿足：

(1)在［a,b］連續(xù).

(2)在(a,b)可導.

(3)f(a)=f(b)則至少存在一點1w(a,b)

使口⑹=0

例設g(x)=x(x+l)(2x+l)(3x-1)>則

在區(qū)間(T,0)內(nèi)，方程g/(x)=0

有2個實根；在(-1,1)內(nèi)g〃(x)=0有2個根

例設f(x)在［0,1］可導,且f(0)=f⑴=0,

證明存在r|w(o,i),使f(r))+u>(n)=o。

證：設F(x)=xf(X)在［a,b］可導，F(xiàn)(0)=F(l)

存在r|G(0,l)使F/(T|)=0即f(r|)+r|f/(r|)=0

例設f(x)在［o,1］可導，且f(o)=f(l)=o,

證明存在nF(r|)+F(r|)=O。

解：設F(x)=eXf(x),且Ro)=F(l)由羅爾定理

存在.使F/(r|)=OBPer|f(r|)+er|f/(r|)=O,

亦即f(n)+f/(r|)=O

例習題6

設F(x)=f(x)eg(x)(復合函數(shù)求導)

2、拉格朗日中值定理

如f(x)滿足：①在［a,b］連續(xù)；②在(a,b)連續(xù)，

則存在&G(a,b)

使f(b)-f(a)=f/⑹(b-a)。

推論：⑴如果在區(qū)間I上f［x)三0,則f(x)=c

⑵如果在區(qū)間I上f/(x)〉0(<0),

f(x)在I單增(減)

例對任意滿足岡<1的X,

11-X1.71

都有arete,------+—arcsinx=—

"1+x24

_______1_

f/(x)=—J

1+三2百

1+xVl+x

11+X1+X21

2271-x2l+x22A/1-X2

f(x)=c

???f(o)=；

f(x)=￡

例設(X>。)，證明上<in(l+x)<x

1+x

求導證明

作業(yè)：見各章節(jié)課后習題。

二、洛必達法則

未定形：

如下的函數(shù)極限都是未定形。

0,..x-sinx??

1、一型：如：lim------------型：

0zotanx-x

ooInx八

2、一型：如：lim-----a>0

00Xa

3、（）*8型：如：limxa-Inxa>0

X-?-KC

5、0°型：如：lim產(chǎn)3nx

1+0

I

6^oo°型：如：hm(ctgx)}nx

XT+O

.i

「smx-

7、1型：如：lim(z------)xv

DX

它們的計算不能用函數(shù)極限的四則運算法則,

且它們只表示類型，沒有具體意義。

1、9(上)型的洛必達法則xfa(同理xf8)

0oo

定理：對函數(shù)和，如果:

(1)lim/(x)=0limg(x)=O

x->ax->?

(XT8)(Xf8)

(2)在某個鄰域N(a,5)內(nèi)(x>X后)有導數(shù)

/和g',且g'(x)wO；

f'(