初中數(shù)學(xué)模擬試卷

初中數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題（本大題共14小題，每小題3分，共42分）在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（3分）（2019?蒙陰縣一模）計(jì)算-3-5結(jié)果正確的是（）

A.-8B.-2C.2D.8

【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法計(jì)算解答即可.

【解答】解：-3-5=-8,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

2.（3分）（2019?蒙陰縣一模）如圖，直線“〃〃，直角三角形如圖放置，NOCB=90°,若

【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得N3=N1+/8,再

根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)列式計(jì)算即可得解.

【解答】解：由三角形的外角性質(zhì)可得，N3=/l+/B=65°,

'：a//b,NDCB=90°,

/.Z2=180°-Z3-90°=180°-65°-90°=25°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和

的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

3.（3分）（2017?成都）下列計(jì)算正確的是（）

A.a5+a5=（;10B.a1-ra—c/'C.a3'a2—<^D.（-a3）2--a6

【分析】利用同底數(shù)幕的乘法和除法法則以及合并同類項(xiàng)的法則運(yùn)算即可.

【解答】解：A./+。5=2“5,所以此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.aJ-^a=a6,所以此選項(xiàng)正確；

C.。3加2=。5,所以此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.（-/）2=/，所以此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同底數(shù)事的乘法、除法、黑的乘方及合并同類項(xiàng)等，關(guān)鍵是熟

記，同底數(shù)哥的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減；合并同類項(xiàng)的法則：把同類項(xiàng)的系數(shù)

相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變；同底數(shù)基相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相

力口；幕的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

2

4.（3分）（2017?北京）如果J+2a-1=0,那么代數(shù)式-且）的值是（）

aa-2

A.-3B.-1C.1D.3

【分析】根據(jù)分式的減法和乘法可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后對(duì)次+2〃-1=0變形即可

解答本題.

【解答】解：（〃-且）?小一

aa-2

22

=aYAa

aa-2

=（a+2）（a-2）

aa-2

=a（a+2）

=a2+2a,

,.?。2+2〃-1=0,

cP+z。=1,

???原式=1,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡(jiǎn)求值的方法.

5.（3分）（2019?蒙陰縣一模）計(jì)算3居-61+?的結(jié)果是（）

A.V3-V2B.V3-5V2C.3M-近D.V2-V3

【分析】先把各根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類項(xiàng)即可.

【解答】解：原式=叮-3揚(yáng)2M

=V3-V2-

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的加減法，熟知二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化

成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根

式不變是解答此題的關(guān)鍵.

6.（3分）（2019?蒙陰縣一模）方程/-2x=3可以化簡(jiǎn)為（）

A.（X-3）（x+1）=0B.（x+3）（x-1）=0

C.（x-1）2=2D.（x-1）2+4=0

【分析】先移項(xiàng)，再分解因式，即可得出選項(xiàng).

【解答】解：/-2%=3,

?-2x-3=0,

（x-3）（x+1）=0,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確分解因式，題目比

較好，難度不是很大.

7.（3分）（2019?蒙陰縣一模）世界因愛(ài)而美好，在今年我校的“獻(xiàn)愛(ài)心”捐款活動(dòng)中，九

年級(jí)三班50名學(xué)生積極加獻(xiàn)愛(ài)心捐款活動(dòng)，班長(zhǎng)將捐款情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制成了統(tǒng)

計(jì)圖，根據(jù)圖中提供的信息，捐款金額的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

【分析】由表提供的信息可知，一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是這組數(shù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，而中位

數(shù)則是將這組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┮来闻帕袝r(shí)，處在最中間位置的數(shù)，據(jù)此可

知這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù).

【解答】解：根據(jù)右圖提供的信息，捐款金額的眾數(shù)和中位數(shù)分別是30,30.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、眾數(shù)和中位數(shù)的概念.解答這類題學(xué)生常常對(duì)中位數(shù)

的計(jì)算方法掌握不好而錯(cuò)選.

8.（3分）（2019?蒙陰縣一模）定義一種“十位上的數(shù)字比個(gè)位、百位上的數(shù)字都要小”的

三位數(shù)叫做“V數(shù)”如“729”就是一個(gè)“V數(shù)”.若十位上的數(shù)字為2,則從1,4,5,6

中任選兩數(shù)，能與2組成“V數(shù)”的概率是（）

A.1.B.1.C..AD.W

42104

【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與能與2組成

“V數(shù)”的情況，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖得：

開(kāi)始

他1456

/T\/N/4\/1\

百位456156146145

；共有12種等可能的結(jié)果，能與2組成“V數(shù)”的有6種情況，

能與2組成“V數(shù)”的概率是：&=1.

122

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率.列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)

不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹(shù)狀圖法適合兩步或兩

步以上完成的事件.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

9.（3分）（2019?蒙陰縣一模）若不等式（裝一③的解集為-2<x<3,則。的取值范

3x+2〉4xT

圍是（）

A.a=-2B.a=—C.心-2D.

22

【分析】先把a(bǔ)當(dāng)作已知條件求出不等式組的解集，再與已知解集相比較即可得出a的

值.

上〉a①

【解答】解：｛2,由①得，x>2a+2,由②得，x<3,

3x+2>4x-l（2）

故此不等式組的解集為：2a+2<x<3,

:已知不等式組的解集為-2<x<3,

；.2a+2=-2,解得a=-2.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中

間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

10.（3分）（2012?岳陽(yáng)）如圖，是由6個(gè)棱長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方體擺放而成的，將正方體A

向右平移2個(gè)單位，向后平移1個(gè)單位后，所得幾何體的視圖（）

圖①圖②

A.主視圖改變,俯視圖改變

B.主視圖不變,俯視圖不變

C.主視圖不變,俯視圖改變

D.主視圖改變，俯視圖不變

【分析】主視圖是從正面觀察得到的圖形，俯視圖是從上面觀察得到的圖形，結(jié)合圖形

即可作出判斷.

【解答】解：根據(jù)圖形可得，圖①及圖②的主視圖一樣，俯視圖不一樣，即主視圖不變,

俯視圖改變.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，掌握主視圖及俯視圖的觀察方法是解答本題

的關(guān)鍵，難度一般.

11.（3分）（2015?泰安）小亮的媽媽用28元錢買了甲、乙兩種水果，甲種水果每千克4元,

乙種水果每千克6元，且乙種水果比甲種水果少買了2千克，求小亮媽媽兩種水果各買

了多少千克？設(shè)小亮媽媽買了甲種水果x千克，乙種水果y千克，則可列方程組為（）

f4x+6y=28f4y+6x=28

A.<B.<

Ix=y+2Ix=y+2

cJ4x+6y=28D，4y+6x=28

1x=y-2Ix=y-2

【分析】設(shè)小亮媽媽買了甲種水果x千克，乙種水果y千克，根據(jù)兩種水果共花去28元,

乙種水果比甲種水果少買了2千克，據(jù)此列方程組.

【解答】解：設(shè)小亮媽媽買了甲種水果x千克，乙種水果y千克，

由題意得伊+6戶28.

lx=y4-2

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，

設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程組.

12.(3分)(2019?蒙陰縣一模)如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)尸W(x>0)的圖象上任意一點(diǎn),

X

軸交反比例函數(shù)y=-2的圖象于點(diǎn)8,以A8為邊作平行四邊形A8CQ,其中C、

X

【分析】連結(jié)04、OB,AB交y軸于E,由于軸，根據(jù)反比例函數(shù)y=K(A#0)

x

系數(shù)k的幾何意義得到S&0EA與S&0BE，則四邊形ABCD為平行四邊形，然后根據(jù)平行

四邊形的性質(zhì)得到S平.行四邊般ABCO=2SZ\QA8=5.

【解答】解：連結(jié)0A、OB,A8交y軸于E,如圖，

：AB〃x軸，

軸，

??5AO￡A=—X3=—>SA(?B￡=—2=1,

222

，SAQAB=1+—=—)

22

四邊形A8C3為平行四邊形，

：.S平行四邊形ABCD=2SAQAB=5.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過(guò)雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩條坐

標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于I&I.本知識(shí)點(diǎn)是中考的重要考點(diǎn)，同學(xué)們

應(yīng)高度關(guān)注.

13.（3分）（2019?蒙陰縣一模）如圖A8是。。的直徑，弦CL>_LA8,NCOB=30°,CD

=4?,則陰影部分圖形的面積為（）

A.B.C.4nD.8n

33

【分析】首先證明OE=LOC=LOB,則可以證得△OEC絲△BED,則S陰影=s扇形0c8,

22

利用扇形的面積公式即可求解.

【解答】解：VZCOe=2ZC￡>B=60o,

又?.,CC

，NOCB=30°,CE=DE,

.?.OE=&C=LO8=2G，OC=4.

22

：.OE=BE,

則在△OEC和△BEC中，

'OE=BE

<NOEC=/BED，

CE=DE

.?.△OEC四△BED,

2

?c_Q_6Q7TX4-8K

??S陰影—S扇形0C8------------------------------

3603

故選：B.

A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形的面積公式，證明△OEC四△BED,得到S陰影=Sffi.?OCB是'本

題的關(guān)鍵.

14.（3分）（2019?蒙陰縣一模）某物流公司的快遞車和貨車同時(shí)從甲地出發(fā)，以各自的速

度勻速向乙地行駛，快遞車到達(dá)乙地后卸完物品再另裝貨物共用50分鐘，立即按原路以

另一速度勻速返回，直至與貨車相遇.已知貨車的速度為60千米/時(shí)，兩車之間的距離y

（千米）與貨車行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)圖象如圖所示，現(xiàn)有以下4個(gè)結(jié)論：

①快遞車從甲地到乙地的速度為90千米/時(shí)；

②甲、乙兩地之間的距離為120千米；

③圖中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4$,70）；

6

④快遞車從乙地返回時(shí)的速度為80千米/時(shí).

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【分析】要解答本題需要熟悉一次函數(shù)的圖象特征，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和圖象結(jié)合

實(shí)際問(wèn)題對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析即可得出答案.

【解答】解：①設(shè)快遞車從甲地到乙地的速度為x千米/時(shí)，則

4（x-60）=120,

x=90.

故①正確；

②因?yàn)?20千米是快遞車到達(dá)乙地后兩車之間的距離，不是甲、乙兩地之間的距離,

故②錯(cuò)誤；

③因?yàn)榭爝f車到達(dá)乙地后卸完物品再另裝貨物共用50分鐘，

所以圖中點(diǎn)2的橫坐標(biāo)為4+1=41,

66

縱坐標(biāo)為120-60義區(qū)=70,

6

即8點(diǎn)的坐標(biāo)為（4旦，70）.

6

故③正確；

④設(shè)快遞車從乙地返回時(shí)的速度為y千米/時(shí)，則返回時(shí)與貨車共同行駛的時(shí)間為（51-

3

4司）小時(shí)，此時(shí)兩車還相距70千米，由題意，得

6

（y+60）（5!-4區(qū)）=70,

36

解得y—80.

故④正確.

其中正確的是：①③④

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，此類題是近年中考中的熱點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)

鍵是根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和圖象結(jié)合實(shí)際問(wèn)題判斷出每一結(jié)論是否正確.

二、填空題：（本大題共5個(gè)小題.每小題3分，共15分）把答案填在題中橫線上.

15.（3分）（2019?蒙陰縣一模）分解因式〃I"?-8〃?〃+16〃?=在（”-4）2.

【分析】先提取公因式〃?，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用完全平方公式繼續(xù)分解.

【解答】解：znn2-8/nn+16/n

=m(n2-8n+16)

—m(H-4)2

故答案為：m（n-4）2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提

取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止.

16.（3分）（2019?蒙陰縣一模）某種商品的進(jìn)價(jià)為320元，為了吸引顧客，按標(biāo)價(jià)的八折

出售，這時(shí)仍可盈利至少25%,則這種商品的標(biāo)價(jià)最少是500元.

【分析】首先設(shè)這種商品的標(biāo)價(jià)是x元，根據(jù)題意可得不等關(guān)系：售價(jià)-進(jìn)價(jià)》利潤(rùn)，

根據(jù)不等關(guān)系列出不等式即可.

【解答】解：設(shè)這種商品的標(biāo)價(jià)是x元，由題意得：

xX80%-320^25%X320,

解得：x2500,

則這種商品的標(biāo)價(jià)最少是500元，

故答案為：500.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的

不等關(guān)系，列出不等式.

17.（3分）（2019?蒙陰縣一模）在菱形ABC。中，E是BC邊上的點(diǎn)，連接AE交8。于點(diǎn)

F,若EC=2BE,EF=2,則AE的值是8.

【分析】利用菱形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)得出些=22,進(jìn)而求出即可.

ADAF

【解答】解：???在菱形A8C3中，

J.BE//AD,AD=BC,

：./\BEF^ADAF,

?BE=EF,

"ADAF,

,:EC=2BE,EF=2,

?BE=_2_=1

ADAFW，

解得:AF=6,

故AE=8.

故答案為：8.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出△BEFS/^DAF

是解題關(guān)鍵.

18.（3分）（2019?蒙陰縣一模）如圖，兩同心圓的圓心為A,大圓的弦A8切小圓于P,兩

圓的半徑分別為2和1.若用陰影部分圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的底面半徑為1.

-3-

【分析】利用垂徑定理根據(jù)勾股定理即可求得弦的長(zhǎng)；利用相應(yīng)的三角函數(shù)可求得/

4OB的度數(shù)，進(jìn)而可求優(yōu)弧A8的長(zhǎng)度，除以2n即為圓錐的底面半徑.

【解答】解：連接OP,則。PLAB,AB=2AP,

"B=2AP=2X正導(dǎo)=2炳，

；.sin/AOP=Yl,

2

AZAOP=60Q,

.?./AOB=2/AOP=120°,

優(yōu)弧A8的長(zhǎng)為：240KX2

1803

???圓錐的底面半徑為：空+2兀二』".

33

故答案為：A.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了垂徑定理，勾股定理，相應(yīng)的三角函數(shù)，圓錐的弧長(zhǎng)等于底面

周長(zhǎng)等知識(shí)點(diǎn).綜合利用定理解題是關(guān)鍵.

19.（3分）（2019?蒙陰縣一模）對(duì)于函數(shù)、=/+/,，我們定義…（辦”為

常數(shù)）.

例如丁=/+7,貝Ijy=4x3+2x.

己知：丫=!乂耳（〃L1）/+機(jī)2-若方程V=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，則根的值為

32

【分析】根據(jù)給定的新定義可找出/=?+2（m-\）x+m1,由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出m的值.

【解答]解：*.*y=—（-1）j^+n^x,

3xw

"=7+2（777-1）x+zn2.

?.?方程y'=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，

△=[2（w-1）]2-4/?2=0,

解得：機(jī)=工.

2

故答案為：1.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)△=（）時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”是解題

的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共7個(gè)小題，共63分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

20.（7分）（2019?蒙陰縣一模）弧xJC-2sin60°-/小+（29-兀）。

V2V3+1

【分析】先根據(jù)零指數(shù)基和特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算，然后根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)

算.

【解答】解：原式=Jgx工-2義2^--1）+1

=2-A/3-遮+1+1

—4-2M.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并

同類二次根式即可.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式

的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

21.（7分）（2019?蒙陰縣一模）在一次社會(huì)調(diào)查活動(dòng)中，小李收集到某“健步走運(yùn)動(dòng)”團(tuán)

隊(duì)20名成員一天行走的步數(shù)，記錄如下：

56406430652067987325

84308215745374466754

76386834732668308648

87539450986572907850

對(duì)這20個(gè)數(shù)據(jù)按組距1000進(jìn)行分組，并統(tǒng)計(jì)整理.

（1）請(qǐng)完成下面頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表；

組別步數(shù)分組頻數(shù)

A5500^x<65002

B6500^x<750010

C7500^x<85004

D85004V95003

E9500W元VI0500]

【分析】（1）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)即可直接確定〃?和〃的值:

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果即可直接補(bǔ)全直方圖；

（3）利用總?cè)藬?shù)乘以對(duì)應(yīng)的比例即可求解.

【解答】解：（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布表如下：

組別步數(shù)分組頻數(shù)

A55004V65002

B6500WxV750010

C75004V85004

D85000V95003

E9500?105001

（2）頻數(shù)分布直方圖如下:

（3）根據(jù)題意得：200義2+4+1°=16。（人），

20

則估計(jì)一天行走的步數(shù)少于8500步的人數(shù)約為160人.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息的能力.利用統(tǒng)計(jì)圖

獲取信息時(shí)，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計(jì)圖，才能作出正確的判斷和解決問(wèn)題.

22.（7分）（2019?蒙陰縣一模）如圖，上午9：00時(shí)，甲、乙兩船分別在A、8兩處，乙船

在甲船的正東方向，且兩船之間的距離為33海里.甲船以30海里/時(shí)的速度沿北偏東45

°方向勻速航行，乙船同時(shí)沿北偏東30°方向勻速航行.上午11：00時(shí)，甲船航行到C

處，乙船航行到。處，此時(shí)乙船仍在甲船的正東方向.求兩船之間的距離（結(jié)果精確到

1海里）.

（參考數(shù)據(jù)：血七1.41,遂F.73,76^2.45）

【分析】過(guò)點(diǎn)C作C1AB,垂足為E,過(guò)點(diǎn)D作DF1AB,垂足為點(diǎn)F,構(gòu)造直角三角

形ACE和8。凡利用直角三角形中特殊角所對(duì)應(yīng)的邊角關(guān)系，求出AE、BF,進(jìn)而求得

BE、EF,由C￡）=EF求得即可.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CELA2,垂足為點(diǎn)E.過(guò)點(diǎn)。作。F_LAB,垂足為。點(diǎn)足

；甲船的速度為30海里/小時(shí),時(shí)間為2小時(shí),

，AC=30X2=60海里，

又???NCAE=45°,，AE=EC=3閃歷海里,

在△8。/中，'：DF=CE=3O/2>NDBF=60°,

=10遍,

又：8E=AE-AB=3m-33弋9.3,

尸=8尸-BE=IO捉-9.3g10X2.45-9.3=15.2海里,

ACZ）=EF=15.2^15（海里）

答：行至上午11：00時(shí)，兩船之間的距離約為15海里.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用特殊角

的三角函數(shù)值及直角三角形的性質(zhì)解答.

23.（9分）（2013?揚(yáng)州）如圖，ZXABC內(nèi)接于弦AOLAB交3c于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)8作。。

的切線交ZM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,且/A8F=ZABC.

（1）求證：AB=AC；

（2）若AO=4,cosZAfiF=A,求。E的長(zhǎng).

【分析】（1）由BF是。0的切線，利用弦切角定理，可得/1=/C,又由

ABC,可證得N2=NC,即可得AB=AC；

（2）首先連接BO,在RtZiAB。中，解直角三角形求出AB的長(zhǎng)度；然后在RtZXABE中,

解直角三角形求出AE的長(zhǎng)度；最后利用DE=AD-AE求得結(jié)果.

【解答】（1）證明：:BF是。。的切線，

ZABF=ZABC,

即N1=N2,

；./2=NC,

：.AB=AC；

(2)解：如圖，連接3。，在中，ZBAD=90°,

；cosNAOB=織，；.BD=---=----------=3=5,

BDcos/ADBCOS/ABFA

5

：.AB=3.

在RtZ^ABE中，ZBAE=90°，

VcosZ>4?E=M,：.BE=---理----=~1~=紅,

BEcos/ABEA4

5

，但屑兀H，

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等

知識(shí).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

24.（9分）（2017?撫順）某商場(chǎng)對(duì)某種商品進(jìn)行銷售，第x天的銷售單價(jià)為加元/件，日銷

售量為"件，其中加，〃分別是x（ltW30,且x為整數(shù)）的一次函數(shù)，銷售情況如表:

銷售第X天第1天第2天第3天第4天???第30天

銷售單價(jià)m（元/49484746…20

件）

日銷售量〃（件）45505560???190

（1）觀察表中數(shù)據(jù)，分別直接寫(xiě)出相與x,〃與x的函數(shù)關(guān)系式：，〃=-x+50，_n

=5x+40；

（2）求商場(chǎng)銷售該商品第幾天時(shí)該商品的日銷售額恰好為3600元？

（3）銷售商品的第15天為兒童節(jié)，請(qǐng)問(wèn)：在兒童節(jié)前（不包括兒童節(jié)當(dāng)天）銷售該商

品第幾天時(shí)該商品的日銷售額最多？商場(chǎng)決定將這天該商品的日銷售額捐獻(xiàn)給兒童福利

院，試求出商場(chǎng)可捐款多少元？

【分析】（1）由表格中數(shù)據(jù)的變化，用含X的代數(shù)式表示出〃7、〃即可；

（2）根據(jù)總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量即可得出關(guān)于X的一元二次方程，解之即可得出x的值，由

1WXW30可確定x的值；

（3）設(shè)日銷售額為卬元，根據(jù)總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量即可找出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根

據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題.

【解答】解：（1）觀察表中數(shù)據(jù)可知：每過(guò)一天，銷售單價(jià)降低1元/件、銷量增加5件,

.?.機(jī)=49-（x-1）=-x+50,n=45+5（x-1）=5x+40.

故答案為：，〃=-x+50；H=5X+40.

（2）根據(jù)題意得：（-x+50）（5x+40）=3600,

整理得：7-42x+320=0,

解得：xi=10,X2=32.

V32>30,

：.x=32舍去.

答：第10天的日銷售額為3600元.

（3）設(shè)日銷售額為w元，

根據(jù)題意得：w=（-x+50）（5x+40）=-5^+210x4-2000=-5（x-21）2+4205.

"：a=-5<0,

.?.拋物線開(kāi)口向下.

又???對(duì)稱軸為直線x=2L

當(dāng)1WXW14時(shí)，w隨x的增大而增大，

...當(dāng)x=14時(shí)，卬取最大值，最大值為3960.

答：在兒童節(jié)前（不包括兒童節(jié)當(dāng)天）銷售該商品第14天時(shí)該商品的日銷售額最多，商

場(chǎng)可捐款3960元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)的性質(zhì)以及一元二次方程的應(yīng)用，解題

的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)的變化找出相、〃與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)總價(jià)=單價(jià)

X數(shù)量列出關(guān)于x的一元二次方程；（3）根據(jù)總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量找出卬關(guān)于x的函數(shù)關(guān)

系式.

25.（11分）（2019?蒙陰縣一模）已知在菱形A8C。中，ZABC=60°,對(duì)角線AC、8。相

交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是線段BO上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B,。重合），連接AE,以4E為邊在AE

的右側(cè)作菱形AEFG,且NAEF=60°.

（1）如圖1,若點(diǎn)下落在線段3。上，請(qǐng)判斷：線段E如與線段的數(shù)量關(guān)系是EF

=DF

（2）如圖2,若點(diǎn)尸不在線段83上，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)

給出判斷并予以證明；

（3）若點(diǎn)C,E,G三點(diǎn)在同一直線上，其它條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段8E與線段3。

【分析】（1）先利用菱形的性質(zhì)得出/480=/A00=30°,ACLBD,即可求出/群。

=30°即可得出結(jié)論;

（2）先判斷出△AC￡＞和△AEF是等邊三角形，進(jìn)而得出/C4E=ND4F,即可判斷出△

ACE^/XADF,即可得出結(jié)論；

（3）先求出/C4E=15°,進(jìn)而判斷出BE=AB,再找出08與4B的關(guān)鍵，代換即可得

出結(jié)論.

【解答】解：（1）如圖1,連接AF,

???四邊形A8CO是菱形，

：.AC1.BD,ZABO=LZABC=30°,

2

.?./OAE=NOAF=30°,

AZDAF=30°=ZADO,

：.AF=FD,

"：AF=EF,

；.EF=FD；

"：ZAEF=60°,

：.ZBAE=30°=ZABO,

：.AE=BE,

(2)成立，如圖3,

連接CE,AF,

?.?四邊形A8C。是菱形，四邊形4EFG是菱形，

：.AD=CD,AE=EF,B￡)垂直平分4C,N4BC=NA￡)C=60°,

AZADC=ZAEF=60°,

/XACD和△AEF是等邊三角形，

：.AC=AD,AE=AF=EF,/CAO=/E4F=60°,

：.ZCAE=ZDAF,

"AC=AD

在AACE和△AOF中，＜ZCAE=ZDAF-

AE=AF

△ACE^AADF,

：.EC=DF,

???8。垂直平分AC,

：.EC=AE,

：.DF=AE=EF

(3)如圖2,\'AE=CE,

：.ZACE^ZCAE,

；點(diǎn)C,E,G在同一條直線上，

AZAEG=2ZCAE=30°,

：.ZCAE=15°,

VZBAO=60°°,

/.ZBA￡=75°,

VZABO=^ZABC=30°,

2

:.NAEB=75°=NBAE,

：.BE=Afi,

在Rt^AOB中，ZABO=30°,

：.cosZABO=^-=J^-,

_AB2

Z.OB=^AB=叵BE,

22

：.BD=2OB=y/3BE.

【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等

腰三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解（1）的關(guān)鍵是判斷出AF^FD,解（2）的

關(guān)鍵是判斷出△ACEgZVIOF,解（3）的關(guān)鍵是判斷出BE=AB,是一道中等難度的中

考?？碱}.

26.（13分）（2019?蒙陰縣一模）如圖，拋物線丫=4/-2x+c（aWO）與x軸交于A,C兩

點(diǎn)，與直線y=x-1交于A,B兩點(diǎn)，且OC=3OA,直線A8與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P在直線A8上方的拋物線上運(yùn)動(dòng).

①點(diǎn)P在什么位置時(shí)，△4BP的面積最大，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，連結(jié)尸E,將△PEB補(bǔ)成矩形，使△PEB上的兩個(gè)頂點(diǎn)成為矩

形一邊的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對(duì)邊上，求出矩形未知頂點(diǎn)的坐標(biāo).