數(shù)學-第14講 等腰三角形與直角三角形（解析）

第十四講——等腰三角形與直角三角形考向一等腰三角形的性質(zhì)1．（2020·青海中考真題）等腰三角形的一個內(nèi)角為70°，則另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別是（）A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°【答案】D【分析】先根據(jù)等腰三角形的定義，分的內(nèi)角為頂角和的內(nèi)角為底角兩種情況，再分別根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得．【詳解】（1）當?shù)膬?nèi)角為等腰三角形的頂角,則另外兩個內(nèi)角均為底角，它們的度數(shù)為（2）當?shù)膬?nèi)角為等腰三角形的底角，則另兩個內(nèi)角一個為底角，一個為頂角;底角為，頂角為綜上，另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別是或故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義、三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)等腰三角形的定義，正確分兩種情況討論是解題關鍵．2．（2020·四川瀘州市·中考真題）古希臘數(shù)學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點G將一線段分為兩線段，，使得其中較長的一段是全長與較短的段的比例中項，即滿足，后人把這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點G稱為線段的“黃金分割”點．如圖，在中，已知，，若D，E是邊的兩個“黃金分割”點，則的面積為（）A． B． C． D．

【答案】A【分析】作AF⊥BC，根據(jù)等腰三角形ABC的性質(zhì)求出AF的長，再根據(jù)黃金分割點的定義求出BE、CD的長度，得到中DE的長，利用三角形面積公式即可解題.【詳解】解：過點A作AF⊥BC，∵AB=AC，∴BF=BC=2，在Rt,AF=，∵D是邊的兩個“黃金分割”點，∴即，解得CD=，同理BE=，∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，∴DE=CD-CE=4-8，∴S△ABC===，故選：A.【點睛】本題考查了“黃金分割比”的定義、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應用以及三角形的面積公式，求出DE和AF的長是解題的關鍵。1．（2020·山東濱州市·中考真題）在等腰ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，則∠A的大小為________．【答案】【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等可求∠C，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°列式進行計算即可得解．【詳解】解：∵AB=AC，∠B=50°，∴∠C=∠B=50°，∴∠A=180°-2×50°=80°．故答案為：80°．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)．2．（2020·黑龍江齊齊哈爾市·中考真題）等腰三角形的兩條邊長分別為3和4

，則這個等腰三角形的周長是_____．【答案】10或11【分析】分3是腰長與底邊長兩種情況討論求解即可．【詳解】解：①3是腰長時，三角形的三邊分別為3、3、4，∵此時能組成三角形，∴周長＝3+3+4＝10；②3是底邊長時，三角形的三邊分別為3、4、4，此時能組成三角形，所以周長＝3+4+4＝11．綜上所述，這個等腰三角形的周長是10或11．故答案為：10或11．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意，正確分情況討論是解題的關鍵．考向二等腰三角形的判定1．（2020·浙江臺州市·中考真題）如圖，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于點O．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）判斷△BOC的形狀，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）等腰三角形，理由見解析．【分析】（1）由“SAS”可證△ABD≌△ACE；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ACB，可求∠OBC=∠OCB，可得BO=CO，即可得結論．【詳解】證明：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）△BOC是等腰三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB∴∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACE，∴∠OBC=∠OCB，∴BO=CO，∴△BOC是等腰三角形．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟記相關定理是解題關鍵．2．（2020·四川南充市·中考真題）如圖，在等腰三角形ABC中，BD為∠ABC的平分線，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，則CD=（）

A． B． C．a(chǎn)-b D．b-a【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定得出BD=BC=AD，進而解答即可．【詳解】解：∵在等腰△ABC中，BD為∠ABC的平分線，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，∴∠ABD=36°=∠A，∴BD=AD，

∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，∴BD=BC，

∵AB=AC=a，BC=b，∴CD=AC-AD=a-b，故選：C．【點睛】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定得出BD=BC=AD解答．1．（2020·廣東中考真題）如圖，在中，點，分別是、邊上的點，，，與相交于點，求證：是等腰三角形．【答案】見解析【分析】先證明，得到，，進而得到，故可求解．【詳解】證明：在和中∴∴∴又∵∴即∴

是等腰三角形．【點睛】此題主要考查等腰三角形的判定，解題的關鍵是熟知全等三角形的判定與性質(zhì)．考向三等邊三角形的性質(zhì)1．（2020·浙江紹興市·中考真題）如圖，已知邊長為2的等邊三角形ABC中，分別以點A，C為圓心，m為半徑作弧，兩弧交于點D，連結BD．若BD的長為2，則m的值為_____．【答案】2或2．【分析】由作圖知，點D在AC的垂直平分線上，得到點B在AC的垂直平分線上，求得BD垂直平分AC，設垂足為E，得到BE＝，當點D、B在AC的兩側(cè)時，如圖，證出BE＝DE，即可求出m；當點D、B在AC的同側(cè)時，如圖，解直角三角形即可得到結論．【詳解】解：由作圖知，點D在AC的垂直平分線上，∵△ABC是等邊三角形，∴點B在AC的垂直平分線上，∴BD垂直平分AC，設垂足為E，∵AC＝AB＝2，∴BE＝AB·sin60°=，當點D、B在AC的兩側(cè)時，如圖，∵BD＝2，∴BE＝DE，∴AD＝AB＝2，∴m＝2；當點D、B在AC的同側(cè)時，如圖，∵＝2，∴＝3，∴＝＝2，∴m＝2，綜上所述，m的值為2或2，故答案為：2或2．

【點睛】此題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和勾股定理，掌握等邊三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、分類討論的數(shù)學思想、銳角三角函數(shù)和勾股定理是解決此題的關鍵．2．（2020·吉林中考真題）如圖，是等邊三角形，，動點從點出發(fā)，以的速度沿向點勻速運動，過點作，交折線于點，以為邊作等邊三角形，使點，在異側(cè)．設點的運動時間為，與重疊部分圖形的面積為．（1）的長為______（用含的代數(shù)式表示）．（2）當點落在邊上時，求的值．（3）求關于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）當時，；當時，；當時，．【分析】（1）根據(jù)“路程速度時間”即可得；（2）如圖（見解析），先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)垂直的定義可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后在中，利用直角三角形的性質(zhì)列出等式求解即可得；

（3）先求出點Q與點C重合時x的值，再分、和三種情況，然后分別利用等邊三角形的性質(zhì)、正切三角函數(shù)、以及三角形的面積公式求解即可得．【詳解】（1）由題意得：故答案為：；（2）如圖，和都是等邊三角形，即，在和中，在中，，即解得；（3）是等邊三角形當點Q與點C重合時，則，解得結合（2）的結論，分以下三種情況：①如圖1，當時，重疊部分圖形為由（2）可知，等邊的邊長為由等邊三角形的性質(zhì)得：PQ邊上的高為則②如圖2，當時，重疊部分圖形為四邊形EFPQ則在中，，

在中，，即則③如圖3，當時，重疊部分圖形為同②可知，，在中，，即則綜上，當時，；當時，；當時，．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、正切三角函數(shù)等知識點，較難的是題（3），依據(jù)題意，正確分三種情況討論是解題關鍵．1．（2020·福建中考真題）如圖，面積為1的等邊三角形中，分別是，，的中點，則的面積是（）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可以判斷四個小三角形是全等三角形,即可判斷一個的面積是．

【詳解】∵分別是，，的中點,且△ABC是等邊三角形,∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,∴△DEF的面積是．故選D．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及全等,關鍵在于熟練掌握等邊三角形的特殊性質(zhì)．2．（2020·浙江嘉興市·中考真題）如圖，正三角形ABC的邊長為3，將△ABC繞它的外心O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'B'C'，則它們重疊部分的面積是（）A．2 B．343 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)重合部分是正六邊形，連接O和正六邊形的各個頂點，所得的三角形都是全等的等邊三角形，據(jù)此即可求解．【詳解】解：作AM⊥BC于M，如圖：重合部分是正六邊形，連接O和正六邊形的各個頂點，所得的三角形都是全等的等邊三角形．∵△ABC是等邊三角形，AM⊥BC，∴AB＝BC＝3，BM＝CM＝BC＝，∠BAM＝30°，∴AM＝BM＝，∴△ABC的面積＝BC×AM＝×3×＝，

∴重疊部分的面積＝△ABC的面積＝；故選：C．【點睛】本題考查了三角形的外心、等邊三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，理解連接O和正六邊形的各個頂點，所得的三角形都為全等的等邊三角形是關鍵．考向四等邊三角形的判定1．（2020·湖北宜昌市·中考真題）如圖，在一個池塘兩旁有一條筆直小路（B，C為小路端點）和一棵小樹（A為小樹位置）測得的相關數(shù)據(jù)為：米，則________米．【答案】48【分析】先說明△ABC是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵∴∠BAC=180°-60°-60°=60°∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°∴△ABC是等邊三角形∴AC=BC=48米．故答案為48．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，證得△ABC是等邊三角形是解答本題的關鍵．2．（2020·四川宜賓市·中考真題）如圖，都是等邊三角形，且B，C，D在一條直線上，連結，點M，N分別是線段BE，AD上的兩點，且，則的形狀是（）

A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．不等邊三角形【答案】C【分析】先證明，得到，根據(jù)已知條件可得，證明，得到，即可得到結果；【詳解】∵都是等邊三角形，∴，，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，又∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，∴是等邊三角形．故答案選C．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，正確分析題目條件是解題的關鍵．1．（2020·浙江臺州市·中考真題）如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長為6，E，F(xiàn)是邊BC上的三等分點．分別過點E，F(xiàn)沿著平行于BA，CA方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長是_____．

【答案】6【分析】先說明△DEF是等邊三角形，再根據(jù)E，F(xiàn)是邊BC上的三等分求出BC的長，最后求周長即可.【詳解】解：∵等邊三角形紙片ABC∴∠B=∠C=60°∵DE∥AB，DF∥AC∴∠DEF=∠DFE=60°∴△DEF是等邊三角形∴DE=EF=DF∵E，F(xiàn)是邊BC上的三等分點,BC=6∴EF=2∴DE=EF=DF=2∴△DEF=DE+EF+DF=6故答案為6．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、三等分點的意義，靈活應用等邊三角形的性質(zhì)是正確解答本題的關鍵．2．（2020·四川中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．將Rt△ABC繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到．此時恰好點C在上，交AC于點E，則△ABE與△ABC的面積之比為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，則△BCC'是等邊三角形，∠CBC'=60°，得出∠BEA=90°，設CE=a，則BE=a，AE=3a，求出，可求出答案．【詳解】∵∠A=30°，∠ABC=90°，∴∠ACB=60°，∵將Rt△ABC繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'BC'，∴BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，∴△BCC'是等邊三角形，∴∠CBC'=60°，∴∠ABA'=60°，∴∠BEA=90°，設CE=a，則BE=a，AE=3a，∴，∴，∴△ABE與△ABC的面積之比為．故選：D．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關鍵．考向五“三線合一”

1．（2020·貴州銅仁市·中考真題）已知等邊三角形一邊上的高為2，則它的邊長為（）A．2 B．3 C．4 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)：三線合一，利用勾股定理可求解即可．【詳解】根據(jù)等邊三角形的三線合一性質(zhì)：設它的邊長為x，可得：，解得：x＝4，x＝﹣4（舍去），故選：C．【點睛】本題主要考查了等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，運用勾股定理列出方程求解是解答此類問題的常用方法．2．（2020·內(nèi)蒙古赤峰市·中考真題）如圖，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分線，EF是AC的垂直平分線，交AD于點O.若OA=3，則外接圓的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)等腰三角形的三線合一可得AD是BC的垂直平分線，從而可得點O即為外接圓的圓心，再利用圓的面積公式即可得．【詳解】，AD是的平分線，且AD是BC邊上的中線（等腰三角形的三線合一）是BC的垂直平分線是AC的垂直平分線點O為外接圓的圓心，OA為外接圓的半徑外接圓的面積為故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的三線合一、三角形外接圓，正確找出三角形外接圓的圓心是解題關鍵．

1．（2020·湖北荊門市·中考真題）中，，D為的中點，，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接AD，用等腰三角形的“三線合一”，得到的度數(shù)，及，由得，得，計算的面積即可．【詳解】連接AD，如圖所示：∵，且D為BC中點∴，且，∴中，∵∴∴故選：B．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，及解直角三角形和三角形面積的計算，熟知以上知識是解題的關鍵．考向六直角三角形

1．（2020·海南中考真題）如圖，在中，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使點落在邊上，連接，則的長度是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，進而得出為等邊三角形，進而求出．【詳解】解：∵由直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可知，∴cm，又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，且，∴為等邊三角形，∴．故選：B．【點睛】本題考查了直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，熟練掌握其性質(zhì)是解決此類題的關鍵．2．（2020·廣東中考真題）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉．把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點，模型如圖，，點，分別在射線，上，長度始終保持不變，，為的中點，點到，的距離分別為4和2．在此滑動過程中，貓與老鼠的距離的最小值為_________．

【答案】【分析】根據(jù)當、、三點共線，距離最小，求出BE和BD即可得出答案．【詳解】如圖當、、三點共線，距離最小，∵，為的中點，∴，，，故答案為：．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，勾股定理，兩點間的距離線段最短，判斷出距離最短的情況是解題關鍵．1．（2020·貴州黔西南布依族苗族自治州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在線段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，則BD的長度為________．【答案】【分析】首先證明DB=AD=2CD，然后再由條件BC=可得答案．【詳解】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，∴∠DAC＝30°，∴CD＝AD．

∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴BD＝AD，∴BD＝2CD．∵BC＝，∴CD＋2CD＝，∴CD＝，∴DB＝，故答案為：．【點睛】此題主要考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，關鍵是掌握在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．2．（2020·山東濟寧市·中考真題）如圖，在△ABC中點D為△ABC的內(nèi)心,∠A=60°,CD=2,BD=4．則△DBC的面積是（）A．4 B．2 C．2 D．4【答案】B【分析】過點B作BH⊥CD于點H．由點D為△ABC的內(nèi)心，∠A=60°，得∠BDC=120°，則∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH=2，CD=2，于是求出△DBC的面積．【詳解】解：過點B作BH⊥CD于點H．

∵點D為△ABC的內(nèi)心，∠A=60°，∴∠BDC=90°+∠A=90°+×60°=120°，則∠BDH=60°，∵BD=4，BD：CD=2：1∴DH=2，BH=2，CD=2，∴△DBC的面積為CD?BH=×2×2=2.故選B.

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)心的相關計算，熟練運用含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．考向七勾股定理

1．（2020·浙江紹興市·中考真題）如圖1，直角三角形紙片的一條直角邊長為2，剪四塊這樣的直角三角形紙片，把它們按圖2放入一個邊長為3的正方形中（紙片在結合部分不重疊無縫隙），則圖2中陰影部分面積為_____．【答案】4．【分析】根據(jù)題意和圖形，可以得到直角三角形的一條直角邊的長和斜邊的長，從而可以得到直角三角形的另一條直角邊長，再根據(jù)圖形，可知陰影部分的面積是四個直角三角形的面積，然后代入數(shù)據(jù)計算即可.【詳解】解：由題意可得，直角三角形的斜邊長為3，一條直角邊長為2，故直角三角形的另一條直角邊長為：，故陰影部分的面積是：，故答案為：4.【點睛】此題考查勾股定理解三角形，正方形的性質(zhì)，正確理解正方形的邊長3與直角三角形的關系是解題的關鍵.2．（2020·山東煙臺市·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點E在DC上，將矩形沿AE折疊，使點D落在BC邊上的點F處．若AB＝3，BC＝5，則tan∠DAE的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的長，則CF可得，設CE＝x，則DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根據(jù)勾股定理可得關于x

的方程，解方程即可得到x，進一步可得DE的長，再根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上的F處，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，BF＝，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，設CE＝x，則DE＝EF＝3﹣x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，∴DE＝EF＝3﹣x＝，∴tan∠DAE＝，故選：D．【點睛】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和勾股定理等知識，屬于?？碱}型，靈活運用這些性質(zhì)進行推理與計算是解題的關鍵．1．（2020·山東煙臺市·中考真題）如圖，為等腰直角三角形，OA1＝1，以斜邊OA2為直角邊作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3為直角邊作等腰直角三角形OA3A4，…，按此規(guī)律作下去，則OAn的長度為（）A．（）n B．（）n﹣1 C．（）n D．（）n﹣1【答案】B【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理分別求出各邊長，依據(jù)規(guī)律即可得出答案．【詳解】解：∵△OA1A2為等腰直角三角形，OA1＝1，∴OA2＝；

∵△OA2A3為等腰直角三角形，∴OA3＝2＝；∵△OA3A4為等腰直角三角形，∴OA4＝2＝．∵△OA4A5為等腰直角三角形，∴OA5＝4＝，……∴OAn的長度為（）n﹣1，故選：B．【點睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練應用勾股定理得出是解題關鍵．2．（2020·陜西中考真題）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，若BD是△ABC的高，則BD的長為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理計算AC的長，利用面積和差關系可求的面積，由三角形的面積法求高即可．【詳解】解：由勾股定理得：AC＝＝，∵S△ABC＝3×3﹣＝，∴，∴，∴BD＝，故選：D．【點睛】本題考查了網(wǎng)格與勾股定理，三角形的面積的計算，掌握勾股定理是解題的關鍵．1．（2020·貴州銅仁市·中考真題）已知m、n、4分別是等腰三角形(非等邊三角形)三邊的長，且m、n是關于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的兩個根，則k的值等于()A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6【答案】B

【分析】當m=4或n=4時，即x=4，代入方程即可得到結論，當m=n時，即△=(﹣6)2﹣4×(k+2)=0，解方程即可得到結論．【詳解】當m=4或n=4時，即x=4，∴方程為42﹣6×4+k+2=0，解得：k=6；當m=n時，﹣6+k+2=0∵，，，∴，解得：，綜上所述，k的值等于6或7，故選：B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根、根的判別式以及等腰三角形的性質(zhì)，由等腰三角形的性質(zhì)得出方程有一個實數(shù)根為2或方程有兩個相等的實數(shù)根是解題的關鍵．2．（2020·廣西中考真題）如圖，在中，，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠BCA，進而求得∠ACD，由作圖痕跡可知CE為∠ACD的平分線，利用角平分線定義求解即可．【詳解】∵在中，，∴，∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，由作圖痕跡可知CE為∠ACD的平分線，∴，故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義和作法，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的尺規(guī)作圖法是解答的關鍵．3．（2020·四川中考真題）已知：等腰直角三角形ABC的腰長為4，點M在斜邊AB上，點P為該平面內(nèi)一動點，且滿足PC＝2，則PM的最小值為（）A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．2【答案】B

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到斜邊AB＝4，由已知條件得到點P在以C為圓心，PC為半徑的圓上，當點P在斜邊AB的中線上時，PM的值最小，于是得到結論．【詳解】解：∵等腰直角三角形ABC的腰長為4，∴斜邊AB＝4，∵點P為該平面內(nèi)一動點，且滿足PC＝2，∴點P在以C為圓心，PC為半徑的圓上，當點P在斜邊AB的中線上時，PM的值最小，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CM＝AB＝2，∵PC＝2，∴PM＝CM﹣CP＝2﹣2，故選：B．【點睛】本題考查線段最小值問題，涉及等腰三角形的性質(zhì)和點到圓的距離，解題的關鍵是能夠畫出圖形找到取最小值的狀態(tài)然后求解．4．（2020·山東濟寧市·中考真題）一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時的速度向正北航行，2小時后到達海島B處．燈塔C在海島在海島A的北偏西42°方向上，在海島B的北偏西84°方向上．則海島B到燈塔C的距離是（）A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠C=∠CAB=42°，根據(jù)等角對等邊得出BC=AB，求出AB即可．【詳解】解：∵根據(jù)題意得：∠CBD=84°，∠CAB=42°，∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB，∴BC=AB，

∵AB=15海里/時×2時=30海里，∴BC=30海里，即海島B到燈塔C的距離是30海里．故選C.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定和三角形的外角性質(zhì)，關鍵是求出∠C=∠CAB，題目比較典型，難度不大．5．（2020·湖南張家界市·中考真題）已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程的兩根，則該等腰三角形的底邊長為（）A．2 B．4 C．8 D．2或4【答案】A【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的邊長，用三角形存在的條件分類討論邊長，即可得出答案．【詳解】解：x2－6x+8=0（x－4）（x－2）=0解得：x=4或x=2，當?shù)妊切蔚娜厼?，2，4時，不符合三角形三邊關系定理，此時不能組成三角形；

當?shù)妊切蔚娜厼?，4，4時，符合三角形三邊關系定理，此時能組成三角形，所以三角形的底邊長為2，故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關系，解一元二次方程，能求出方程的解并能夠判斷三角形三邊存在的條件是解此題的關鍵．6．（2020·重慶中考真題）如圖，三角形紙片ABC，點D是BC邊上一點，連接AD，把沿著AD翻折，得到，DE與AC交于點G，連接BE交AD于點F.若，，，的面積為2，則點F到BC的距離為()A． B． C． D．

【答案】B【分析】首先求出ABD的面積．根據(jù)三角形的面積公式求出DF，設點F到BD的距離為h，根據(jù)?BD?h＝?BF?DF，求出BD即可解決問題．【詳解】解：∵DG＝GE，∴S△ADG＝S△AEG＝2，∴S△ADE＝4，由翻折可知，ADB≌ADE，BE⊥AD，∴S△ABD＝S△ADE＝4，∠BFD＝90°，∴?（AF+DF）?BF＝4，∴?（3+DF）?2＝4，∴DF＝1，∴DB＝＝＝，設點F到BD的距離為h，則?BD?h＝?BF?DF，∴h＝，故選：B．【點睛】本題考查翻折變換，三角形的面積，勾股定理二次根式的運算等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用參數(shù)構建方程解決問題．7．（2020·黑龍江綏化市·中考真題）在中，，若，則的長是________．【答案】17【分析】在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理列出方程即可求解．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB-AC=2，BC=8，∴AC2+BC2=AB2，

即（AB-2）2+82=AB2，解得AB=17．故答案為：17．【點睛】本題考查了勾股定理，解答的關鍵是熟練掌握勾股定理的定義及其在直角三角形中的表示形式．8．（2020·貴州黔南布依族苗族自治州·中考真題）如圖所示，在四邊形中，，，．連接，，若，則長度是_________．【答案】10【分析】根據(jù)直角三角形的邊角間關系，先計算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出．【詳解】解：在中，

∵，∴．在中，．故答案為：10．【點睛】本題考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的邊角間關系，求出AC是解決本題的關鍵．9．（2020·江蘇宿遷市·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分線AD交BC于點D，E為AB的中點，若BC=12，AD=8，則DE的長為_____．【答案】5【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD=6，∴∠ADB=90°，∴AB=，∵E為AB的中點，∴DE=AB=5，故答案為：5．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．10．（2020·四川雅安市·中考真題）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線交于點．若，則__________．

【答案】20【分析】由垂美四邊形的定義可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，從而求解.【詳解】∵四邊形ABCD是垂美四邊形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2，∵AD=2，BC=4，∴AD2+BC2=22+42=20，故答案為：20.【點睛】本題主要考查四邊形的應用，解題的關鍵是理解新定義，并熟練運用勾股定理.11．（2020·江蘇常州市·中考真題）如圖，在中，的垂直平分線分別交、于點E、F．若是等邊三角形，則_________°．【答案】30【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到∠B=∠BCF，再利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠AFC=60°，從而可得∠B.【詳解】解：∵EF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠B=∠BCF，∵△ACF為等邊三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°.故答案為：30.【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，解題的關鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)得到∠B=∠BCF.12．（2020·天津中考真題）如圖，的頂點C在等邊的邊上，點E在的延長線上，G為的中點，連接．若，，則的長為_______．

【答案】【分析】延長DC交EF于點M（圖見詳解），根據(jù)平行四邊形與等邊三角形的性質(zhì)，可證△CFM是等邊三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中點，根據(jù)中位線的性質(zhì)，可得出CG=，代入數(shù)值即可得出答案．【詳解】解：如下圖所示，延長DC交EF于點M，，，平行四邊形的頂點C在等邊的邊上，，是等邊三角形，．在平行四邊形中，，，又是等邊三角形，，．G為的中點，，是的中點，且是的中位線，．故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、中位線等知識點，延長DC交EF于點M，利用平行四邊形、等邊三角形性質(zhì)求出相應的線段長，證出是的中位線是解題的關鍵．13．（2020·湖北襄陽市·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，則∠C=_______．【答案】40°

【解析】∵AB=AD，∠BAD=20°，∴∠B==80°，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，∵AD=DC，∴∠C==40°．14．（2020·湖北武漢市·中考真題）如圖，折疊矩形紙片，使點落在邊的點處，為折痕，，．設的長為，用含有的式子表示四邊形的面積是________．【答案】【分析】首先根據(jù)題意可以設DE=EM=x，在三角形AEM中用勾股定理進一步可以用t表示出x，再可以設CF=y，連接MF，所以BF=2?y，在三角形MFN與三角形MFB中利用共用斜邊，根據(jù)勾股定理可求出用t表示出y，進而根據(jù)四邊形的面積公式可以求出答案.【詳解】設DE=EM=x，∴，∴x=，設CF=y，連接FM，∴BF=2?y，又∵FN=y，NM=1，∴，∴y=，∴四邊形的面積為：=?1，故答案為：.【點睛】本題主要考查了勾股定理的綜合運用，熟練掌握技巧性就可得出答案.15．（2020·遼寧阜新市·中考真題）如圖，在中，，．將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到，則邊的中點D與其對應點的距離是____________．

【答案】【分析】先由旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)證明：為等邊三角形，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，分別為的中點，為等邊三角形，為中點，故答案為：【點睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關鍵．16．（2020·貴州貴陽市·中考真題）如圖，中，點在邊上，，，垂直于的延長線于點，，，則邊的長為_____．

【答案】【分析】如圖，延長BD到點G，使DG=BD，連接CG，則由線段垂直平分線的性質(zhì)可得CB=CG，在EG上截取EF=EC，連接CF，則∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得∠EFC=∠A=2∠CBE，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和等腰三角形的判定可得FC=FG，設CE=EF=x，則可根據(jù)線段間的和差關系求出DF的長，進而可求出FC的長，然后根據(jù)勾股定理即可求出CD的長，再一次運用勾股定理即可求出答案．【詳解】解：如圖，延長BD到點G，使DG=BD，連接CG，則CB=CG，在EG上截取EF=EC，連接CF，則∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，∵EA=EB，∴∠A=∠EBA，∵∠AEB=∠CEF，∴∠EFC=∠A=2∠CBE=2∠G，∵∠EFC=∠G+∠FCG，∴∠G=∠FCG，∴FC=FG，設CE=EF=x，則AE=BE=11－x，∴DE=8－（11－x）=x－3，∴DF=x－（x－3）=3，∵DG=DB=8，∴FG=5，∴CF=5，在Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理，得，

∴．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)、勾股定理以及線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，具有一定的難度，正確添加輔助線、靈活應用上述知識是解題的關鍵．17．（2020·湖北中考真題）如圖，D是等邊三角形外一點．若，連接，則的最大值與最小值的差為_____．【答案】12【分析】以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，可證得△ECB≌△DCA從而得到BE=AD，再根據(jù)三角形的三邊關系即可得出結論．【詳解】解：如圖1，以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE=AD，

∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6<BE<8+6，∴2<BE<14，∴2<AD<14．

∴則的最大值與最小值的差為12．故答案為：12【點睛】本題考查三角形全等與三角形的三邊關系，解題關鍵在于添加輔助線構建全等三角形把AD轉(zhuǎn)化為BE從而求解，是一道較好的中考題．18．（2020·江西中考真題）如圖，平分，，的延長線交于點，若，則的度數(shù)為__________．

【答案】【分析】如圖，連接，延長與交于點利用等腰三角形的三線合一證明是的垂直平分線，從而得到再次利用等腰三角形的性質(zhì)得到：從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接，延長與交于點平分，，是的垂直平分線，故答案為：【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關鍵．19．（2020·遼寧大連市·中考真題）如圖，中，，點在邊上，．求證．【答案】證明見解析．

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段的和差可得，然后根據(jù)三角形的判定與性質(zhì)即可得證．【詳解】，，，，即，在和中，，，，即．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點，熟練掌握三角形全等的判定定理與性質(zhì)是解題關鍵．20．（2020·山東煙臺市·中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，點E是邊AC上一定點，點D是直線BC上一動點，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．（問題解決）（1）如圖1，若點D在邊BC上，求證：CE+CF＝CD；（類比探究）（2）如圖2，若點D在邊BC的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）FC＝CD+CE，見解析【分析】（1）在CD上截取CH＝CE，易證△CEH是等邊三角形，得出EH＝EC＝CH，證明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出結論；（2）過D作DG∥AB，交AC的延長線于點G，由平行線的性質(zhì)易證∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD為等邊三角形，則DG＝CD＝CG，證明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．【詳解】（1）證明：在CD上截取CH＝CE，如圖1所示：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等邊三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，∵△DEF是等邊三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，

在△DEH和△FEC中，，∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；（2）解：線段CE，CF與CD之間的等量關系是FC＝CD+CE；理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝60°，過D作DG∥AB，交AC的延長線于點G，如圖2所示：∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD為等邊三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，∵△EDF為等邊三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD（SAS），∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識；作輔助線構建等邊三角形是解題的關鍵．21．（2020·黑龍江牡丹江市·朝鮮族學校中考真題）等腰三角形ABC中，AB=AC=4，∠BAC=45o，以AC為腰作等腰直角三角形ACD，∠CAD為90o，請畫出圖形，并直接寫出點B到CD的距離．【答案】畫出圖形見解析；點B到CD的距離為2或．【分析】根據(jù)題目描述可以作出兩個圖形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)分別進行求解即可．【詳解】本題有兩種情況：（1）如圖，

∵是等腰直角三角形，，∴，∵，∴，∴點B到CD的距離等于點A到CD的距離，過點A作，∵，∴，∴點B到CD的距離為2；（2）如圖：∵是等腰直角三角形，，∴，∵，∴，∴點B到CD的距離即BE的長，∵，∴，∴，即點B到CD的距離為．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目描述作出兩個圖形是解題的關鍵．22．（2020·湖北荊門市·中考真題）如圖，中，，的平分線交于D，交的延長線于點E，交于點F．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求的長．

【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)求出，，再根據(jù)垂直與外角的性質(zhì)即可求出；（2）根據(jù)題意證明，再得到為等邊三角形，故可得到，可根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出AF．【詳解】（1）∵，，∴．∵平分，∴，∵，∴，∴．（2）∵，∴，又，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∵，∴，在中，．【點睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關鍵是熟知等腰三角形、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的應用．23．（2020·浙江紹興市·中考真題）問題：如圖，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延長線上取點E，C，作△AEC，使EA＝EC，若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度數(shù)．答案：∠DAC＝45°思考：（1）如果把以上“問題”中的條件“∠B＝45°”去掉，其余條件不變，那么∠DAC的度數(shù)會改變嗎？說明理由；（2）如果把以上“問題”中的條件“∠B＝45°”去掉，再將“∠BAE＝90°”改為“∠BAE＝n°”，其余條件不變，求∠DAC的度數(shù)．

【答案】（1）∠DAC的度數(shù)不會改變，值為45°；（2）n°．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°-∠BAD＝90°-（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到結論；（2）設∠ABC＝m°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結論．【詳解】解：（1）∠DAC的度數(shù)不會改變；∵EA＝EC，∴∠AED＝2∠C，①∵∠BAE＝90°，∴∠BAD＝[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°；（2）設∠ABC＝m°，則∠BAD＝（180°﹣m°）＝90°﹣m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+m°，∵EA＝EC，∴∠CAE＝∠AEB＝90°﹣n°﹣m°，∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+m°+90°﹣n°﹣m°＝n°．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，正確的識別圖形是解題的關鍵．1．（2020·河北中考真題）如圖是用三塊正方形紙片以頂點相連的方式設計的“畢達哥拉斯”圖案．現(xiàn)有五種正方形紙片，面積分別是1，2，3，4，5，選取其中三塊（可重復選?。┌磮D的方式組成圖案，使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是（）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理，，則小的兩個正方形的面積等于大三角形的面積，再分別進行判斷，即可得到面積最大的三角形．

【詳解】解：根據(jù)題意，設三個正方形的邊長分別為a、b、c，由勾股定理，得，A、∵1+4=5，則兩直角邊分別為：1和2，則面積為：；B、∵2+3=5，則兩直角邊分別為：和，則面積為：；C、∵3+4≠5，則不符合題意；D、∵2+2=4，則兩直角邊分別為：和，則面積為：；∵，故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理的應用，以及三角形的面積公式，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理，以及正方形的性質(zhì)進行解題．2．（2020·貴州黔南布依族苗族自治州·中考真題）已知等腰三角形的一邊長等于4，一邊長等于9，則它的周長為（）A．9 B．17或22 C．17 D．22【答案】D【分析】分類討論腰為4和腰為9，再應用三角形的三邊關系進行取舍即可．【詳解】解：分兩種情況：當腰為4時，，所以不能構成三角形；當腰為9時，，所以能構成三角形，周長是：．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．3．（2020·浙江寧波市·中考真題）△BDE和△FGH是兩個全等的等邊三角形，將它們按如圖的方式放置在等邊三角形ABC內(nèi)．若求五邊形DECHF的周長，則只需知道（）A．△ABC的周長B．△AFH的周長C．四邊形FBGH的周長D．四邊形ADEC的周長【答案】A【分析】由等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，進而可根據(jù)AAS證明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH

，然后根據(jù)等量代換和線段間的和差關系即可推出五邊形DECHF的周長＝AB+BC，從而可得結論．【詳解】解：∵△GFH為等邊三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是兩個全等的等邊三角形，∴BE＝FH，∴五邊形DECHF的周長＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周長即可．故選：A．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及多邊形的周長問題，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．4．（2020·福建中考真題）如圖，是等腰三角形的頂角平分線，，則等于（）A．10 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可判斷CD的長．【詳解】∵是等腰三角形的頂角平分線∴CD=BD=5．故選：B．【點睛】本題考查等腰三角形的三線合一，關鍵在于熟練掌握基礎知識．5．（2020·內(nèi)蒙古呼倫貝爾市·中考真題）如圖，的垂直平分線交于點，若，則的度數(shù)是（）

A．25° B．20° C．30° D．15°【答案】D【分析】根據(jù)等要三角形的性質(zhì)得到∠ABC，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求出∠ABD，從而可得結果．【詳解】解：∵AB=AC，∠C=∠ABC=65°，∴∠A=180°-65°×2=50°，∵MN垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=50°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°，故選D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握相應的性質(zhì)定理．6．（2020·浙江紹興市·中考真題）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，將BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°），得到BP，連結CP，過點A作AH⊥CP交CP的延長線于點H，連結AP，則∠PAH的度數(shù)（）A．隨著θ的增大而增大B．隨著θ的增大而減小C．不變D．隨著θ的增大，先增大后減小【答案】C【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，由外角的性質(zhì)可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解．【詳解】解：∵將BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°），得到BP，∴BC＝BP＝BA，∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，∴∠PAH的度數(shù)是定值，故選：C．【點睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關鍵．7．（2020·遼寧盤錦市·中考真題）我國古代數(shù)學著作《九章算術》記載了一道有趣的問題．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何．譯為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？設蘆葦?shù)拈L度是尺．根據(jù)題意，可列方程為（）A．B．C． D．【答案】B【分析】找到題中的直角三角形，設蘆葦?shù)拈L度是尺，根據(jù)勾股定理即可得出答案．【詳解】解：設蘆葦?shù)拈L度是尺，如下圖則，，在中，即故選B．【點睛】本題考查了勾股定理的實際應用，將實際問題轉(zhuǎn)化為勾股定理問題是解題的關鍵．8．（2020·內(nèi)蒙古呼和浩特市·中考真題）如圖，把某矩形紙片沿，折疊（點E、H在邊上，點F，G在邊上），使點B和點C落在邊上同一點P處，A點的對稱點為、D點的對稱點為，若，為8，的面積為2，則矩形的長為（）A． B． C． D．

【答案】D【分析】設AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因為△A′EP的面積為4，△D′PH的面積為1，推出D′H＝x，由S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，可解得x=2，分別求出PE和PH，從而得出AD的長.【詳解】解：∵四邊形ABC是矩形，∴AB=CD，AD=BC，設AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，∵△A′EP的面積為8，△D′PH的面積為2，

又∵，∠A′PF=∠D′PG=90°，∴∠A′PD′=90°，則∠A′PE+∠D′PH=90°，∴∠A′PE=∠D′HP，∴△A′EP∽△D′PH，∴A′P2：D′H2=8：2，∴A′P：D′H=2：1，∵A′P=x，∴D′H=x，∵S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，即，∴x=2（負根舍棄），

∴AB=CD=2，D′H=DH=，D′P=A′P=CD=2，A′E=2D′P=4，∴PE=，PH=，∴AD==，故選D.【點睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．9．（2020·山東青島市·中考真題）如圖，將矩形折疊，使點和點重合，折痕為，與交于點若，，則的長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先證明再求解利用軸對稱可得答案．【詳解】解：由對折可得：矩形，BC=8

由對折得：故選C．【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理的應用，軸對稱的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關鍵．10．（2020·江蘇無錫市·中考真題）如圖，等邊的邊長為3，點在邊上，，線段在邊上運動，，有下列結論：①與可能相等；②與可能相似；③四邊形面積的最大值為；④四邊形周長的最小值為．其中，正確結論的序號為（）A．①④ B．②④ C．①③ D．②③【答案】D【分析】①通過分析圖形，由線段在邊上運動，可得出，即可判斷出與不可能相等；②假設與相似，設，利用相似三角形的性質(zhì)得出的值，再與的取值范圍進行比較，即可判斷相似是否成立；③過P作PE⊥BC于E，過F作DF⊥AB于F，利用函數(shù)求四邊形面積的最大值，設，可表示出，，可用函數(shù)表示出，，再根據(jù)，依據(jù)，即可得到四邊形面積的最大值；④作點D關于直線的對稱點D1，作D1D2∥PQ，連接CD2交AB于點P′，在射線P′A上取P′Q′=PQ，此時四邊形P′CDQ′的周長為：，其值最小，再由D1Q′=DQ′=D2P′，，且∠AD1D2=120°，∠D2AC=90°，可得的最小值，即可得解．【詳解】解：①∵線段在邊上運動，，

∴,∴與不可能相等，則①錯誤；②設，∵，，∴，即，假設與相似，∵∠A=∠B=60°，∴，即，從而得到，解得或（經(jīng)檢驗是原方程的根），又，∴解得的或符合題意，即與可能相似，則②正確；③如圖，過P作PE⊥BC于E，過D作DF⊥AB于F，設，由，，得，即，∴，∵∠B=60°，∴，∵，∠A=60°，∴,則，，∴四邊形面積為：,又∵，∴當時，四邊形面積最大，最大值為：，即四邊形面積最大值為，則③正確；④如圖，作點D關于直線的對稱點D1，作D1D2∥PQ，連接CD2交AB于點P′，在射線P′A上取P′Q′=PQ，此時四邊形P′CDQ′的周長為：，其值最小，

∴D1Q′=DQ′=D2P′，，且∠AD1D2=180∠D1AB=180∠DAB=120°，∴∠D1AD2=∠D2AD1==30°，∠D2AC=90°，在△D1AD2中，∠D1AD2=30°，，∴，在Rt△AD2C中，由勾股定理可得，，∴四邊形P′CDQ′的周長為：，則④錯誤，所以可得②③正確，故選：D．【點睛】本題綜合考查等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、利用函數(shù)求最值、動點變化問題等知識．解題關鍵是熟練掌握數(shù)形結合的思想方法，通過用函數(shù)求最值、作對稱點求最短距離，即可得解．11．（2020·湖北黃岡市·中考真題）已知：如圖，在中，點在邊上，，則_______度．【答案】40【分析】根據(jù)等邊對等角得到，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，故，由三角形的內(nèi)角和即可求解的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∴，

∵，∴，∴，故答案為：40．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和，熟練掌握幾何知識并靈活運用是解題的關鍵．12．（2020·湖南岳陽市·中考真題）如圖：在中，是斜邊上的中線，若，則_________．【答案】【分析】先根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出，則有，最后利用三角形外角的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】∵在中，是斜邊上的中線，，∴．∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)是解題的關鍵．13．（2020·遼寧阜新市·中考真題）如圖，在中，，．將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到，則邊的中點D與其對應點的距離是____________．【答案】【分析】先由旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)證明：為等邊三角形，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，分別為的中點，為等邊三角形，

為中點，故答案為：【點睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關鍵．14．（2020·湖南邵陽市·中考真題）如圖，在中，，斜邊，過點C作，以為邊作菱形，若，則的面積為________．【答案】【分析】如下圖，先利用直角三角形中30°角的性質(zhì)求出HE的長度，然后利用平行線間的距離處處相等，可得CG的長度，即可求出直角三角形ABC面積．【詳解】如圖，分別過點E、C作EH、CG垂直AB，垂足為點H、G，∵根據(jù)題意四邊形ABEF為菱形，∴AB=BE=，

又∵∠ABE=30°∴在RT△BHE中，EH=，根據(jù)題意，AB∥CF，根據(jù)平行線間的距離處處相等，∴HE=CG=，∴的面積為．【點睛】本題的輔助線是解答本題的關鍵，通過輔助線，利用直角三角形中的30°角所對直角邊是斜邊一半的性質(zhì)，求出HE，再利用平行線間的距離處處相等這一知識點得到HE=CG，最終求出直角三角形面積．15．（2020·遼寧丹東市·中考真題）如圖，在四邊形中，，，，，點和點分別是和的中點，連接，，，若，則的面積是_________．【答案】．【分析】由題可得△ACD為等腰直角三角形，CD=8，可求出AD=AC=，點和點分別是和的中點，根據(jù)中位線定理和直角三角形斜邊中線定理可得到EF=AD，BE=AC，從而得到EF=EB，又，得∠CAB=15°，∠CEB=30°進一步得到∠FEB=120°，又△EFB為等腰三角形，所以∠EFB=∠EBF=30°，過E作EH垂直于BF于H點，在Rt△EFH中，解直角三角形求出EH，F(xiàn)H,以BF為底，EH為高，即可求出△BEF的面積．【詳解】解：∵，，∴△ADC為等腰直角三角，∵CD=8，∴AD=AC=CD=，∵E,F為AC，DC的中點，∴FE∥AD，EF=AD=，∴BE=AC=，∵AD=AC，∴EF=EB，△EFB為等腰三角形，又∵EF∥AD，∴EF⊥AC，∴∠FEC=90°，又EB=EA，∴∠EAB=∠EBA=105°－90°=15°，∴∠CEB=30°，∴∠FEB=120°，∴∠EFB=∠EBF=30°，

過E作EH垂直于BF于H點，∴BH=FH，在Rt△EFH中，∵∠EFH=30°，∴EH=EF·sin30°=×=，F(xiàn)H=EF·cos30°=×=，∴BF=2×=，∴SBEF=BF·EH=××=，故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，直角三角形斜邊中線定理，解直角三角形。正確的運用解題方法求出相關線段長度是解題的關鍵．16．（2020·黑龍江牡丹江市·中考真題）如圖，在中，，M是的中點，點D在上，，，垂足分別為E，F(xiàn)，連接．則下列結論中：①；②；③；④；⑤若平分，則；⑥，正確的有___________．（只填序號）【答案】①②③④⑤⑥【分析】證明△BCF≌△CAE，得到BF=CE，可判斷①；再證明△BFM≌△CEM，從而判斷△EMF為等腰直角三角形，得到EF=EM，可判斷③，同時得到∠MEF=∠MFE=45°，可判斷②；再證明△DFM≌△NEM，得到△DMN為等腰直角三角形，得到DN=DM

，可判斷④；根據(jù)角平分線的定義可逐步推斷出DE=EM，再證明△ADE≌△ACE，得到DE=CE，則有，從而判斷⑤；最后證明△CDM∽ADE，得到，結合BM=CM，AE=CF，可判斷⑥.【詳解】解：∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACE=90°，∵∠BCF+∠CBF=90°，∴∠ACE=∠CBF，又∵∠BFD=90°=∠AEC，AC=BC，∴△BCF≌△CAE（AAS），∴BF=CE，故①正確；由全等可得：AE=CF，BF=CE，∴AE-CE=CF=CE=EF，連接FM，CM，∵點M是AB中點，∴CM=AB=BM=AM，CM⊥AB，在△BDF和△CDM中，∠BFD=∠CMD，∠BDF=∠CDM，∴∠DBF=∠DCM，又BM=CM，BF=CE，∴△BFM≌△CEM，∴FM=EM，∠BMF=∠CME，∵∠BMC=90°，∴∠EMF=90°，即△EMF為等腰直角三角形，∴EF=EM=，故③正確，∠MEF=∠MFE=45°，∵∠AEC=90°，∴∠MEF=∠AEM=45°，故②正確，設AE與CM交于點N，連接DN，∵∠DMF=∠NME，F(xiàn)M=EM，∠DFM=∠DEM=∠AEM=45°，∴△DFM≌△NEM，∴DF=EN，DM=MN，∴△DMN為等腰直角三角形，∴DN=DM，而∠DEA=90°，∴，故④正確；∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=45°，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE=∠CAE=22.5°，∠ADE=67.5°，∵∠DEM=45°，∴∠EMD=67.5°，即DE=EM，∵AE=AE，∠AED=∠AEC，∠DAE=∠CAE，∴△ADE≌△ACE，∴DE=CE，∵△MEF為等腰直角三角形，∴EF=，∴，故⑤正確；∵∠CDM=∠ADE，∠CMD=∠AED=90°，∴△CDM∽ADE，∴，∵BM=CM，AE=CF，∴，∴，故⑥正確；故答案為：①②③④⑤⑥.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等量代換，難度較大，解題的關鍵是添加輔助線，找到全等三角形說明角相等和線段相等.17．（2020·四川廣元市·中考真題）如圖所示，均為等邊三角形，邊長分別為，B、C、D三點在同一條直線上，則下列結論正確的________________．（填序號）①②③為等邊三角形④⑤CM平分【答案】①②③⑤【分析】①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，則∠ACE＝60°，利用“SAS”可判斷△ACD≌△BCE，則AD＝BE；②過E作,根據(jù)等邊三角形求出ED、CN的長，即可求出BE的長；③由等邊三角形的判定得出△CMN是等邊三角形；④證明△DMC∽△DBA，求出CM長；⑤證明M、F、C、G四點共圓，由圓周角定理得出∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，得出∠BMC＝∠DMC，所以CM平分∠BMD.【詳解】解：連接MC，F(xiàn)G，過點E作EN⊥BD，垂足為N，①∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，∴∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE＝120°，

在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；①正確；②∵△CDE都是等邊三角形，且邊長為3cm.∴CN=cm，EN=cm.∵BC=5cm.∴，②正確；③∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，在△ACG和△BCF中，∴△ACG≌△BCF（ASA），∴CG＝CF而∠GCF＝60°，∴△CFG是等邊三角形，③正確；⑤∵∠EMD＝∠MBD＋∠MDB＝∠MAC＋∠MDB＝60°＝∠FCG，∴M、F、C、G四點共圓，∴∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，∴∠BMC＝∠DMC，∴CM平分∠BMD，⑤正確；④∵∠DMC=∠ABD，∠MDC=∠BDA∴△DMC∽△DBA∴∴∴CM=.④錯誤.故答案為：①②③⑤.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵．18．（2020·江蘇常州市·中考真題）如圖，在中，，D、E分別是、的中點，連接，在直線和直線上分別取點F、G，連接、．若，且直線與直線互相垂直，則的長為_______．

【答案】4或2【分析】分當點F在點D右側(cè)時，當點F在點D左側(cè)時，兩種情況，分別畫出圖形，結合三角函數(shù)，勾股定理以及平行四邊形的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：如圖，當點F在點D右側(cè)時，過點F作FM∥DG，交直線BC于點M，過點B作BN⊥DE，交直線DE于點N，∵D，E分別是AB和AC中點，AB=，∴DE∥BC，BD=AD=，∠FBM=∠BFD，∴四邊形DGMF為平行四邊形，則DG=FM，∵DG⊥BF，BF=3DG，∴∠BFM=90°，∴tan∠FBM==tan∠BFD，∴，∵∠ABC=45°=∠BDN，∴△BDN為等腰直角三角形，∴BN=DN=，∴FN=3BN=9，DF=GM=6，∵BF==，∴FM==，∴BM=，∴BG=10-6=4；當點F在點D左側(cè)時，過點B作BN⊥DE，交直線DE于N，過點B作BM∥DG，交直線DE于M，延長FB和DG，交點為H，可知：∠H=∠FBM=90°，四邊形BMDG為平行四邊形，∴BG=MD，BM=DG，∵BF=3DG，∴tan∠BFD=，同理可得：△BDN為等腰直角三角形，BN=DN=3，∴FN=3BN=9，∴BF=，

設MN=x，則MD=3-x，F(xiàn)M=9+x，在Rt△BFM和Rt△BMN中，有，即，解得：x=1，即MN=1，∴BG=MD=ND-MN=2.綜上：BG的值為4或2.故答案為：4或2.【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，難度較大，解題的關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，分清情況.19．（2020·貴州黔東南苗族侗族自治州·中考真題）如圖1，△ABC和△DCE都是等邊三角形．探究發(fā)現(xiàn)（1）△BCD與△ACE是否全等？若全等，加以證明；若不全等，請說明理由．拓展運用（2）若B、C、E三點不在一條直線上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的長．（3）若B、C、E三點在一條直線上（如圖2），且△ABC和△DCE的邊長分別為1和2，求△ACD的面積及AD的長．【答案】（1）全等，理由見解析；（2）BD＝；（3）△ACD的面積為，AD＝．【分析】（1）依據(jù)等式的性質(zhì)可證明∠BCD＝∠ACE，然后依據(jù)SAS可證明△ACE≌△BCD；（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理計算AE的長，可得BD的長；（3）過點A作AF⊥CD于F，先根據(jù)平角的定義得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函數(shù)可得AF

的長，由三角形面積公式可得△ACD的面積，最后根據(jù)勾股定理可得AD的長．【詳解】解：（1）全等，理由是：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）如圖3，由（1）得：△BCD≌△ACE，∴BD＝AE，∵△DCE都是等邊三角形，∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，在Rt