河南省焦作市2022-2023學(xué)年高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（文科）試題

焦作市普通高中2022~2023學(xué)年高三年級第二次模擬考試數(shù)學(xué)（文科）第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡集合A，B，根據(jù)集合的交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因為，，所以，故選：B2.若，則（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】按照復(fù)數(shù)運(yùn)算律計算，再求復(fù)數(shù)的模.【詳解】因為，所以，所以.故選：A.3.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指對數(shù)的性質(zhì)與中間數(shù)比大小即可.【詳解】，所以.故選：D.4.已知向量，，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)求得m，再利用向量的模公式求解.【詳解】解：因為向量，，所以，又因為，所以，解得，所以，故選：C5.設(shè)，滿足約束條件，則的最小值為（）A. B. C.4 D.10【答案】B【解析】【分析】畫出可行域及目標(biāo)函數(shù)，利用幾何意義求出最小值.【詳解】畫出可行域及目標(biāo)函數(shù)，如下：其中可看作的縱截距的倍，故當(dāng)在點(diǎn)取得最小值，其中聯(lián)立，解得：，故將代入中，得到，故最小值為.故選：B6.已知函數(shù)圖象兩個相鄰的對稱中心的間距為，則下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用輔助角公式化簡，由條件確定的周期，結(jié)合周期公式求，再根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的奇偶性判斷各選項.【詳解】函數(shù)可化為，因為函數(shù)圖象兩個相鄰的對稱中心的間距為，所以函數(shù)的周期為，所以，又，所以，所以，所以，函數(shù)為奇函數(shù)；，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)不為偶函數(shù)；，所以函數(shù)為偶函數(shù)；因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)不為偶函數(shù).故選：C.7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】列舉出循環(huán)的每一步，即可得出輸出的的值.【詳解】第一次循環(huán)，成立，，；第二次循環(huán)，成立，，；第三次循環(huán)，成立，，；第四次循環(huán)，成立，，；第五次循環(huán)，成立，，；第六次循環(huán)，成立，，；第七次循環(huán)，成立，，，不成立，跳出循環(huán)體，輸出的值為.故選：B.8.已知等比數(shù)列的公比的平方不為，則“是等比數(shù)列”是“是等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的遞推關(guān)系進(jìn)行證明即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若是等比數(shù)列，則為常數(shù)，由為常數(shù)，所以是等差數(shù)列；若是等差數(shù)列，設(shè)的公差為，則為常數(shù)，所以是等比數(shù)列.綜上，“是等比數(shù)列”是“是等差數(shù)列”的充要條件.

故選：C9.定義在上的函數(shù)滿足，則的圖象不可能為（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】當(dāng)時，由可得，當(dāng)時，推導(dǎo)出，進(jìn)而可得出合適的選項.【詳解】當(dāng)時，由可得，排除B選項；當(dāng)時，可得，則，所以，（為常數(shù)），所以，，選項A滿足，選項C滿足，選項D滿足.故選：B.10.如圖，在正方形中，分別是邊上的點(diǎn)，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正切的和差公式得到，然后得到，即可得到.【詳解】由題可知，則，即，.故選：D.11.在直三棱柱中，為等邊三角形，若三棱柱的體積為，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直三棱柱的體積得到，根據(jù)直三棱柱外接球半徑的求法得到，然后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到的最小值，即可得到外接球表面積的最小值.【詳解】設(shè)直三棱柱的高為，外接球的半徑為，外接圓的半徑為，則，所以，又，令，則，易知的最小值為，此時，所以該三棱柱外接球表面積的最小值為.故選：A.12.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，，若直線與的右支交于兩點(diǎn)，且為的重心，則的離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)為的重心，求得，由直線與的右支交于兩點(diǎn)，得到，求得，再由時，證得四點(diǎn)共線不滿足題意，即可求得雙曲線的離心率的取值范圍.【詳解】由題意，雙曲線的右焦點(diǎn)為，且，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，因為為的重心，所以，即，解得，即，因為直線與的右支交于兩點(diǎn)，則滿足，整理得，解得或（舍去），當(dāng)離心率為時，即時，可得，此時，設(shè)，可得，又由，兩式相減可得，即直線的斜率為，又因為，所以，此時四點(diǎn)共線，此時不滿足題意，綜上可得，雙曲線的離心率的取值范圍為.故選：A.【點(diǎn)睛】知識方法：求解圓錐曲線的離心率的常見方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程或不等式，結(jié)合離心率的定義求解；3、特殊值法：根據(jù)特殊點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用取特殊值或特殊位置，求出離心率問題.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13.《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，書中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，則直角圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得圓錐的底面半徑和母線的關(guān)系，再根據(jù)弧長公式即可得解.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，根據(jù)直角圓錐的軸截面為等腰直角三角形可得，母線長，則圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為.故答案為：.14.的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，且，，則的面積為______．【答案】【解析】【分析】利用三角恒等變換以及正弦定理化簡可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值，利用余弦定理可求得的值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，，因為、、，則，所以，，由正弦定理可得，因為，所以，，則，可得.由余弦定理可得，因此，.故答案為：.15.已知為正四棱錐，從O，A，B，C，D五點(diǎn)中任取三點(diǎn)，則取到的三點(diǎn)恰好在同一個側(cè)面的概率為_________．【答案】##0.4【解析】【分析】利用古典概型的概率計算公式，分析出符合題意的基本事件總數(shù)和個數(shù)，即可求解.【詳解】解：從O，A，B，C，D五點(diǎn)中任取三點(diǎn)，有，，，，，，，，，，共10種不同取法，取到的三點(diǎn)恰好在同一個側(cè)面有，，，，共4種情況，由古典概型的概率計算公式知，所求概率為，故答案為：或0.4.16.寫出一條與圓和曲線都相切的直線的方程：___________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】設(shè)切線與圓相切于點(diǎn)，得到切線的方程，與聯(lián)立，由判別式為零求解.【詳解】解：設(shè)切線與圓相切于點(diǎn)，則，切線的方程為，即，將與聯(lián)立，可得，令，聯(lián)立解得或或或所以切線的方程為或或或.故答案為：（答案不唯一）三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.某學(xué)校記錄了某學(xué)期40名學(xué)生期中考試的數(shù)學(xué)成績和期末考試的數(shù)學(xué)成績，得到的頻數(shù)分布表如下：期中考試的數(shù)學(xué)成績頻數(shù)分布表數(shù)學(xué)成績頻數(shù)4141642期末考試的數(shù)學(xué)成績頻數(shù)分布表數(shù)學(xué)成績頻數(shù)6101284（1）估計這40名學(xué)生期中考試的數(shù)學(xué)成績小于100分的概率；（2）估計這40名學(xué)生期末考試的數(shù)學(xué)成績的平均分比期中考試數(shù)學(xué)成績的平均分提高多少分．（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）求出期中考試的數(shù)學(xué)成績小于100分的學(xué)生人數(shù)，根據(jù)總?cè)藬?shù)，利用頻率與概率的關(guān)系得求解即可；（2）根據(jù)“平均分等于各組區(qū)間的中點(diǎn)值乘以相應(yīng)的頻數(shù)的和再除以總?cè)藬?shù)”求出期中與期末考試的平均分，從而得到答案．【小問1詳解】因為期中考試的數(shù)學(xué)成績在內(nèi)的學(xué)生有16人，所以期中考試的數(shù)學(xué)成績在內(nèi)的學(xué)生有（人），所以期中考試的數(shù)學(xué)成績小于100分的學(xué)生有（人），所以估計這40名學(xué)生期中考試的數(shù)學(xué)成績小于100分的概率為．【小問2詳解】這40名學(xué)生期末考試的數(shù)學(xué)成績的平均分為，這40名學(xué)生期中考試的數(shù)學(xué)成績的平均分為，所以估計這40名學(xué)生期末考試的數(shù)學(xué)成績的平均分比期中考試數(shù)學(xué)成績的平均分提高(分)．18.已知數(shù)列滿足.（1）求的通項公式；（2）已知數(shù)列的前20項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)得到，然后兩式相減得到，最后驗證時是否成立，即可得到；（2）分奇偶項求和，奇數(shù)項用等差數(shù)列求和公式求和，偶數(shù)項用裂項相消的方法求和，最后相加即可.【小問1詳解】當(dāng)時，可得，當(dāng)時，，，上述兩式作差可得，因為滿足，所以的通項公式為.【小問2詳解】，所以，.所以數(shù)列的前20項和為.19.如圖1，在中，，，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且．現(xiàn)將沿翻折到，如圖2．（1）證明：．（2）已知，求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，證明平面，再由線面垂直的性質(zhì)得到線線垂直即可；（2）根據(jù)條件，求出四棱錐的底面面積和高，再求出四棱錐的體積即可.【小問1詳解】證明：在中，，∴，，∵，平面,平面,∴平面,又平面，∴.【小問2詳解】作交于,

∵平面，平面，∴，又,平面，平面，∴平面.在中，，，，，又為的中點(diǎn)，，，又，.四邊形的面積,四棱錐的體積.20.已知是橢圓的右焦點(diǎn)，且在橢圓上，垂直于軸.（1）求橢圓的方程.（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于（異于點(diǎn)）兩點(diǎn)，為直線上一點(diǎn).設(shè)直線的斜率分別為，若，證明：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)以及垂直于軸，可得，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程在結(jié)合橢圓的關(guān)系解出，即可得出橢圓的方程；（2）設(shè)，根據(jù)已知設(shè)出直線的方程為，則設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得出與，根據(jù)斜率的兩點(diǎn)公式得出，再根據(jù)直線的方程消去式子中的與，再結(jié)合韋達(dá)定理結(jié)果即可得出，再結(jié)合已知與斜率的兩點(diǎn)公式即可解出，即證明.【小問1詳解】由垂直于軸，可得.將點(diǎn)代入，可得，又，解得，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】證明：由（1）知，，則橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得：，恒成立，由韋達(dá)定理知，，又，，所以.因為，則，所以，解得，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.21已知函數(shù)，．（1）求的極值；（2）若存在，使得，求實數(shù)的范圍．【答案】（1）當(dāng)時，取極小值，沒有極大值（2）.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)可得的極值；（2）存在，使得，等價于當(dāng)時，，后分兩種情況結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析即可得答案.【小問1詳解】由題，可得，當(dāng)，當(dāng)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取極小值，沒有極大值；【小問2詳解】存在，使得，等價于當(dāng)時，.當(dāng)，由（1）可得在上單調(diào)遞減，故此時，.構(gòu)造函數(shù)，.則.令，.則，令，當(dāng)，當(dāng)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，得上單調(diào)遞增.注意到，，則.則時，恒成立，即滿足條件；當(dāng)時，由（1）可得此時，則，即.綜上可知，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及求函數(shù)極值及用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)能成立問題，難度較大.對于能成立問題，常轉(zhuǎn)化為最值問題，本題的關(guān)鍵為利用最值構(gòu)造有關(guān)所求參數(shù)的函數(shù).（二）選考題：共10分．請考生從第22，23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一個題目計分．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線過原點(diǎn)，且傾斜角為．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線和直線極坐標(biāo)方程；（2）已知曲線與直線交于，兩點(diǎn)，若，求直線的直角坐標(biāo)方程．【答案】（1）曲線的極坐標(biāo)方程；直線的極坐標(biāo)方程；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，先將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，然后再化為極坐標(biāo)方程即可；由題意可得直線的極坐標(biāo)方程即可；（2）將直線的極坐標(biāo)方程代入曲線的極坐標(biāo)方程中，然后根據(jù)條件即可得到，從而得到結(jié)果.【小問1詳解】因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），化簡可得，即，根據(jù)，得到極坐標(biāo)方程為；又因為直線過原點(diǎn)，且傾斜角為，所以直線的極坐標(biāo)方程為.【小問2詳解】將代入可得，設(shè)，兩點(diǎn)的極徑為，則，則，即，故，且，則，所以，則，故直線的直角坐標(biāo)系方程為[選修4—5：不等式選講]