河南省焦作市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

焦作市普通高中2022—2023學(xué)年（下）高一年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再求得，從而可求出.【詳解】由，得，所以，所以或，由，得，解得所以，所以，故選：D2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先對(duì)化簡(jiǎn)求出復(fù)數(shù)，從而可求出其共軛復(fù)數(shù)【詳解】由，得，所以，故選：A3.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由任意角的三角函數(shù)的定義結(jié)合題意求出，再由二倍角公式的值.【詳解】因?yàn)榻堑捻旤c(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，故選：B4.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A.c＜b＜a B.c＜a＜b C.b＜a＜c D.b＜c＜a【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出，，進(jìn)而即可得到，，的大小關(guān)系．【詳解】由，且，即，又，所以c＜b＜a．故選：A．5.在中，邊BC上的中線與邊AC上的中線的交點(diǎn)為E，若，則（）A.1 B.－1 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的基本定理結(jié)合條件即得.【詳解】由題可知E為三角形的重心，則，∴，，∴.故選：D6.隨機(jī)抽查了某校名高三學(xué)生的視力情況，得到的頻率分布直方圖如圖所示，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道后組的頻數(shù)和為，設(shè)視力在到之間的學(xué)生人數(shù)為，各組中頻率最大的為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中信息計(jì)算出第三、第四組的頻數(shù)，將第三組和第四組的頻數(shù)相加可得出的值.【詳解】前兩組的頻數(shù)之和為，第四組的頻數(shù)為，后五組的頻數(shù)之和為，所以，前三組的頻數(shù)之和為，故第三組的頻數(shù)為，因此，.故選：B.7.已知函數(shù)，有下述三個(gè)結(jié)論：①的最小正周期是；②在區(qū)間上不單調(diào)；③將圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象．其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A.① B.② C.①② D.①②③【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意利用三角恒等變換將函數(shù)化簡(jiǎn)成，然后根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)新性，周期和三角函數(shù)圖像的平移即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)的最小正周期，故①正確；當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)的圖像可知，函數(shù)在上先增后減，故②正確；將圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，可得，故③錯(cuò)誤，所以結(jié)論正確為①②，故選：C.8.如圖，在三棱柱中，過(guò)的截面與AC交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E（D，E都不與C重合），若該截面將三棱柱分成體積之比為的兩部分，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到，得到特殊圖形，根據(jù)棱臺(tái)和棱柱的體積公式直接求解即可.【詳解】因?yàn)槿庵?，所以，面面，又因?yàn)槊婷?，面面，所以，顯然為三棱臺(tái)，設(shè)，（），三棱柱的高為，則，所以三棱柱體積為，三棱臺(tái)的體積為，.①三棱臺(tái)的體積占，則，得，得或，均不符合題意；②三棱臺(tái)的體積占，則，得，得或，因?yàn)?，所?故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知向量，，則的值可以是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出，利用正弦函數(shù)值域即可得出結(jié)果.【詳解】由題知，，因?yàn)?，，所以，，即的范圍?故選：BC10.下列命題正確的是（）A.在中，若A＞B，則B.在中，若，，A＝45°，則B＝60°C.在中，若，則是等腰三角形D.在中，【答案】ACD【解析】【分析】由余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷A；由正弦定理結(jié)合大邊對(duì)大角可判斷B；由正弦定理和余弦定理角化邊可判斷C；由兩角差的余弦公式可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以A＞B，則，故A正確；對(duì)于B，若，，A＝45°，由正弦定理可得：，則，解得：，則或，因?yàn)?，則，所以或，故B不正確；對(duì)于C，由可得：，所以，則所以是等腰三角形，故C正確；對(duì)于D，，因?yàn)樵谥?，，所以，故D正確.故選：ACD11.若，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由已知可得，然后構(gòu)造函數(shù)，則，然后通過(guò)判斷函數(shù)的單調(diào)性可得，然后逐個(gè)分析判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則，因?yàn)楹驮谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以由，得，對(duì)于A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，所以A正確，對(duì)于B，若，則，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，若，則，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以，即，所以D正確，故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將原不等式變形為，然后構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷出的大小，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.12.如圖，若正方體的棱長(zhǎng)為1，M是側(cè)面（含邊界）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.若，則點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為C.若，則的最大值為D.若，則的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A，由，的面積為定值，且點(diǎn)到平面的距離為正方體的棱長(zhǎng)，從而可進(jìn)行判斷，對(duì)于B，過(guò)點(diǎn)作，由已知得點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的半圓弧，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式可判斷，對(duì)于CD，過(guò)點(diǎn)作，則是的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，解三角形，可求出的最值.【詳解】對(duì)于A，三棱錐的體積為，因?yàn)镻是的中點(diǎn)，所以的面積為定值，因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離為正方體的棱長(zhǎng)，所以三棱錐的體積為定值，所以A正確，對(duì)于B，過(guò)點(diǎn)作于，則由正方體的性質(zhì)和面面垂直的性質(zhì)，可得平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的半圓弧，所以點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為，所以B正確，對(duì)于CD，過(guò)點(diǎn)作于，則為的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，則∥，因?yàn)?，所以≌，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫渣c(diǎn)的軌跡是線段，在中，，所以的最大值為，所以C正確，在中，，所以，所以點(diǎn)到的距離為，所以D錯(cuò)誤，故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知點(diǎn)，，，，則向量在向量方向上的投影數(shù)量為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】先求得向量，的坐標(biāo)，再根據(jù)數(shù)量投影的定義即可求得答案.【詳解】，所以向量在方向上的數(shù)量投影為.故答案為：.14.已知圓臺(tái)的下底面半徑為，上底面半徑為，其側(cè)面積等于上、下底面積之和，則圓臺(tái)的高為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】求出圓臺(tái)的上底面，下底面面積，寫(xiě)出側(cè)面積表達(dá)式，利用側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求出圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，最后根據(jù)解直角三角形求出它的高即可.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，則圓臺(tái)上底面面積，圓臺(tái)下底面面積，所以兩底面面積之和為，又圓臺(tái)側(cè)面積，則，所以，所以圓臺(tái)的高為.故答案為：15.已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，都有，則t的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，且當(dāng)時(shí)，，類(lèi)比周期函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的解析式，然后作出圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，即時(shí)，由，所以，同理可得，依此類(lèi)推，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖象知：當(dāng)時(shí)，令，則，解得，對(duì)任意，都有，只需對(duì)任意，函數(shù)的圖象不在直線的上方即可，由圖知，即t的取值范圍是.故答案為：16.在三棱錐中，平面平面，，且，是等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】通過(guò)題意畫(huà)出圖像，通過(guò)三棱錐圖像性質(zhì)以及三棱錐外接球的相關(guān)性質(zhì)確定圓心位置，最后根據(jù)各邊所滿足的幾何關(guān)系列出算式，即可得出結(jié)果.【詳解】如圖所示，作中點(diǎn)，連接、，在上作的中心，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，在垂線上取一點(diǎn)，使得，因?yàn)槿忮F底面是等邊三角形，是的中心，所以三棱錐外接球球心在過(guò)點(diǎn)的平面垂線上，又因，則即為球心，因?yàn)槠矫嫫矫?，，，平面平面，，所以平面，，，，，設(shè)球的半徑為，則，，即，解得，故三棱錐外接球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】三棱錐外接球表面積的問(wèn)題，從以下幾個(gè)角度考慮：（1）三棱錐的性質(zhì)的應(yīng)用；（2）通過(guò)三棱錐的幾何特征確定外接球的球心和半徑；（3）推理能力的應(yīng)用；（4）數(shù)形結(jié)合，化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.已知向量，．（1）若，求實(shí)數(shù)k的值；（2）若，求實(shí)數(shù)t的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出向量、的坐標(biāo)，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)的值.（2）求出向量、的坐標(biāo)，依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以，．因?yàn)椋?，解得．【小?wèn)2詳解】，因?yàn)?，所以，解得?8.在一次數(shù)學(xué)考試后，隨機(jī)抽取了100名參加考試的學(xué)生，發(fā)現(xiàn)他們的分?jǐn)?shù)（單位：分）都在內(nèi)，按，，…，分組得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求圖中a的值；（2）試估計(jì)這100名學(xué)生得分的中位數(shù)；（結(jié)果精確到整數(shù)）（3）現(xiàn)在按人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法從樣本中分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生中抽取5人，再?gòu)倪@5人中任取2人參加這次數(shù)學(xué)考試的總結(jié)會(huì)，試求和兩組各有一人參加總結(jié)會(huì)的概率.【答案】（1）0.030（2）123（3）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖中各個(gè)矩形面積之和為1即能求出a；（2）根據(jù)中位數(shù)求法，從第一組開(kāi)始，求得頻率和為0.5時(shí)對(duì)應(yīng)底邊的值即可；（3）按照分層抽樣的特征，可分別求得兩組各抽取的人數(shù)，再利用列舉法結(jié)合古典概型概率公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖得，解得a＝0.030.【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖可得前四組的頻率之和為0.4，前五組的頻率之和為0.7，故中位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，則中位數(shù)為.【小問(wèn)3詳解】在和兩組中的人數(shù)分別為100×（0.01×10）＝10和100×（0.015×10）＝15，故在分組中抽取人，記為A，B，在分組中抽取3人，記為c，d，e.從這5人中任取2人，樣本空間為，共含有10個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)事件M為“和兩組各有一人參加總結(jié)會(huì)”，則，含有6個(gè)樣本點(diǎn)，故.19.已知函數(shù)的圖象與x軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且．（1）求的解析式；（2）將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】（1）（2），．【解析】【分析】（1）首先根據(jù)周期求，再根據(jù)求，即可求函數(shù)的解析式；（2）首先利用平移規(guī)律求的解析式，再化簡(jiǎn)的解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【小問(wèn)1詳解】由已知得的最小正周期，所以，從而，又，，所以,所以．【小問(wèn)2詳解】由已知得．故，令，，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，．20.在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，，且．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）由題意可得，，則由線面平行的判定定理可得平面，平面，再由面面平行的判定定理可得平面平面，再由面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）由已知條件可得平面BCE，再由面面垂直判定定理可證得結(jié)論；（3）由題意可得平面平面，則平面，所以，從而可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】∵四邊形是矩形，∴，又平面，平面，∴平面．∵，平面，平面，∴平面．∵，平面，∴平面平面，又平面，∴平面．【小問(wèn)2詳解】∵平面，平面，∴，在矩形中，，又∵，平面∴平面．又平面，∴平面平面．【小問(wèn)3詳解】∵平面，平面，∴平面平面．又，平面平面，平面，∴平面，則為三棱錐的高，且．∵，∴，∴．21.已知函數(shù)，．（1）若，函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若a＞1，且對(duì)任意，都有，使得成立，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，要使函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則由零點(diǎn)存在定理可得，解不等式即可得出答案；（2）若對(duì)任意，都有，使得成立，則當(dāng)時(shí)，，討論a＞1，1＜a＜2或，求出，解不等式即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則由零點(diǎn)存在定理可得，即解得，所以的取值范圍是．【小問(wèn)2詳解】若對(duì)任意，都有，使得成立，則當(dāng)時(shí)，．因?yàn)閍＞1，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，，所以．當(dāng)1＜a＜2時(shí)，，，不符合條件，當(dāng)時(shí)，，，符合條件，所以a的取值范圍是．22.已知在中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且．（1）求；（2）若，為的平分線，求的長(zhǎng)；（3）若，且為銳角三角形，求面積的取值范圍．【答案】（1）