安徽省江淮名校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月階段性聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

江準(zhǔn)名?！?023~2024學(xué)年高二年級(jí)上學(xué)期階段性聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線(xiàn)內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚．3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列直線(xiàn)中，傾斜角為的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由傾斜角得出該直線(xiàn)的斜率，即可得出答案.【詳解】對(duì)于A(yíng),直線(xiàn)的斜率為，傾斜角為;對(duì)于B,直線(xiàn)的斜率為,傾斜角為；對(duì)于C,直線(xiàn)的斜率為，傾斜角為；對(duì)于D,直線(xiàn)的斜率為，傾斜角為.故選：B.2.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)M為橢圓C上一點(diǎn)，則（）A.8 B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義得解.【詳解】由橢圓知，所以,又由橢圓的定義，得．故選：A．3.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C上，點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，得到P在線(xiàn)段的中垂線(xiàn)上，從而得到，然后利用拋物線(xiàn)的定義求解.【詳解】解：由拋物線(xiàn)，得，因?yàn)?，所以P在線(xiàn)段的中垂線(xiàn)上，所以，由拋物線(xiàn)的定義，得．故選：C．4.已知直線(xiàn)與圓相交于A(yíng),B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A.26 B.18 C.14 D.13【答案】B【解析】【分析】先得到圓心和半徑，進(jìn)而求得弦長(zhǎng)即可.【詳解】由，得，所以圓心為,半徑，圓心C到直線(xiàn)l距離，所以，所以的周長(zhǎng)為．故選：B．5.已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)直線(xiàn)的方程為，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，根據(jù)題意，由直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C有交點(diǎn)求解.【詳解】設(shè)直線(xiàn)的斜率為k,則直線(xiàn)的方程為，由題意，得直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C有交點(diǎn)，聯(lián)立方程，得，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，解得且．綜上所述，．故選：D．6.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,下頂點(diǎn)為，垂直于y軸的直線(xiàn)與橢圓C相交于A(yíng),B兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】求出橢圓的方程，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算化簡(jiǎn)，配方求最小值即可得解.【詳解】由橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，可得，即,由下頂點(diǎn)為，得，所以橢圓C的方程為．由題意可設(shè)，則，又，所以，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，故選：A．7.根據(jù)中國(guó)地震局發(fā)布的最新消息，2023年1月1日至2023年11月10日，全球共發(fā)生六級(jí)以上地震110次，最大地震是2023年02月06日09時(shí)02分37秒在土耳其發(fā)生的7.8級(jí)地震．地震定位對(duì)地震救援具有重要意義，根據(jù)雙臺(tái)子臺(tái)陣方法，在一次地震發(fā)生后，通過(guò)兩個(gè)地震臺(tái)站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在雙曲線(xiàn)的一支上，這兩個(gè)地震臺(tái)站的位置就是該雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn).已知地震臺(tái)站A，B在公路l上（l為直線(xiàn)），且A，B相距，地震局以的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，直線(xiàn)l為x軸，為單位長(zhǎng)度建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.在一次地震發(fā)生后，根據(jù)A，B兩站收到的信息，并通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)震中P在雙曲線(xiàn)的右支上，且，則P到公路l的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可求出a的值，即得的值，利用余弦定理即可求出的值，從而求得的面積，進(jìn)而結(jié)合等面積法求得答案.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的焦距為2c，由題意，得，所以，解得，所以，由及余弦定理，得，即，所以，的面積，設(shè)P到公路l的距離為h，則，所以，即P到公路l的距離為，故選：D.8.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，若圓上存在點(diǎn)M在以為直徑的圓上，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】確定以為直徑的圓的圓心和半徑，根據(jù)兩圓有交點(diǎn)得到，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】，則以為直徑的圓的圓心為的中點(diǎn)，半徑為．圓的圓心為,半徑．因?yàn)镸在以為直徑的圓上，所以圓與以為直徑的圓有交點(diǎn)，即，，解得，所以實(shí)數(shù)的最小值為．故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則（）A.直線(xiàn)平面 B.直線(xiàn)平面C.直線(xiàn)平面 D.直線(xiàn)平面【答案】ACD【解析】【分析】由題意根據(jù)數(shù)量積的垂直表示、共線(xiàn)向量定理，判斷坐標(biāo)平面的法向量和直線(xiàn)的方向向量之間是否垂直，平行逐一判斷即可.【詳解】，平面的一個(gè)法向量是，平面的一個(gè)法向量是，因?yàn)?所以,又平面,所以直線(xiàn)平面，故A正確；因?yàn)椴淮嬖谑沟?所以與不平行，即直線(xiàn)平面不成立，故B錯(cuò)誤；，因?yàn)?所以,又平面,所以直線(xiàn)平面，故C正確；因?yàn)椋耘c平行，即直線(xiàn)平面，故D正確．故選：ACD．10.已知，點(diǎn)在直線(xiàn)l上，圓，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若圓C關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)l的方程為B.若點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn)，則的最大值為C.若直線(xiàn)l與圓C相切于點(diǎn)B，則D.若直線(xiàn)l與圓C相切，則直線(xiàn)l的方程為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，利用直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，以及圓的弦長(zhǎng)、切線(xiàn)方程的求法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A(yíng)中，由圓，得圓心，半徑，若圓C關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)圓心C，所以直線(xiàn)l的斜率為，此時(shí)直線(xiàn)方程為,即，所以A正確；對(duì)于B中，由，的最大值為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，若直線(xiàn)l與圓C相切于點(diǎn)B，則，所以C正確；對(duì)于D中，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)l的方程為,圓心C到直線(xiàn)l的距離為，所以直線(xiàn)l與圓C相切，滿(mǎn)足要求；當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為，即,若直線(xiàn)l與圓C相切，則圓心C到直線(xiàn)l的距離，解得，所以直線(xiàn)l的方程為，綜上所述，若直線(xiàn)l與圓C相切，則直線(xiàn)l的方程為或，所以D錯(cuò)誤．故選：AC．11.已知曲線(xiàn)（為常數(shù)），點(diǎn)A是曲線(xiàn)E上一點(diǎn)，直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)B，C滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若方程表示橢圓，則B.若方程表示雙曲線(xiàn)，則C.當(dāng)時(shí)，的面積的最小值為4D.當(dāng)時(shí)，使得是等腰直角三角形的點(diǎn)A有8個(gè)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)方程表示橢圓，可確定的取值情況，判斷A；根據(jù)方程表示雙曲線(xiàn)，可確定的取值情況，判斷B；設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立雙曲線(xiàn)方程，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離可求出雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最短距離，即可判斷C；分類(lèi)討論直角三角形頂點(diǎn)，從而確定符合題意的三角形個(gè)數(shù)，判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若方程表示橢圓，則且，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，若方程表示雙曲線(xiàn)，則或，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)E為雙曲線(xiàn)，設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立方程，得，當(dāng)直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)E只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，解得，所以點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離的最小值，故的面積的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D,若或，則點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離為，設(shè)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)此時(shí)的點(diǎn)A，則，解得，當(dāng)時(shí)，由C選項(xiàng)可知此時(shí)，即存在2個(gè)點(diǎn)A滿(mǎn)足要求，同理時(shí)，也存在2個(gè)點(diǎn)A滿(mǎn)足要求；若,則點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離為設(shè)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)此時(shí)的點(diǎn)A，則，解得，當(dāng)時(shí)，由C選項(xiàng)可知此時(shí)，即存在2個(gè)點(diǎn)A滿(mǎn)足要求.同理時(shí)，也存在2個(gè)點(diǎn)A滿(mǎn)足要求，綜上所述，使得是等腰直角三角形的點(diǎn)A有8個(gè)，故D正確．故選：ABD．12.如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為側(cè)面（含邊界）上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.存在點(diǎn)F，使得 B.滿(mǎn)足的點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為C.的最小值為 D.若平面，則線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為【答案】BD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間向量法判斷直線(xiàn)的位置關(guān)系可判斷A；根據(jù)，推出F點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足的關(guān)系，可求得F的軌跡長(zhǎng)度，判斷C；利用點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，結(jié)合空間兩點(diǎn)的距離公式可判斷C；求出平面的法向量，根據(jù)空間位置關(guān)系的向量證法求出，結(jié)合空間兩點(diǎn)間距離公式以及二次函數(shù)性質(zhì)，可判斷D.【詳解】以A為原點(diǎn)，分別以所在的直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)于選項(xiàng)A，若，則，又，所以，即，此方程無(wú)解，所以不存在點(diǎn)F，使得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，由，得，化簡(jiǎn)可得，即F點(diǎn)軌跡為矩形內(nèi)的線(xiàn)段，又，所以當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，得，即滿(mǎn)足的點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)點(diǎn)C關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為G，則G的坐標(biāo)為，則，共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)槠矫?，所以，即，又點(diǎn)，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法判斷線(xiàn)線(xiàn)和線(xiàn)面位置關(guān)系，對(duì)于D選項(xiàng)還需結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)從而得到其最值.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的傾斜角為，則雙曲線(xiàn)C的離心率為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)漸近線(xiàn)的斜率可得，結(jié)合離心率公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為，又因?yàn)槠渲幸粭l漸近線(xiàn)的傾斜角為，則，即，所以，即.故答案為：.14.在四棱錐中，底面是平行四邊形，是棱上一點(diǎn)，且，，則___________．【答案】【解析】【分析】由已知選取為基底，根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算及空間向量基本定理即可求解.【詳解】連接，則，又，所以．故答案是：.15.已知半徑為的圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則圓心C到直線(xiàn)的距離的最大值為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】確定圓心C的軌跡方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，求出到直線(xiàn)l的距離，加上軌跡的半徑，即得答案.【詳解】設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，因?yàn)榘霃綖榈膱AC經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以，所以點(diǎn)C的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故圓心C到直線(xiàn)的距離的最大值為點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離加上半徑，即，故答案：16.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F且斜率為的直線(xiàn)l與橢圓E交于A(yíng),B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,若，則橢圓E的離心率為_(kāi)__________．【答案】##【解析】【分析】設(shè)，由得，由題可得直線(xiàn)方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合條件可得的方程，然后求解離心率即可.【詳解】設(shè)F的坐標(biāo)為，則，直線(xiàn)l的方程為，則C的坐標(biāo)為，設(shè)，由，得，所以①，聯(lián)立方程得，所以②，③，由①②得，代入③得，又，所以,即,解得或,所以離心率（舍）或．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知兩點(diǎn)，直線(xiàn)．（1）若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且，求直線(xiàn)的方程；（2）若圓C的圓心在直線(xiàn)l上，且P，Q兩點(diǎn)在圓C上，求圓C的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）易知直線(xiàn)的斜率為2，再根據(jù)結(jié)合直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)求解；（2）方法一：求得的中垂線(xiàn)方程，再由圓心C在直線(xiàn)l上，由求得圓心即可；方法二：根據(jù)圓C的圓心在直線(xiàn)l上，可設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，半徑為r，再由P，Q兩點(diǎn)在圓C上，代入圓的方程求解.【小問(wèn)1詳解】解：直線(xiàn)的斜率為2，設(shè)直線(xiàn)的斜率為k，由，得，解得，又直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以直線(xiàn)的方程為，即．【小問(wèn)2詳解】方法一：，所以的中垂線(xiàn)的斜率為，又的中點(diǎn)為，所以的中垂線(xiàn)的方程為，即．因?yàn)閮牲c(diǎn)在圓C上，所以圓心C在的中垂線(xiàn)上，又圓心C在直線(xiàn)l上，由得即圓心C的坐標(biāo)為，又圓C的半徑，所以圓C的方程為．方法二：因?yàn)閳AC的圓心在直線(xiàn)l上，所以可設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，半徑為r，所以圓C的方程為，又P，Q兩點(diǎn)在圓C上，所以，解得所以圓C的方程為．18.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓方程；（2）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，過(guò)作直線(xiàn)與橢圓交于另一點(diǎn)，且，求直線(xiàn)l的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用給的條件列方程求得的值，進(jìn)而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立圓與橢圓的方程，先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到表達(dá)式，再化簡(jiǎn)即可求得．小問(wèn)1詳解】由題可知，其中，所以,又點(diǎn)在橢圓上，所以，即，解得，所以橢圓E的方程為．【小問(wèn)2詳解】由橢圓的方程，得，所以，設(shè)，其中，因?yàn)?，所以，又點(diǎn)在橢圓上，所以，聯(lián)立方程組，得，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，，即或．所以當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，直線(xiàn)的方程為；當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，直線(xiàn)的方程為．綜上，直線(xiàn)的方程為或.19.如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，E為棱上一點(diǎn)，且．（1）求點(diǎn)B到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建系，利用空間向量求點(diǎn)到面的距離；（2）利用空間向量求面面夾角.【小問(wèn)1詳解】以D為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，又因?yàn)椋渣c(diǎn)B到平面的距離．【小問(wèn)2詳解】由（1）可得：，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，由（1）知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．20.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)的距離和它到定直線(xiàn)的距離的比是常數(shù)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C．（1）求曲線(xiàn)C的方程；（2）以原點(diǎn)O為端點(diǎn)作兩條互相垂直的射線(xiàn)與曲線(xiàn)C分別交于點(diǎn)M,N．求證：是定值．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)題意由求解；（2）易知當(dāng)中有一條斜率不存在，另一條斜率為0時(shí)，不符合題意．設(shè)，則，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，求得，求解．【小問(wèn)1詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)的距離和它到定直線(xiàn)的距離的比是常數(shù)，所以，化簡(jiǎn)，得，即曲線(xiàn)C的方程為．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)中有一條斜率不存在，另一條斜率為0時(shí)，中有一條直線(xiàn)與曲線(xiàn)C不相交，所以不符合題意．設(shè)，則，聯(lián)立方程解得，則．用替換上式中的k即得．因此，即是定值．21.如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形是等腰梯形，,是棱上一點(diǎn)，且．（1）證明：平面;（2）線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)M，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，【解析】【分析】（1）作輔助線(xiàn)，在棱上取一點(diǎn)G，使得，證明，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理，即可證明結(jié)論；（2）假設(shè)符合題意的點(diǎn)存在，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間角的向量求法結(jié)合題設(shè)，列式計(jì)算，求得參數(shù)，即可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】證明：在棱上取一點(diǎn)G，使得，連接，因?yàn)?，所以?又，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以,又平面平面，所以平面．【小問(wèn)2詳解】假設(shè)線(xiàn)段上否存在一點(diǎn)M，使得與平面所成角的正弦值為，分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅问堑妊菪?，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所?因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以?xún)蓛纱怪?，以O(shè)為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則，設(shè)，其中，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)與平面所成角為，，則，所以，即，解得或（舍），即線(xiàn)段上存在一點(diǎn)M，當(dāng)時(shí)，與平面所成