6-隨機(jī)過(guò)程的基本知識(shí)

第六章隨機(jī)過(guò)程的基本知識(shí)前面幾章討論的隨機(jī)現(xiàn)象，用一個(gè)或有限個(gè)隨機(jī)變量基本上可以比較全面地反映它的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.但在實(shí)際中，有些現(xiàn)象還必須研究它的發(fā)展變化過(guò)程，為此，就要研究依賴于一個(gè)隨機(jī)變動(dòng)參數(shù)的一簇隨機(jī)變量，即需引進(jìn)隨機(jī)過(guò)程的概念。6.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念和有限維分布一、隨機(jī)過(guò)程的基本概念有些隨機(jī)現(xiàn)象表現(xiàn)為帶隨機(jī)性的變化過(guò)程，對(duì)變化過(guò)程獨(dú)立地重復(fù)地進(jìn)行多次觀測(cè)所得的結(jié)果是不相同的，需要用一簇曲線或依賴于變動(dòng)參數(shù)的一簇隨機(jī)變量描述，這就是隨機(jī)過(guò)程。例如：強(qiáng)調(diào)：固定一個(gè)t，X(t)是隨機(jī)變量。或:對(duì)某個(gè)φ,總可以確定一個(gè)t的函數(shù)X(φ,t)飛機(jī)在時(shí)間[0,T]內(nèi)的飛行速度強(qiáng)調(diào)：固定一個(gè)t，v(t)是隨機(jī)變量。于是定義隨機(jī)過(guò)程→定義：設(shè)E是一隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間Ω={e}.如果對(duì)于某一個(gè)e∈Ω,總可以確定一個(gè)t的函數(shù)X(e,t)，t∈T(T為一實(shí)數(shù)集合)與之對(duì)應(yīng)，則稱對(duì)所有的e(∈Ω)的t函數(shù)簇{X(e,t),t∈T}為隨機(jī)過(guò)程.簡(jiǎn)記為{X(t),t∈T}.定義/:如果對(duì)于每一個(gè)固定的t∈T，X(t)都是隨機(jī)變量，那么就稱{X(t)，t∈T}是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程.對(duì)每個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果e，隨機(jī)過(guò)程為一個(gè)普通的參數(shù)t的函數(shù)，該函數(shù)稱為隨機(jī)過(guò)程的現(xiàn)實(shí)或樣本函數(shù).對(duì)每一個(gè)固定的t∈T，隨機(jī)過(guò)程為一個(gè)依賴于e∈Ω的隨機(jī)變量X(t).隨機(jī)變量X(t)，(t∈T)所有可能取的值構(gòu)成一個(gè)實(shí)數(shù)集，稱為隨機(jī)過(guò)程的狀態(tài)空間或值域。隨機(jī)過(guò)程的分類→隨機(jī)過(guò)程分類：(1)離散參數(shù)、離散狀態(tài)的隨機(jī)過(guò)程.如獨(dú)立的0-1分布隨機(jī)變量序列，T={1,2,…},狀態(tài)空間X={0,1}.(2)離散參數(shù)、連續(xù)狀態(tài)的隨機(jī)過(guò)程.如獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量序列，T={1,2,…},狀態(tài)空間X={-∞,+∞}.(3)連續(xù)參數(shù)、離散狀態(tài)的隨機(jī)過(guò)程.如隨機(jī)電報(bào)信號(hào),設(shè)對(duì)任意時(shí)刻僅有兩個(gè)可能取值1和-1,且P{X(t)=1}=P{X(t)=-1}-0.5,則{X(t),t∈(-∞,+∞)便為參數(shù)連續(xù)的離散型隨機(jī)過(guò)程.(4)連續(xù)參數(shù)、連續(xù)狀態(tài)的隨機(jī)過(guò)程.如隨機(jī)相位波,設(shè)X(t)=acos(ωt+φ),其中a,ω為常數(shù),φ~[0,2π],則{X(t),t∈(-∞,+∞)就是參數(shù)連續(xù)的連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程.隨機(jī)過(guò)程的有限維分布族→隨機(jī)過(guò)程的有限維分布族一維分布函數(shù)二維分布函數(shù)n維分布函數(shù)隨機(jī)過(guò)程的有限維概率密度→隨機(jī)過(guò)程的有限維概率密度隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征→1.如果存在非負(fù)函數(shù)f1(x;t)

,使則f1(x;t)是隨機(jī)過(guò)程{X(t),t∈T}的一維概率密度.2.如果存在非負(fù)函數(shù)f2(x1,x2;t1,t2),使則f2(x1,x2;t1,t2)是隨機(jī)過(guò)程{X(t),t∈T}的二維概率密度.3.如果存在非負(fù)函數(shù)fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn),使則fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)是隨機(jī)過(guò)程{X(t),t∈T}的n維概率密度.同樣可定義有限維分布律6.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征一、隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征1.均值函數(shù)設(shè){X(t),t∈T}為一隨機(jī)過(guò)程，對(duì)于給定的t值，X(t)為隨機(jī)變量，因此可按照隨機(jī)變量來(lái)確定它的數(shù)學(xué)期望。設(shè)隨機(jī)過(guò)程{X(t),t∈T}的一維概率密度為f1(x;t)，則2.方差函數(shù)設(shè)隨機(jī)過(guò)程{X(t),t∈T}的一維概率密度為f1(x;t)，則均值與方差是隨機(jī)過(guò)程的兩個(gè)很重要的數(shù)字特征，但僅有它們還不足以反映隨機(jī)過(guò)程的全部統(tǒng)計(jì)規(guī)律。例如當(dāng)需要反映不同時(shí)刻狀態(tài)間的相關(guān)程度時(shí)，顯然需要另外定義數(shù)字特征予以解決?！?.自協(xié)方差函數(shù)(協(xié)方差函數(shù))4.自相關(guān)函數(shù)(相關(guān)函數(shù))二.數(shù)字特征之間的關(guān)系兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互協(xié)方差函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)→兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互協(xié)方差函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)→三、兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互協(xié)方差函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)設(shè)隨機(jī)過(guò)程{X(t),t∈T}，{Y(t),t∈T},對(duì)固定的t1,t2∈T,作隨機(jī)變量X(t1)與Y(t2)的協(xié)方差，記為CXY(t1,t2)，即稱CXY(t1,t2)為隨機(jī)過(guò)程{X(t),t∈T}，{Y(t),t∈T}的互協(xié)方差函數(shù)。1.互協(xié)方差函數(shù)2.互相關(guān)函數(shù)稱RXY(t1,t2)為隨機(jī)過(guò)程{X(t),t∈T}，{Y(t),t∈T}的互相關(guān)函數(shù)。例6(p205):將一枚均勻硬幣(在t時(shí)刻)上拋一次，觀察正反面出現(xiàn)的情況,并定義隨機(jī)過(guò)程為試求隨機(jī)過(guò)程{X(t),-∞<t<+∞)}的分布函數(shù)F1(x;0)和F2(x;2)及二維分布函數(shù)F2(x1,x2;1/2,0)。解:(1)求一維分布函數(shù)。根據(jù)一維分布函數(shù)的定義顯然，需先確定給定的t下隨機(jī)變量X(t)的可能取值及相應(yīng)概率。①t=0時(shí)，X≡0，因此X(0)的分布律為其分布函數(shù)為(2)求二維分布函數(shù)。根據(jù)二維分布函數(shù)的定義需先確定聯(lián)合分布律(因涉及兩個(gè)隨機(jī)變量)，此前需先確定給定的t1,t2下隨機(jī)變量X(t1),X(t2)的可能取值及相應(yīng)概率。t1=1/2,X(1/2)等概率地取值為1/2或1/4；t2=0,X(0)≡0，于是聯(lián)合分布律為②t=2時(shí)，X(2)=2(出現(xiàn)正面)、X(2)=4(出現(xiàn)反面),X(2)