重難點(diǎn)03函數(shù)的單調(diào)性（6種考法）（原卷版）

重難點(diǎn)03函數(shù)的單調(diào)性（6種考法）【目錄】考法1：定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性考法2：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值考法3：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性考法4：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式考法5：比較函數(shù)值的大小考法6：根據(jù)函數(shù)的解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性二、命題規(guī)律與備考策略二、命題規(guī)律與備考策略一．函數(shù)的單調(diào)性【解題方法點(diǎn)撥】判斷函數(shù)的單調(diào)性，有四種方法：定義法；導(dǎo)數(shù)法；函數(shù)圖象法；基本函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用；復(fù)合函數(shù)遵循“同增異減”；證明方法有定義法；導(dǎo)數(shù)法．單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用符號(hào)“∪”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)，只能用“和”或“，”連結(jié)．設(shè)任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①?f（x）在[a，b]上是增函數(shù)；?f（x）在[a，b]上是減函數(shù)．②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0?f（x）在[a，b]上是增函數(shù)；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0?f（x）在[a，b]上是減函數(shù)．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，定義求解求解一般包括端點(diǎn)值，導(dǎo)數(shù)一般是開區(qū)間．【命題方向】函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間．是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，一般是壓軸題，常與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，課改地區(qū)單調(diào)性定義證明考查大題的可能性比較?。畯慕甑母呖荚囶}來(lái)看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問題是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡(jiǎn)單應(yīng)用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法．預(yù)測(cè)明年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究單調(diào)性及利用單調(diào)性求最值或求參數(shù)的取值范圍為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及邏輯推理能力．二、函數(shù)單調(diào)性判斷【解題方法點(diǎn)撥】證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號(hào)；⑤下結(jié)論．利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：第一步：求函數(shù)的定義域．若題設(shè)中有對(duì)數(shù)函數(shù)一定先求定義域，若題設(shè)中有三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)可不考慮定義域．第二步：求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可導(dǎo)點(diǎn)的x的值從小到大順次將定義域分成若干個(gè)小開區(qū)間，并列表．第四步：由f′（x）在小開區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷f（x）在小開區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；求極值、最值．第五步：將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求參數(shù)的取值范圍．第六步：明確規(guī)范地表述結(jié)論【命題方向】從近三年的高考試題來(lái)看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問題是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡(jiǎn)單應(yīng)用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法．預(yù)測(cè)明年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究單調(diào)性及利用單調(diào)性求最值或求參數(shù)的取值范圍為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及邏輯推理能力．三、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【解題方法點(diǎn)撥】求復(fù)合函數(shù)y＝f（g（x））的單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定定義域；（2）將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)基本初等函數(shù)；（3）分別確定兩基本初等函數(shù)的單調(diào)性；（4）按“同增異減”的原則，確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【命題方向】理解復(fù)合函數(shù)的概念，會(huì)求復(fù)合函數(shù)的區(qū)間并判斷函數(shù)的單調(diào)性．四．函數(shù)奇偶性【解題方法點(diǎn)撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個(gè)去求解；④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．本知識(shí)點(diǎn)是高考的高頻率考點(diǎn)，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．五、奇偶性與單調(diào)性的綜合【解題方法點(diǎn)撥】參照奇偶函數(shù)的性質(zhì)那一考點(diǎn)，有：①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個(gè)去求解；④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反【命題方向】奇偶性與單調(diào)性的綜合．不管出什么樣的題，能理解運(yùn)用奇偶函數(shù)的性質(zhì)是一個(gè)基本前提，另外做題的時(shí)候多多總結(jié)，一定要重視這一個(gè)知識(shí)點(diǎn)．三三、題型方法考法1：定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性一、單選題1．（2023·北京順義·統(tǒng)考一模）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)同時(shí)滿足性質(zhì):①;②當(dāng)時(shí),,則函數(shù)可能為(

)A． B．C． D．3．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？家荒＃┮阎瘮?shù)，對(duì)任意，都有成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考一模）已知對(duì)于每一對(duì)正實(shí)數(shù)，，函數(shù)滿足：，若，則滿足的的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、多選題5．（2023·山東·校聯(lián)考二模）若定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足：①；②對(duì)，成立；③對(duì)，，，成立；則稱為“正方和諧函數(shù)”，下列說(shuō)法正確的是（

）A．，是“正方和諧函數(shù)”B．若為“正方和諧函數(shù)”，則C．若為“正方和諧函數(shù)”，則在上是增函數(shù)D．若為“正方和諧函數(shù)”，則對(duì)，成立6．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，當(dāng)時(shí)，；且對(duì)任意且，都有，則（

）A．是奇函數(shù) B．C．是周期函數(shù) D．在上單調(diào)遞減三、填空題7．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則________.8．（2023·江西南昌·南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，若對(duì)定義域內(nèi)兩任意的（），都有成立，則a的取值范圍是________．9．（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)椋覍?duì)任意，都有．若當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為__________．四、解答題10．（2023·吉林·東北師大附中?？级＃┮阎瘮?shù)，其中．(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)已知在區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn)．（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）記在區(qū)間上的極小值為，討論函數(shù)的單調(diào)性．考法2：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值一、單選題1．（2023·甘肅蘭州·?？寄M預(yù)測(cè)）命題在上為增函數(shù)，命題在單調(diào)減函數(shù)，則命題q是命題p的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋嬖诔?shù)，使得對(duì)任意，都有，當(dāng)時(shí)，．若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則t的最小值為（

）A．3 B． C．2 D．3．（2023·河南洛陽(yáng)·校聯(lián)考三模）若對(duì)任意的，，且，，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·天津河?xùn)|·統(tǒng)考二模）已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若，，，則的大小關(guān)系為A． B． C． D．5．（2023·陜西·西安市西光中學(xué)校聯(lián)考一模）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足對(duì)恒成立，則下列判斷一定正確的是（

）A． B．C． D．6．（2023·天津河西·統(tǒng)考二模）函數(shù)在的圖像大致為A． B．C． D．7．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)的定域?yàn)?，圖象恒過點(diǎn)，對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，則不等式的解集為（

）．A． B． C． D．8．（2023·甘肅蘭州·蘭州五十九中校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是A． B． C． D．二、多選題9．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的定義域?yàn)锽．在上的值域?yàn)镃．若在上單調(diào)遞減，則D．若，則在定義域上單調(diào)遞增三、填空題10．（2023·山東日照·山東省日照實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為___________.11．（2023·遼寧沈陽(yáng)·東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)f（x），g（x）的定義域都是D，直線x=x0（x0∈D），與y=f（x），y=g（x）的圖象分別交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|的值是不等于0的常數(shù)，則稱曲線y=f（x），y=g（x）為“平行曲線”，設(shè)f（x）=ex-alnx+c（a>0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）為區(qū)間（0，+）的“平行曲線”，g（1）=e，g（x）在區(qū)間（2，3）上的零點(diǎn)唯一，則a的取值范圍是_________.四、解答題12．（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)校考一模）已知函數(shù).(1)若且函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；(2)設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，若滿足，證明：.13．（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)根，，且，求證：.參考數(shù)據(jù)：，.考法3：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性一、單選題1．（2023·福建廈門·廈門雙十中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，如果，使得，則稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).給定函數(shù)，，已知函數(shù)，，在上均存在唯一不動(dòng)點(diǎn)，分別記為，則（

）A． B． C． D．3．（2023·河南安陽(yáng)·安陽(yáng)一中校考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的定義域?yàn)?，若滿足：(1)在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；(2)存在，使得在上的值域?yàn)椋敲淳头Q函數(shù)為“夢(mèng)想函數(shù)”.若函數(shù)是“夢(mèng)想函數(shù)”，則的取值范圍是A． B． C． D．二、多選題4．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．的一個(gè)周期為3C．在上單調(diào)遞增 D．考法4：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式一、單選題1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）定義在上的函數(shù)滿足，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．2．（2023·陜西寶雞·?？寄M預(yù)測(cè)）已知是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且，在單調(diào)遞減，則（）A． B．C． D．3．（2023·新疆·統(tǒng)考二模）設(shè)是定義在R上的以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且滿足，，則不等式組的解集為（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2023·云南昆明·昆明市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，恒成立，則（

）A．函數(shù)是R上的減函數(shù) B．函數(shù)是奇函數(shù)C．若，則的解集為 D．函數(shù)()+為偶函數(shù)5．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）已知奇函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?duì)于任意的正數(shù)，都有，且時(shí)，都有，則（

）A．B．函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增C．對(duì)于任意都有D．不等式的解集為三、填空題6．（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是________．7．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞減，且對(duì)任意的，都有，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．考法5：比較函數(shù)值的大小一、單選題1．（2023·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．2．（2023·福建寧德·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B．C． D．3．（2023·海南海口·校聯(lián)考一模）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．4．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）已知，，，則下列關(guān)系正確的為（

）A． B．C． D．5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則（

）A． B． C． D．二、多選題6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，若正數(shù)滿足，則下列不等式可能成立的是（

）A． B．C． D．7．（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)，且，則（

）A． B．C． D．8．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A． B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C． D．僅有一個(gè)極值點(diǎn)三、填空題9．（2023·河南安陽(yáng)·安陽(yáng)一中校考模擬預(yù)測(cè)）定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上是減函數(shù)，若?是鈍角三角形的兩個(gè)銳角，對(duì)（1），為奇數(shù)；（2）；（3）；（4）；（5）.則以上結(jié)論中正確的有______________.(填入所有正確結(jié)論的序號(hào)).10．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考一模）已知，，，則的大小關(guān)系是___________.四、解答題11．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考一模）已知曲線.從點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為.（1）求切點(diǎn)坐標(biāo)和切點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）已知在上是遞減的，求證：.考法6：根據(jù)函數(shù)的解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性一、單選題1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的圖像為（

）A． B．C． D．2．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則的圖象大致為（

）A． B．C． D．3．（2023·北京朝陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則“”是“