2024年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)試卷(含答案)

第第.(8分)(1)(x+2y)(x﹣y)+(2x2y+4xy2)÷2x；(2)解分式方程：.18.(8分)為了解疫情期間學(xué)生網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)效果，東坡中學(xué)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.要求每位學(xué)生從“優(yōu)秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四個(gè)等次中，選擇一項(xiàng)作為自我評(píng)價(jià)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的效果.現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)結(jié)合圖中所給的信息解答下列問(wèn)題：(1)這次活動(dòng)共抽查了人.(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整，并計(jì)算出扇形統(tǒng)計(jì)圖中，學(xué)習(xí)效果“一般”的學(xué)生人數(shù)所在扇形的圓心角度數(shù).(3)張老師在班上隨機(jī)抽取了4名學(xué)生，其中學(xué)習(xí)效果“優(yōu)秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再?gòu)倪@4人中隨機(jī)抽取2人，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖法，求出抽取的2人學(xué)習(xí)效果全是“良好”的概率.19.(9分)小明同學(xué)對(duì)一條東西走向的隧道AB進(jìn)行實(shí)地測(cè)量.如圖所示，他在地面上點(diǎn)C處測(cè)得隧道一端點(diǎn)A在他的北偏東15°方向上，他沿西北方向前進(jìn)100米后到達(dá)點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A在他的東北方向上，端點(diǎn)B在他的北偏西60°方向上.(點(diǎn)A、B、C、D在同一平面內(nèi))(1)求點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離；(2)求隧道AB的長(zhǎng)度.(結(jié)果保留根號(hào))20.(10分)某市今年券猴桃喜獲豐收.元旦這天甲超市進(jìn)行猾猴桃優(yōu)惠促銷(xiāo)活動(dòng)，獼猴桃銷(xiāo)售金額y(元)與銷(xiāo)售量x(千克)之間的關(guān)系如圖所示.(1)當(dāng)x≥4時(shí)，求銷(xiāo)售金額y(元)與銷(xiāo)售量x(千克)之間的關(guān)系式；(2)乙超市獼猴桃的標(biāo)價(jià)為8元/千克，元旦當(dāng)天也進(jìn)行優(yōu)惠促銷(xiāo)活動(dòng)，按標(biāo)價(jià)的9折銷(xiāo)售.若購(gòu)買(mǎi)12千克券猴桃，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明在哪個(gè)超市購(gòu)買(mǎi)更劃算.21.(12分)如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)，與PB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)C，連接PO，交⊙O于點(diǎn)D，連接DB.(1)求證：∠APO=∠BPO；(用兩種證法解答)(2)若DP=DB，試探究PB與PD之間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出并證明你的結(jié)論.22.(12分)如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，連接DE.將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α.(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn):①當(dāng)α=0°時(shí)，=；②當(dāng)α=180°時(shí)，=.(2)拓展探究:試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明.(3)問(wèn)題解決:△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至A、B、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求線段BD的長(zhǎng).23.(13分)如圖1，拋物線y=x2+bx+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，﹣3).(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，如果直線BD與直線BC的夾角為15°，求線段CD的長(zhǎng)度；(3)如圖2，連接AC，點(diǎn)P在拋物線上，且滿足∠PAB=2∠ACO，求點(diǎn)P的坐標(biāo).參考答案A【解析】，所以最小的是.故選：A.B【解析】∵，∴，∴，故選：B.C【解析】是直角三角形，∠E=45°，，，，，，故選：C.C【解析】第10個(gè)與第11個(gè)的分?jǐn)?shù)分別為，則中位數(shù)為，故中位數(shù)為97，98出現(xiàn)了6次，次數(shù)最多，故眾數(shù)為98；故選：C.C【解析】由作圖可知：AB=BC=AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°，故A正確；∵BA=BC=BD，∴△ACD是直角三角形，故B正確；點(diǎn)B是△ACD的外心，故D正確；∴tanA==，∴AC=，∴BC=，故C錯(cuò)誤.故選C.D【解析】將中①+②得，=4.故選：D.A【解析】去分母得，，去括號(hào)得，，移項(xiàng)得，，合并同類(lèi)項(xiàng)得，，∵分式方程無(wú)解，∴或x=2，∴，將x=2代入，得，解得m=1，綜上，m的值是1或.故選A.B【解析】觀察圖象得：函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，∴∴，∴，∵，∴-1<2k-1<1，∴0≤(2k-1)2<1，所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.故選：B.C【解析】∵，∴∠，∴∠，∵，四邊形ABCD是菱形，∴ADBC，AD=BC=AB=CD，∴，∴，∴∠BAE=∠GAD，在△BAD中，AB=AD，∴，在△ABF和△ADG中，，∴△ABF≌△ADG，∴，設(shè)，∴，∵，，∴，∴，∵∠，∠，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，故選：C.A【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)N，∵，∴.∵，∴.又∵，，∴(AAS)，∴，設(shè)A(x，)，則B(3x，)，∴C(0，).∵，，又∵，∴，解得：(舍)，∴，∴.故選：A.且【解析】由題意可知：，解得：且，故答案為：且.【解析】原式=，故答案為.【解析】畫(huà)樹(shù)狀圖得：可知，一共有12種等可能的情況，兩張卡片文字相同的情況有4種，因此兩張卡片文字相同的概率是，故答案為：.【解析】；；；；……；∴第n個(gè)數(shù)是：；故答案：.【解析】∵，∴，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO=QO，CO=AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴過(guò)O作BC的垂線，∵，,∴,∴，∴，∴，∴則PQ的最小值為，故答案為：.【解析】連接OD，過(guò)點(diǎn)作，如圖，∵CD切⊙O于點(diǎn)D，∴OD⊥CD.∵BECD，∴OD⊥BE.∵OD過(guò)圓心，OD⊥BE，∴.∴∠EAD=∠DAB.∴∠EAB=2∠EAD=45°.∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°.∴△ABE為等腰直角三角形，∴AB=.,，，，,，設(shè)的半徑為，則BC=2﹣2，解得，AB==.∴BE.故答案為：.三.解答題：17.(1)(x+2y)(x﹣y)+(2x2y+4xy2)÷2x；(2)解分式方程：.【解析】(1)原式利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，以及多項(xiàng)式除單項(xiàng)式法則計(jì)算，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果；(2)分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.解：(1)原式=x2﹣xy+2xy﹣2y2+xy+2y2=x2+2xy；(2)去分母得：x﹣3+x﹣2=﹣3，解答：x=1，檢驗(yàn)：把x=1代入得：x﹣2≠0，∴分式方程的解為x=1.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，以及整式的除法，熟練掌握運(yùn)算法則及分式方程的解法是解本題的關(guān)鍵.18.【解析】(1)由“良好”的人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)；(2)求出“不合格”的學(xué)生人數(shù)為20人，從而補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；由360°乘以學(xué)習(xí)效果“一般”的學(xué)生人數(shù)所占的百分比即可；(3)畫(huà)出樹(shù)狀圖，利用概率公式求解即可.解：(1)這次活動(dòng)共抽查的學(xué)生人數(shù)為80÷40%=200(人)；故答案為：200；(2)“不合格”的學(xué)生人數(shù)為200﹣40﹣80﹣60=20(人)，將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整如圖：學(xué)習(xí)效果“一般”的學(xué)生人數(shù)所在扇形的圓心角度數(shù)為360°×=108°；(3)把學(xué)習(xí)效果“優(yōu)秀”的記為A，“良好”記為B，“一般”的記為C，畫(huà)樹(shù)狀圖如圖：共有12個(gè)等可能的結(jié)果，抽取的2人學(xué)習(xí)效果全是“良好”的結(jié)果有2個(gè)，∴抽取的2人學(xué)習(xí)效果全是“良好”的概率==.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法、概率公式以及條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的有關(guān)知識(shí).列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.19.【解析】(1)根據(jù)方位角圖，易知∠ACD=60°，∠ADC=90°，解Rt△ADC即可求解；(2)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.分別解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的長(zhǎng).解；(1)由題意可知：∠ACD=15°+45°=60°，∠ADC=180°﹣45°﹣45°=90°，在Rt△ADC中，∴(米)，答：點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離為300米.(2)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，如圖∵AB是東西走向，∴∠ADE=45°，∠BDE=60°，在Rt△ADE中，∴(米)，在Rt△BDE中，∴(米)，∴(米)，答：隧道AB的長(zhǎng)為米.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.20.【解析】(1)設(shè)銷(xiāo)售金額y(元)與銷(xiāo)售量x(千克)的關(guān)系式為y=kx+b，用待定系數(shù)法即可求解；(2)分別計(jì)算兩個(gè)超市所需費(fèi)用，比較，即可求解.解：(1)當(dāng)x≥4時(shí)，設(shè)銷(xiāo)售金額y(元)與銷(xiāo)售量x(千克)的關(guān)系式為y=kx+b，將(4，40)，(10，79)代入得，，解得，∴當(dāng)x≥4時(shí)，銷(xiāo)售金額y(元)與銷(xiāo)售量x(千克)的關(guān)系式為：y=6.5x+14；(2)依題意，甲超市：6.5×12+14=92(元)，乙超市：8×0.9×12=86.4(元)，∵86.4＜92，∴乙超市更劃算.【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，能從圖象中獲取信息，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.21.【解析】(1)方法一：連接OB，利用切線的性質(zhì)定理和到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上解答即可；方法二：連接OB，利用切線的性質(zhì)定理和全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；(2)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥PB于點(diǎn)E，連接OB，利用切線的性質(zhì)定理，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)求得∠POB=60°，再利用直角三角形的邊角關(guān)系定理和等腰三角形的三線合一的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論.(1)證明：方法一，連接OB，如圖，∵PA，PB是⊙O的兩條切線，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∵OA=OB，∴點(diǎn)O到∠APB的兩邊的距離相等，∴點(diǎn)O在∠APB的平分線上，即PO為∠APB的平分線，∴∠APO=∠BPO；方法二，連接OB，如圖，∵PA，PB是⊙O的兩條切線，∴OA⊥PA，OB⊥PB，在Rt△PAO和Rt△PBO中，，∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL)，∴∠APO=∠BPO；(2)解：PB與PD之間的數(shù)量關(guān)系為：PB=PD，理由：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥PB于點(diǎn)E，連接OB，如圖，由(1)知：OB⊥PB，∴∠OBD+∠PBD=90°，∠DPB+∠BOD=90°.∵DP=DB，∴∠PBD=∠DPB，∴∠OBD=∠BOD，∴OD=BD，∵OB=DO，∴OD=BD=OB，∴∠BOD=60°，∴∠DPB=30°.在Rt△PDE中，∵cos∠DPE=，∴，∴PE=PD.∵DP=PB，DE⊥PB，∴PE=BE=PB，∴PB=2PE=PD.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)定理，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，連接經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解決此類(lèi)問(wèn)題常添加的輔助線.22.【解析】(1)①當(dāng)α=0°時(shí)，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據(jù)點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，分別求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少.②α=180°時(shí)，可得AB∥DE，然后根據(jù)=，求出的值是多少即可.(2)首先判斷出∠ECA=∠DCB，再根據(jù)==，判斷出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案.(3)分兩種情形：①如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，②如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，分別求解即可.解：(1)①當(dāng)α=0°時(shí)，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC===2，∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，∴AE=AC=，BD=BC=1，∴=.②如圖1中，當(dāng)α=180°時(shí)，可得AB∥DE，∴=，∴=，∴==.故答案為：①，②.(2)如圖2，當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小沒(méi)有變化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵==，∴△ECA∽△DCB，∴==.(3)①如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，在Rt△BCE中，CE=，BC=2，∴BE===1，∴AE=AB+BE=5，∵=，∴BD==.②如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，BE===1，AE=AB﹣BE=4﹣1=3，∵=，∴BD=，綜上所述，滿足條件的BD的長(zhǎng)為或.【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.23.【解析】(1)將點(diǎn)A，點(diǎn)C坐標(biāo)代入解析式可求解；(2)先求出點(diǎn)B坐標(biāo)，可得OB=OC，可得∠OBC=∠OCB=45°，再分點(diǎn)D在點(diǎn)C上方或下方兩種情況討論，由銳角三角函數(shù)可求解；(3)在BO上截取OE=OA，連接CE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，由“SAS”可證△OCE≌△OCA，可得∠ACO=∠ECO，CE=AC=，由面積法可求EF的長(zhǎng)，由勾股定理可求CF的長(zhǎng)，可求tan∠ECA=tan∠PAB=，分點(diǎn)P在AB上方和下方兩種情況討論，求出AP解析式，聯(lián)立方程組可求點(diǎn)P坐標(biāo).解：(1)∵拋物線y=x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A(1，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，﹣3)，∴，解得：，∴拋物線解析式為：y=x2+2x﹣3；(2)∵拋物線y=x2+2x﹣3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)B(﹣3，0)，∵點(diǎn)B(﹣3，0)，點(diǎn)C(0，﹣3)，∴OB=OC=3，∴∠OBC=∠OCB=45°，如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C上方時(shí)，∵∠DBC=15°，∴∠OBD=30°，∴tan∠DBO==，∴OD=×3=，∴CD=3﹣；若點(diǎn)D在點(diǎn)C下方時(shí)，∵∠DBC=15°，∴∠OBD=60°，∴tan∠DBO==，∴OD=3，∴DC=3﹣3，綜上所述：線段CD的長(zhǎng)度為3﹣或3﹣3；(3)如圖2，在BO上截取OE=OA，連接CE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，∵點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)C(0，﹣3)，∴OA=1，OC=3，∴AC===，∵OE=OA，∠COE=∠COA=90°，OC=OC，∴△OCE≌△OCA(SAS)，∴∠ACO=∠ECO，CE=AC=，∴∠ECA=2∠ACO，∵∠PAB=2∠ACO，∴∠PAB=∠ECA，∵S△AEC=AE×OC=AC×EF，∴EF==，∴