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PAGEPAGE1福建省龍巖市長(zhǎng)汀縣2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合,,則()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意,,所以.故選:B.2.的值為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知,所以.故選:A.3.設(shè),,,則()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增可知,即;由三角函數(shù)單調(diào)性可知;利用指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增可得;所以.故選:C.4.已知函數(shù),則()A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗,所以,所以.故選:B.5.函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),,所以函數(shù)為奇函數(shù),故D錯(cuò)誤;因?yàn)?,所以,所以,故A錯(cuò)誤;因?yàn)?,所以,所以,故B錯(cuò)誤.故選:C.6.已知函數(shù),則下列說(shuō)法正確的是()A.的最小正周期是B.的值域是C.直線(xiàn)是函數(shù)圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸D.的遞減區(qū)間是,〖答案〗D〖解析〗函數(shù),所以函數(shù)的最小正周期,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤;由〖解析〗式可知,所以的值域?yàn)椋赃x項(xiàng)B錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,,不是函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤;令,,可得,,的遞減區(qū)間是,,所以選項(xiàng)D正確.故選:D.7.若,則()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選:A.8.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù),且,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗D〖解析〗由已知可得,,所以周期為2,又函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,根據(jù)已知,作出函數(shù)的圖象,以及的圖象:因?yàn)?,,由圖象可知,與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)共有9個(gè),所以,函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為9.故選:D.二、多項(xiàng)選擇題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.以下四個(gè)命題,其中是真命題的有()A.命題“”的否定是“”B.若,則C.函數(shù)且的圖象過(guò)定點(diǎn)D.冪函數(shù)在上為減函數(shù),則的值為1〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)槿Q(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題,所以命題“”的否定是“,故選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)?,則,又,得到,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)?,所以過(guò)定點(diǎn),故選項(xiàng)C正確;對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)闉閮绾瘮?shù),所以,得到或,又在上為減函數(shù),所以,即,所以,故選項(xiàng)D正確.故選:ACD.10.已知正數(shù)滿(mǎn)足,則下列選項(xiàng)正確的是()A.的最小值是2 B.的最大值是1C.的最小值是4 D.的最大值是〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)椋?,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,即的最小值是2,故A正確;因?yàn)?,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,即的最大值是1,故B正確;,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,即的最小值是,故C錯(cuò)誤;因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,即的最大值是,故D正確.故選:ABD.11.中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn),一般情況下,折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成,如圖,設(shè)扇形的面積為,其圓心角為,圓面中剩余部分的面積為,當(dāng)與的比值為時(shí),扇面為“美觀(guān)扇面”,下列結(jié)論正確的是(參考數(shù)據(jù):)()A.B.若,扇形的半徑,則C.若扇面為“美觀(guān)扇面”,則D.若扇面為“美觀(guān)扇面”,扇形的半徑,則此時(shí)的扇形面積為〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A(yíng),與所在扇形的圓心角分別為,,,A正確;對(duì)于B,,,,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,,,,C正確;對(duì)于D,,D錯(cuò)誤.故選:AC.12.一般地,若函數(shù)的定義域?yàn)?,值域?yàn)椋瑒t稱(chēng)為的“倍跟隨區(qū)間”;特別地,若函數(shù)的定義域?yàn)椋涤蛞矠?,則稱(chēng)為的“跟隨區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是()A.函數(shù)不存在跟隨區(qū)間B.若為的跟隨區(qū)間,則C.二次函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”D.若函數(shù)存在跟隨區(qū)間,則〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A(yíng)選項(xiàng),因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間與上均為增函數(shù),若存在跟隨區(qū)間則有,即為的兩根,即的根,故,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B選項(xiàng),若為的跟隨區(qū)間,因?yàn)樵趨^(qū)間為增函數(shù),故其值域?yàn)?,根?jù)題意有,解得或,因?yàn)楣剩蔅正確;對(duì)于C選項(xiàng),若存在“3倍跟隨區(qū)間”,則可設(shè)定義域?yàn)?,值域?yàn)?,?dāng)時(shí),易得在區(qū)間上單調(diào)遞增,此時(shí)易得為方程的兩根,求解得或.故定義域,則值域?yàn)椋蔆正確;對(duì)于D選項(xiàng),若函數(shù)存在跟隨區(qū)間,因?yàn)闉闇p函數(shù),故由跟隨區(qū)間的定義可知,即,因?yàn)椋?,易得,所以,令代入化?jiǎn)可得,同理也滿(mǎn)足,即在區(qū)間上有兩不相等的實(shí)數(shù)根,故,解得,故D錯(cuò)誤.故選:BC.三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.13.________.〖答案〗6〖解析〗.故〖答案〗為:6.14.若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn),則常數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)樵谏暇鶠樵龊瘮?shù),則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),且函數(shù)圖象連續(xù)不間斷,故若在區(qū)間上存在零點(diǎn),則,可得.故〖答案〗為:.15.已知,則______.〖答案〗〖解析〗由題意知,,又因?yàn)?,將上式分子分母同時(shí)除以得,代入即可得,.故〖答案〗為:.16.已知函數(shù),.對(duì)任意,存在,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗,所以,的開(kāi)口向下,對(duì)稱(chēng)軸為,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,,所以,由于任意,存在,使得,所以,解得,所以的取值范圍是.故〖答案〗為:.四、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17已知集合,.(1)分別求,;(2)已知集合,若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:(1)因?yàn)榻獾?,即,而解得,即,,所以?(2)當(dāng),即時(shí),此時(shí),符合條件;當(dāng),即時(shí),,要使,只需,即,故要使,實(shí)數(shù)的取值范圍是或.18.(1)化簡(jiǎn):;(2)已知,且在同一象限,求的值.解:(1).(2)∵,且在同一象限,則為第二象限角,∴,故.19.已知函數(shù)(且).(1)求的定義域;(2)判斷的奇偶性,并說(shuō)明理由;(3)求不等式的解集.解:(1)要使函數(shù)有意義,則,解得,即函數(shù)的定義域?yàn)?(2)是奇函數(shù),理由如下:由(1)知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),,即函數(shù)是奇函數(shù).(3)若,則,即,若,則,解得;若,則,解得,即當(dāng)時(shí),不等式的解集為,當(dāng)時(shí),不等式的解集為.20.一研究小組在對(duì)某學(xué)校的學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中發(fā)現(xiàn),其注意力指數(shù)與聽(tīng)課時(shí)間之間的關(guān)系滿(mǎn)足如圖所示的曲線(xiàn).當(dāng)時(shí),曲線(xiàn)是二次函數(shù)圖像的一部分,當(dāng)時(shí),曲線(xiàn)是函數(shù),且圖像的一部分.根據(jù)研究,當(dāng)注意力指數(shù)不小于80時(shí)聽(tīng)課效果最佳.(1)求的函數(shù)關(guān)系式;(2)有一道數(shù)學(xué)難題,講解需要22分鐘,問(wèn)老師能否經(jīng)過(guò)合理安排在學(xué)生聽(tīng)課效果最佳時(shí)段講完?請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)當(dāng)時(shí),設(shè),將點(diǎn)(14,81)代入得,∴當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),將點(diǎn)代入,得,所以.(2)當(dāng)時(shí),,解得:,所以;當(dāng)時(shí),,解得,所以,綜上時(shí)學(xué)生聽(tīng)課效果最佳,此時(shí),所以,教師能夠合理安排時(shí)間講完題目,故老師能經(jīng)過(guò)合理安排在學(xué)生聽(tīng)課效果最佳時(shí)段講完.21.已知函數(shù),.(1)求函數(shù)在上單調(diào)遞增區(qū)間;(2)求不等式的解集;(3)若方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:(1)由,則,令或,解得或,所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.(2)由,即,所以,所以,,解得,,所以不等式的解集為.(3)由,則,令,解得,令,解得,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,又,,,因?yàn)榉匠淘谏嫌袃蓚€(gè)不同的實(shí)數(shù)解,所以與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以,即實(shí)數(shù)取值范圍為.22.已知函數(shù)在上為奇函數(shù),,.(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)指出函數(shù)的單調(diào)性(說(shuō)明理由,不需要證明);(3)設(shè)對(duì)任意,都有成立;請(qǐng)問(wèn)是否存在的值,使最小值為
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