福建省三明市四地四校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1福建省三明市四地四校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗表示全體實數(shù)組成的集合，則，故A錯誤；表示全體有理數(shù)組成的集合，則，故B錯誤；表示全體正整數(shù)組成的集合，則，故C正確；表示全體自然數(shù)組成的集合，則，故D錯誤.故選：C.2.冪函數(shù)的圖象過點,則該冪函數(shù)的〖解析〗式為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)冪函數(shù)為.故選：B.3.命題“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.命題的否定為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由命題“”是存在量詞命題，則它的否定是全稱量詞命題：.故選：A.5.下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（）.A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗對于A選項：因為的定義域為，而的定義域為，所以與的定義域不同，故與不是同一個函數(shù)，故選項A錯誤；對于B選項：因為的定義域為，而的定義域為，所以與的定義域不同，故與不是同一個函數(shù)，故選項B錯誤；對于C選項：因為的定義域為，而的定義域為，所以與的定義域不同，故與不是同一個函數(shù)，故選項C錯誤；對于D選項：因為的定義域為，值域為，而的定義域為，值域為，與表示的是同一個函數(shù)，故選項D正確.故選：D.6.己知，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗對于選項A：當(dāng)時，若，由不等式性質(zhì)可知，故選項A錯誤；對于選項B：由不等式性質(zhì)可知若，則成立，故選項B正確；對于選項C：當(dāng)時，若，由不等式性質(zhì)可知，故選項C錯誤；對于選項D：當(dāng)時，，故選項D錯誤.故選：B.7.我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的〖解析〗式來琢磨函數(shù)的圖象的特征，則函數(shù)的圖象的形狀大致是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對于，當(dāng)時，，由二次函數(shù)性質(zhì)可知其單調(diào)遞增，排除AB；當(dāng)時，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知其單調(diào)遞增，排除D；而C選項滿足上述條件.故選：C.8.已知不等式的解集為，則不等式的解集為（）A. B.或C. D.或〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意知、2為方程的解且，所以，代入不等式得，又，所以，解得或.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.設(shè)，若，則實數(shù)a的值為（）A. B. C. D.0〖答案〗ABD〖解析〗因為，且，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，又，所以或，解得或，綜上，或或.故選：ABD.10.下列函數(shù)中最小值為2的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗對于A，當(dāng)時，，故A不符題意；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最小值為2，故B符合題意；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，又因為，所以，故C不符題意；對于D，，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值2，故D符合題意.故選：BD.11.函數(shù)的圖象如圖，則（）A.B.函數(shù)的定義域為C.函數(shù)的值域為D.對于任意的，都有唯一的自變量x與之對應(yīng)〖答案〗ACD〖解析〗由圖像可知，當(dāng)時，，所以，A對；由圖像可知，定義域為；值域為；B錯、C對；當(dāng)時，只有時才有對應(yīng)的與之對應(yīng)，D對.故選：ACD.12.己知是定義在的奇函數(shù)，且時，，則下列結(jié)論正確的是（）A.增區(qū)間為和 B.有3個根C.的解集為 D.時，〖答案〗ABC〖解析〗由是定義在的奇函數(shù)知，當(dāng)時，，所以，D錯誤；由上可知，由可得或或，故B正確；由，時，對稱軸為，時，的對稱軸為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)知在和上均單調(diào)遞增，故A正確；由，可得或，解得或，故C正確．故選：ABC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的定義域為_____________.〖答案〗〖解析〗由題要使得有意義，則，故且，從而的定義域為.故〖答案〗為：.14.計算：______．〖答案〗〖解析〗．故〖答案〗為：.15.若函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為___________．〖答案〗5〖解析〗由題意，即，所以恒成立，所以，即．故〖答案〗：5.16.用4米長的鋁合金條做一個“日”字形的窗戶，要使窗戶透過的光線最多，窗戶的長與寬之比為___________．〖答案〗〖解析〗設(shè)窗戶的長為米，則寬為米，面積為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即米時，窗戶面積最大，透過的光線最多，此時，寬為，所以窗戶的長與寬之比為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.己知集合．（1）求；（2）若，求實數(shù)m的取值范圍．解：（1）因為，所以.（2）因為，所以當(dāng)時，有，則，所以.18.己知函數(shù)．（1）當(dāng)時，解不等式；（2）若不等式的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，即，解方程，即，得，∴不等式的解集為或.（2）若不等式的解集是R，則，解得，故實數(shù)a的取值范圍是．19.已知函數(shù)．（1）請在給定的坐標(biāo)系中畫出此函數(shù)的圖象；（2）寫出此函數(shù)的定義域及單調(diào)區(qū)間，并寫出值域．解：（1）圖象如圖所示：（2）由的〖解析〗式可知，定義域為R，由（1）中圖像可知，增區(qū)間為，減區(qū)間為、和，值域為．20.（1）已知，求的最小值；（2）已知x，y是正實數(shù)，且，求的最小值.解：（1）因為，所以，由基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)即時取到最小值8.（2）因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，取到最小值9.21.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資40萬元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要額外增加投資1萬元，已知年銷售總收入R（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（單位：件）滿足函數(shù)：，記該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤為y萬元．（年利潤=年銷售總收入-年總投資）．（1）求y（萬元）關(guān)于x（件）的函數(shù)關(guān)系式；（2）該公司的年產(chǎn)量為多少件時，所得年利潤最大？并求出最大值．解：（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，故.（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，又時，，所以，當(dāng)時，，又，所以，年產(chǎn)量為12件時，取得最大年利潤104萬元.22.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；