一輪復(fù)習(xí)數(shù)數(shù)與式整式

一輪復(fù)習(xí)數(shù)數(shù)與式整式contents目錄數(shù)與式基本概念整式運算數(shù)論基礎(chǔ)計數(shù)原理與技巧經(jīng)典數(shù)學(xué)問題解析數(shù)學(xué)思想方法培養(yǎng)01數(shù)與式基本概念自然數(shù)是從1開始的正整數(shù)，自然數(shù)個數(shù)是無限的，自然數(shù)集合是由所有正整數(shù)組成的集合。自然數(shù)整數(shù)有理數(shù)整數(shù)包括正整數(shù)、0和負(fù)整數(shù)，整數(shù)集合是由正整數(shù)、0和負(fù)整數(shù)組成的集合。有理數(shù)是可以表示為兩個整數(shù)的商的數(shù)，有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)。030201自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)代數(shù)式是由數(shù)字、字母和運算符號組成的數(shù)學(xué)表達(dá)式，例如：$2x^2+3x-1$。整式是代數(shù)式的一種，由常數(shù)項、變量項和運算符號組成，且每一項的指數(shù)都是非負(fù)整數(shù)。例如：$x^2+2x+1$。代數(shù)式與整式整式代數(shù)式變量是可以取不同數(shù)值的量，常用字母表示，例如：$x,y,z$。變量常量是在特定條件下保持不變的量，常用數(shù)字表示，例如：$pi,e$。常量變量與常量02整式運算所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項。同類項把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項。合并同類項括號前面是加號時，去掉括號，括號內(nèi)的算式不變；括號前面是減號時，去掉括號，括號內(nèi)加號變減號，減號變加號。去括號法則先去括號，再合并同類項。整式的加減運算步驟整式的加減單項式乘單項式：把他們的系數(shù)，相同字母的冪分別相乘，其余字母連同他的指數(shù)不變，作為積的因式。單項式乘多項式：用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。多項式乘多項式：先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加。整式的除法：單項式相除，把系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同他的指數(shù)一起作為商的一個因式。多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加。整式的乘除乘法公式平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2。因式分解把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫作分解因式。常用的方法有提公因式法、公式法、分組分解法等。乘法公式和因式分解03數(shù)論基礎(chǔ)

數(shù)的整除性整除的定義對于任意兩個整數(shù)a和b（b≠0），如果存在一個整數(shù)q，使得a=bq，則稱a能被b整除，或b能整除a。整除的性質(zhì)整除具有傳遞性、交換律和結(jié)合律等基本性質(zhì)。判定整除的方法通過特定的數(shù)學(xué)運算或公式來判斷一個數(shù)是否能被另一個數(shù)整除，如“各位數(shù)字之和能被3整除的整數(shù)一定能被3整除”等。最大公約數(shù)的定義01對于兩個或多個整數(shù)，它們的公共約數(shù)中最大的一個稱為它們的最大公約數(shù)（GreatestCommonDivisor，簡稱GCD）。最小公倍數(shù)的定義02對于兩個或多個整數(shù)，它們的最小公倍數(shù)（LeastCommonMultiple，簡稱LCM）是它們所有公倍數(shù)中最小的一個。求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法03有多種方法可以求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，如輾轉(zhuǎn)相除法、更相減損術(shù)、分解質(zhì)因數(shù)法等。最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)同余的定義如果兩個整數(shù)a和b對模m取余的結(jié)果相同，即a≡b(modm)，則稱a和b對模m同余。同余的性質(zhì)同余具有自反性、對稱性和傳遞性等基本性質(zhì)。同余定理包括費馬小定理、歐拉定理、中國剩余定理等，這些定理在密碼學(xué)、計算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。同余的應(yīng)用同余在解決一些數(shù)學(xué)問題中具有重要作用，如求解不定方程、證明某些數(shù)學(xué)命題等。同時，同余也在計算機(jī)科學(xué)中有廣泛應(yīng)用，如加密算法中的RSA算法就利用了同余的性質(zhì)。01020304同余定理及應(yīng)用04計數(shù)原理與技巧完成一件事有$n$類不同的方法，在第$1$類方法中有$m_1$種不同的方法，在第$2$類方法中有$m_2$種不同的方法，$ldots$，在第$n$類方法中有$m_n$種不同的方法。那么完成這件事共有$N=m_1+m_2+ldots+m_n$種不同的方法。加法原理完成一件事有$n$個不同的步驟，在第$1$個步驟中有$m_1$種不同的方法，在第$2$個步驟中有$m_2$種不同的方法，$ldots$，在第$n$個步驟中有$m_n$種不同的方法。那么完成這件事共有$N=m_1timesm_2timesldotstimesm_n$種不同的方法。乘法原理加法原理和乘法原理123從$n$個不同元素中取出$m(mleqn)$個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從$n$個不同元素中取出$m$個元素的一個排列。排列從$n$個不同元素中取出$m(mleqn)$個元素并成一組，叫做從$n$個不同元素中取出$m$個元素的一個組合。組合排列數(shù)$A_n^m=n(n-1)(n-2)ldots(n-m+1)$，組合數(shù)$C_n^m=frac{A_n^m}{m!}=frac{n!}{m!(n-m)!}$。排列數(shù)與組合數(shù)的計算公式排列組合基本概念常見計數(shù)問題解決方法枚舉法通過一一列舉出所有可能的情況，從而得到問題的答案。適用于問題規(guī)模較小，情況較少的情況。遞推法通過找出問題之間的關(guān)系，從而推導(dǎo)出問題的答案。適用于問題規(guī)模較大，但可以通過已知情況推導(dǎo)出未知情況的問題。歸納法通過觀察問題的特殊情況，從而歸納出問題的通解。適用于問題具有某種規(guī)律或周期性，可以通過觀察找出規(guī)律的問題。母函數(shù)法通過構(gòu)造一個母函數(shù)，從而利用母函數(shù)的性質(zhì)來求解問題的答案。適用于問題可以通過構(gòu)造母函數(shù)來簡化計算的情況。05經(jīng)典數(shù)學(xué)問題解析一個籠子里面關(guān)了雞和兔，從上面數(shù)有35個頭，從下面數(shù)有94只腳，問雞和兔各有多少只？問題描述假設(shè)雞有x只，兔有y只，根據(jù)頭數(shù)和腳數(shù)列出方程組求解。解題思路可以變化頭數(shù)和腳數(shù)，或者變化動物的種類和腳數(shù)。題目變形雞兔同籠問題韓信點兵問題問題描述韓信帶1500名兵士打仗，戰(zhàn)死四五百人，站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。韓信馬上說出人數(shù)是多少。解題步驟首先找出符合“站3人一排，多出2人”的數(shù)，再在這些數(shù)中找出符合“站5人一排，多出4人”的數(shù)，最后在這些數(shù)中找出符合“站7人一排，多出6人”的數(shù)。解題思路利用中國剩余定理或者逐步滿足條件的方法求解。題目變形可以變化排隊的人數(shù)和多余的人數(shù)。問題一百錢買百雞問題。公雞5錢一只，母雞3錢一只，小雞1錢三只，現(xiàn)在要用100錢買100只雞，問公雞、母雞、小雞各多少只？問題二物不知其數(shù)問題。一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個數(shù)最小是多少？問題三斐波那契數(shù)列問題。有一對兔子，從出生后第3個月起每個月都生一對兔子，小兔子長到第三個月后每個月又生一對兔子，假如兔子都不死，問每個月的兔子總數(shù)是多少？其他經(jīng)典數(shù)學(xué)問題06數(shù)學(xué)思想方法培養(yǎng)化歸思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，它通過將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題、未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題來尋求解決方案。在數(shù)與式的整式復(fù)習(xí)中，化歸思想體現(xiàn)在將復(fù)雜的多項式通過合并同類項、提取公因式等方法化簡為簡單的整式。化歸思想的應(yīng)用還包括將實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，通過解決數(shù)學(xué)模型來解決實際問題?；瘹w思想

數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想是將數(shù)學(xué)中的“數(shù)”與“形”結(jié)合起來，通過圖形直觀地表示數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)，從而簡化問題的解決過程。在數(shù)與式的整式復(fù)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)在利用數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系等圖形工具來表示整式的值和性質(zhì)。通過數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生可以更加直觀地理解整式的概念和性質(zhì)，提高解題效率。分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它通過將問題按照一