數(shù)學(xué)-5.2平行線及其判定10大題型（原版）

5.2平行線及其判定平行線的定義定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，如果直線a與b平行，記作a∥b．同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系可能是平行或相交，垂直是相交的一種。注意：(1)平行線的定義有三個(gè)特征：一是在同一個(gè)平面內(nèi)；二是兩條直線；三是不相交，三者缺一不可；(2)有時(shí)說(shuō)兩條射線平行或線段平行，實(shí)際是指它們所在的直線平行，兩條線段不相交并不意味著它們就平行．(3)在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交和平行兩種．特別地，重合的直線視為一條直線，不屬于上述任何一種位置關(guān)系．題型1：平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系（注意與立體圖形中的比較）1.下列敘述正確的是()A．兩條直線不相交就平行B．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線叫做平行線C．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線D．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段叫做平行線【變式1-1】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣EFGH中，與面BCGF垂直，又與面EFGH平行的棱是．

【變式1-2】在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系是（）A．平行或垂直 B．平行或相交 C．垂直或相交 D．平行、垂直或相交【新題速遞】（2022年春楊浦區(qū)）在長(zhǎng)方體中，對(duì)任意一條棱，與它平行的棱共有（）A.1條B.2條C.條D.4條平行線的畫法：用直尺和三角板作平行線的步驟：①落：用三角板的一條斜邊與已知直線重合.②靠：用直尺緊靠三角板一條直角邊.③推：沿著直尺平移三角板,使與已知直線重合的斜邊通過已知點(diǎn).④畫：沿著這條斜邊畫一條直線,所畫直線與已知直線平行.注意：原理：同位角相等，兩直線平行.題型2：平行線的畫法2.（2022七下·佛山月考）已知，如圖，直線與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)．求作：直線，使直線．

【變式2-1】如圖.直線a.點(diǎn)B.點(diǎn)C.（1）過點(diǎn)B畫直線a的平行線，能畫幾條?（2）過點(diǎn)C畫直線a的平行線，它與過點(diǎn)B的平行線平行嗎?【變式2-2】（2022七下·綏德期末）如圖，點(diǎn)C為直線AB上方一點(diǎn)，用尺規(guī)作圖法在點(diǎn)C的右側(cè)找一點(diǎn)P，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）平行公理及推論1．平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行．2．推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．注意：(1)平行公理特別強(qiáng)調(diào)“經(jīng)過直線外一點(diǎn)”，而非直線上的點(diǎn)，要區(qū)別于垂線的第一性質(zhì)．(2)公理中“有”說(shuō)明存在；“只有”說(shuō)明唯一．（3）“平行公理的推論”也叫平行線的傳遞性.題型3：平行公理及推論3.下列說(shuō)法中正確的有()①一條直線的平行線只有一條；②過一點(diǎn)與已知直線平行的直線只有一條；③因?yàn)閍∥b，c∥d，所以a∥d；④經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．A．1個(gè)B2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【變式3-1】下列說(shuō)法正確的是（）A．過直線上一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行 B．不相交的兩條直線叫做平行線 C．直線外一點(diǎn)到該直線的所有線段中垂線最短 D．過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行【變式3-2】下面推理正確的是（）A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c【變式3-3】如圖，已知OM∥a，ON∥a，所以點(diǎn)O、M、N三點(diǎn)共線的理由．直線平行的判定1-同位角相等，兩直線平行如右圖，幾何語(yǔ)言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）題型4：同位角相等，兩直線平行4.如圖，直線a、b被直線c所截，下列條件能判斷a∥b的是（）A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠4 C．∠3+∠4＝180° D．∠3+∠5＝180°

【變式4-1】（2022七下·延慶期末）如圖，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2．求證：ABCD．請(qǐng)將下面的證明過程補(bǔ)充完整．證明：∵∠B+∠BAD=180°（已知），∠1+∠BAD=180°（），∴∠1=∠B（）．∵∠1=∠2（已知），∴∠2＝（）．∴ABCD（）．【變式4-2】按要求補(bǔ)全證明條件如圖，∠1＝70°，∠2＝70°．直線AB與CD平行嗎？為什么？解：理由如下：∵∠2與∠3是對(duì)頂角，∴∠2＝∠3（）．∵∠2＝70°（已知），∴∠3＝70°（）．又∠1＝70°（已知），∴∠1＝∠3（等量代換）．∴∥（）．

直線平行的判定2-內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.如右圖，幾何語(yǔ)言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）題型5：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行5.補(bǔ)全下面的證明過程，并在括號(hào)內(nèi)填上適當(dāng)?shù)睦碛桑鐖D，AB和CD相交于點(diǎn)O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD．求證：AC∥BD．證明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD（已知），又∠COA＝∠BOD（），∴∠C＝（）．∴AC∥BD（）．【變式5-1】如圖，下列條件中能判斷直線l1∥l2的是（）A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠5 C．∠2＝∠4 D．∠3＝∠5

【變式5-2】如圖，已知CD⊥AD于點(diǎn)D，DA⊥AB于點(diǎn)A，∠1＝∠2，試說(shuō)明DF∥AE．解：因?yàn)镃D⊥AD（已知），所以∠CDA＝90°（）．同理∠DAB＝90°．所以∠CDA＝∠DAB＝90°（）．即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．因?yàn)椤?＝∠2（已知），所以∠3＝∠4（）．所以DF∥AE（）．【變式5-3】（2022七下·浦北月考）如圖，，，.問嗎？為什么？直線平行的判定3-同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行如右圖，幾何語(yǔ)言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）注意：平行線的判定是由角相等或互補(bǔ)，得出平行，即由數(shù)推形.

題型6：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行6.完成下面的證明：已知：如圖，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求證：AD∥BC．證明：∵AB⊥AC（已知），∴∠BAC＝90°（），∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知），∴∠1+∠BAC+∠B＝（），即∠+∠B＝180°，∴AD∥BC（）．【變式6-1】在下列括號(hào)內(nèi)，填上推理的根據(jù)．已知：如圖，∠1＝110°，∠2＝70°，求證：a∥b．解：∵∠1＝110°（），∠3＝∠1（），∴∠3＝110°（），又∵（已知）∴∠2+∠3＝180°∴a∥b（）．【變式6-2】推理填空：已知∠B＝∠CGF，∠DGF＝∠F求證：∠B+∠F＝180°

證明：∵∠B＝∠CGF（已知）∴AB∥CD∵∠DGF＝（已知）∴CD∥∴AB∥EF（平行于同一直線的兩直線平行）∴∠B+＝180°．【變式6-3】如圖，下列條件中：①∠BAD+∠ABC＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝∠BCD，能判定AD∥BC的是．題型7：與角平分線結(jié)合證平行7.如圖，點(diǎn)E是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，在下列條件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠B；③∠1＝∠4且AC平分∠DAB；④∠B+∠BCD＝180°，能判定AB∥CD的有．（填序號(hào)）【變式7-1】如圖，點(diǎn)G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，F(xiàn)G平分∠AGC，請(qǐng)說(shuō)明AE∥GF的理由．解：因?yàn)椤螧AG+∠AGD＝180°（），∠AGC+∠AGD＝180°（），所以∠BAG＝∠AGC（）．因?yàn)镋A平分∠BAG，所以∠1＝（）．

因?yàn)镕G平分∠AGC，所以∠2＝，得∠1＝∠2（），所以AE∥GF（）．【變式7-2】已知，如圖，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分別平分∠ABC與∠ADC，且∠1＝∠3．求證：AB∥DC，請(qǐng)根據(jù)條件進(jìn)行推理，得出結(jié)論，并在括號(hào)內(nèi)注明理由．證明：∵BF，DE分別平分∠ABC與∠ADC（已知），∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（）．∵∠ABC＝∠ADC（），∴∠＝∠（等量代換）．∵∠1＝∠3（），∴∠2＝∠（）．∴AB∥DC（）．【變式7-3】填寫下列空格：已知：如圖，CE平分∠ACD，∠AEC＝∠ACE．求證：AB∥CD．證明：∵CE平分∠ACD（已知），

∴∠＝∠（）．∵∠AEC＝∠ACE（已知），∴∠AEC＝∠（）．∴AB∥CD（）．題型8：與垂線結(jié)合證平行8.在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行嗎？為什么？【變式8-1】按要求完成下列證明：已知：如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，E是AC上一點(diǎn)，且∠1+∠2＝90°．求證：DE∥BC．證明：∵CD⊥AB（已知），∴∠1+＝90°（）．∵∠1+∠2＝90°（已知），∴＝∠2（）．∴DE∥BC（）．

【變式8-2】（2021七下·乾安期末）已知：如圖，直線EF分別與直線AB，CD相交于點(diǎn)P，Q，PM垂直于EF，∠1+∠2=90°．求證：AB//CD．【變式8-3】已知：AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2，求證：DG∥BA．題型9：利用常見的輔助線證平行9.如圖，已知∠B＝30°，∠D＝20°，∠BCD＝50°，試說(shuō)明AB∥DE．【變式9-1】如圖，已知AB∥EF，∠ABC＝∠DEF，試判斷BC和DE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式9-2】

MF⊥NF于F，MF交AB于點(diǎn)E，NF交CD于點(diǎn)G，∠1=140°，∠2=50°，試判斷AB和CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．10.（2022秋?駐馬店期末）如圖，B，F(xiàn)，E，C在同一條直線上，∠A=∠D．

（1）若∠A=78°，∠C=47°，求∠BFD的度數(shù)．

（2）若∠AEB+∠BFD=180°，求證：AB∥CD．【變式10-1】（2022春?榆林期末）如圖，已知點(diǎn)E在BD上，EA平分∠BEF，EC平分∠DEF．

（1）試說(shuō)明：AE⊥CE；

（2）若∠1=∠A，∠4=∠C，試判斷AB與CD平行嗎？為什么？【變式10-2】（2022春?龍鳳區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于點(diǎn)G．

（1）填空：∠2和∠D可用關(guān)系式表示為；∠1與∠D有怎樣的關(guān)系式：（2）求證：AB∥CD．

一、單選題1．如圖，在下列給出的條件中，不能判定AB∥DF的是（）A．∠1＝∠A B．∠A＝∠3C．∠1＝∠4 D．∠A+∠2＝180°2．下面說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）①過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；②兩直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；③相等的角是對(duì)頂角；④畫一條線段的垂線段可以畫無(wú)數(shù)條．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．如圖，直線、被直線所截，下列條件不能判定直線與平行的是（）A． B．C． D．4．如圖所示，下列推理不正確的是（）A．若，則

B．若，則C．若，則D．若，則5．如圖，能判定的條件是（）A． B．C． D．6．如圖所示，下列推理不正確的是（）A．若∠AEB＝∠C，則AE∥CDB．若∠AEB＝∠ADE，則AD∥BCC．若∠C＋∠ADC＝180°，則AD∥BCD．若∠AED＝∠BAE，則AB∥DE二、填空題7．將一副三角板如圖擺放，則∥，理由是.

8．設(shè)a，b，c為平面內(nèi)三條不同的直線，若a⊥c，b⊥c，則a與b的位置關(guān)系是.9．如圖，如果∠1=∠3，可以推出一組平行線為.10．如圖，要使，可以添加的條件是（填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的即可）．11．如圖是利用直尺和三角板過直線l外一點(diǎn)P作直線l的平行線的方法，這樣做的依據(jù)是．通過作圖可以發(fā)現(xiàn)，過直線l外一點(diǎn)，能且只能畫出一條平行線，于是得到平行線的一條基本性質(zhì):．三、作圖題

12．如圖，點(diǎn)M在∠AOB的內(nèi)部．畫圖：①過點(diǎn)M畫AO的平行線，交OB于點(diǎn)C；②過點(diǎn)M畫OB的垂線，交OB于點(diǎn)D；四、解答題13．推理填空：已知：如圖AB⊥BC于B，CD⊥BC于C