數(shù)學-專題05 平方根和立方根的求值問題（帶答案）

專題05平方根和立方根的求值問題（解析版）第一部分典例剖析+針對練習類型一利用開方求值典例1（2022春?青羊區(qū)校級月考）求下列各式的值：（1）±169（2）?64（3）49144（4）(?4)2思路引領(lǐng)：根據(jù)開方運算，可得平方根、算術(shù)平方根．解：（1）±169（2）?64（3）49144（4）(?4)總結(jié)提升：本題考查了算術(shù)平方根，熟記定義是解題的關(guān)鍵．典例2求下列各式的值：（1）364（2）30.001（3）3(?2（4）?3思路引領(lǐng)：如果一個數(shù)x的立方等于a，那么x是a的立方根，根據(jù)此定義求解即可．解：（1）3＝4；（2）3＝0.1；（3）3＝﹣2；（4）?＝﹣（﹣10）

＝10．總結(jié)提升：本題考查了立方根的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．針對訓練：1．（2022春?靈寶市期中）求下列各式的值：（1）364（2）?9（3）±0.49（4）3?1思路引領(lǐng)：分別根據(jù)立方根，算術(shù)平方根，平方根的定義求出即可．解：（1）原式＝4；（2）原式＝﹣3；（3）原式＝±0.7；（4）原式＝﹣1．總結(jié)提升：本題考查了立方根，算術(shù)平方根，平方根的定義，能熟記定義是解此題的關(guān)鍵．類型二利用開方求未知數(shù)的值典例3（2022春?岳麓區(qū)校級月考）求下列各式中x的值．（1）169x2＝100；（2）（x+1）2＝81．思路引領(lǐng)：（1）兩邊都除以169，再根據(jù)平方根的定義求解可得；（2）先根據(jù)平方根的定義得出x+1的值，再解方程可得．解：（1）169x2＝100，x2x=±100∴x=±10（2）（x+1）2＝81，x+1=±81x+1＝±9，x＝8或﹣10．

總結(jié)提升：本題主要考查的是平方根的定義，熟練掌握相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．典例4（2022秋?南京期末）求下列各式中x的值：（1）13（x+2）3（2）（2x﹣1）3﹣27＝0．思路引領(lǐng)：根據(jù)立方根的定義即可求解．（2）兩邊都乘以3得，（x+2）3＝﹣27，由立方根的定義可得，x+2＝﹣3，解得x＝﹣5．（2）（2x﹣1）3﹣27＝0，（2x﹣1）3＝27，2x﹣1＝3，2x＝4，x＝2．總結(jié)提升：本題主要考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定義是解題的關(guān)鍵．針對訓練1．（2022秋?江陰市校級月考）求下列各式中x的值：（1）48﹣3（x﹣2）2＝0．（2）27（x+1）3+1＝0．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)平方根的定義即可求解；（2）根據(jù)立方根的定義即可求解．解：（1）48﹣3（x﹣2）2＝0，﹣3（x﹣2）2＝﹣48，（x﹣2）2＝16，x﹣2＝±4，x＝6或﹣2；（2）27（x+1）3+1＝0，27（x+1）3＝﹣1，

（x+1）3=?1x+1=?1x=?4總結(jié)提升：本題主要考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定義是解題的關(guān)鍵．類型三利用開方的定義解題典例5（2022秋?寧德期末）已知：2a+b的算術(shù)平方根是4，4a﹣b的立方根是2，求a﹣b的值．思路引領(lǐng)：首先根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義可得：2a+b＝16①，4a﹣b＝8②，兩式相減可得結(jié)論．解：∵2a+b的算術(shù)平方根是4，4a﹣b的立方根是2，∴2a+b＝16①，4a﹣b＝8②，②﹣①得：2a﹣2b＝﹣8，∴a﹣b＝﹣4．總結(jié)提升：此題主要考查了立方根的含義和求法，算術(shù)平方根的含義和求法，要熟練掌握．典例6（2022秋?永年區(qū)期中）已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是1﹣2a和a+4，4a+2b﹣1的立方根是3．（1）求a，b的值；（2）求a+b的算術(shù)平方根．思路引領(lǐng)：（1）先求出a的值，再根據(jù)4a+2b﹣1的立方根是3求出b的值即可；（2）先求出a+b的值，再求出其算術(shù)平方根即可．解：（1）∵一個正數(shù)的兩個平方根分別是1﹣2a和a+4，∴1﹣2a＝﹣a﹣4，解得a＝5；∴4a+2b﹣1可化為19+2b，∵4a+2b﹣1的立方根是3，∴19+2b＝27，解得b＝4．（2）∵a＝5，b＝4，∴a+b＝5+4＝9，∴a+b的算術(shù)平方根是3．總結(jié)提升：本題考查的是平方根，立方根及算術(shù)平方根，熟知一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．

典例7（2022春?東莞市期中）已知實數(shù)x、y滿足2x?3y?1+|x?2y+2|=0（1）求x+y的值．（2）求x+8（3）求3x?8思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出方程求出x、y的值；（2）求出x+8（3）求出3x?8解：（1）由題意得，2x﹣3y﹣1＝0，x﹣2y+2＝0，解得x＝8，y＝5，∴x+y＝8+5＝13；（2）x+85y=16的平方根是±4；（3）3x?84的立方根是34總結(jié)提升：本題考查的是非負數(shù)的性質(zhì)、平方根和立方根的概念，掌握幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0是解題的關(guān)鍵．例8已知與互為相反數(shù)，求2a+b的立方根．分析：根據(jù)兩個數(shù)互為相反數(shù)，可得它們的立方也互為相反數(shù)，據(jù)此列方程求出a、b的關(guān)系，進而求出2a+b的立方根即可解：∵與互為相反數(shù)，∴，∴，∴，∴2a+b的立方根是．針對訓練1．（2021秋?雁塔區(qū)期末）已知1+3a的平方根是±7，2a﹣b+2的立方根是3，求a﹣b的值．思路引領(lǐng)：根據(jù)題意可求出a＝16，根據(jù)題意得2a﹣b+2＝27，再將a＝16代入可求出b＝7，代入代數(shù)式進行計算即可．

解：根據(jù)題意，可得1+3a＝49，解得，a＝16，∵2a﹣b+2的立方根是3，∴2a﹣b+2＝27，將a＝16代入，得2×16﹣b+2＝27，解得b＝7，∴a﹣b＝9．總結(jié)提升：本題考查了平方根，立方根，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是掌握平方根，立方根的概念．2．（2021秋?寶塔區(qū)校級期末）一個正數(shù)的平方根分別是2a+5和2a﹣1，b﹣10的立方根是﹣2．（1）求a，b的值；（2）求a+b的算術(shù)平方根．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)平方根的性質(zhì)即可求出a、b的值；（2）將a與b的值代入a+b中即可求出它的算術(shù)平方根．解：（1）由題意可知：2a+5+2a﹣1＝0，合并同類項得：4a+4＝0，移項得：4a＝﹣4，解得a＝﹣1．由題意可知：b﹣10＝（﹣2）3＝﹣8，解得：b＝2．（2）∵a+b＝﹣1+2＝1，∴a+b的算術(shù)平方根是1．總結(jié)提升：本題考查了平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義，解題的關(guān)鍵是正確理解算術(shù)平方根的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．3．（2022秋?商河縣期中）已知﹣27的立方根是m﹣12，2是n﹣3的一個平方根，求m+n的值．思路引領(lǐng)：根據(jù)平方根與立方根的意義可得m﹣12＝﹣3，n﹣3＝4，從而可得m＝9，n＝7，然后代入式子中進行計算即可解答．解：∵﹣27的立方根是m﹣12，2是n﹣3的一個平方根，∴m﹣12＝﹣3，n﹣3＝4，∴m＝9，n＝7，

∴m+n＝9+7＝16，∴m+n的值為16．總結(jié)提升：本題考查了平方根，立方根，熟練掌握平方根與立方根的意義是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?錦江區(qū)校級月考）（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是4，求a+2b的值．（2）已知3?x+y2﹣4y+4＝0，求y思路引領(lǐng)：（1）由題意可得2a﹣1＝9，3a+b﹣9＝64，解出a，b的值再代入a+2b中即可求解；（2）根據(jù)3?x+y2﹣4y+4＝0可得出3?x+(y?2)2=解：（1）∵2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是4，∴2a﹣1＝9，3a+b﹣9＝64，解得：a＝5，b＝58，∴a+2b＝5+2×58＝121；（2）∵3?x+y2﹣4y∴3?x+(y?2∵3?x≥0，(y?2∴3﹣x＝0，y﹣2＝0，∴x＝3，y＝2，∴y的平方根是±2總結(jié)提升：本題主要考查了平方根，立方根及平方和平方根的非負性，掌握平方根的定義，立方根的定義及平方和平方根的非負性是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋?杭州期中）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．（1）若a＜b，求a+b的值；（2）若abc＞0，求a﹣3b﹣2c的值．思路引領(lǐng)：（1）利用絕對值的定義求出a的值，利用平方根的定義求出b的值，利用立方根的定義求c的值，代入即可求出a+b的值；（2）根據(jù)ab小于0，得到ab異號，求出a與b的值，代入所求式子中計算即可求出值．解：（1）∵|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．∴a＝±5，b＝±2，c＝﹣2，∵a＜b，∴a＝﹣5，b＝±2，

∴a+b＝﹣5+2＝﹣3或a+b＝﹣5﹣2＝﹣7，即a+b的值為﹣3或﹣7；（2）∵abc＞0，c＝﹣2，∴ab＜0，∴a＝5，b＝﹣2或a＝﹣5，b＝2，∴當a＝5，b＝﹣2，c＝﹣2時，a﹣3b﹣2c＝5﹣3×（﹣2）﹣2×（﹣2）＝15，當a＝﹣5，b＝2，c＝﹣2時，a﹣3b﹣2c＝﹣5﹣3×2﹣2×（﹣2）＝﹣7，∴a﹣3b﹣2c＝15或﹣7．總結(jié)提升：本題考查了代數(shù)式求值，涉及的知識有：絕對值及平方根、立方根的定義，求出a與b的值是解本題的關(guān)鍵專題提優(yōu)訓練1．（2021秋?任丘市期末）求下列各式的值．（1）?3（2）±4（3）?3（4）51思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)立方根的性質(zhì)計算；（2）根據(jù)平方根的性質(zhì)計算；（3）根據(jù)立方根的性質(zhì)計算；（4）根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)計算．解：（1）?3（2）±4（3）?3（4）51

總結(jié)提升：本題主要考查了平方根、立方根，熟練應用平方根、立方根的定義進行計算是解題關(guān)鍵．2．求x值：（1）4x2＝121（2）（x+2）2＝125思路引領(lǐng)：兩方程整理后，利用平方根定義計算即可求出解．解：（1）方程整理得：x2＝，開方得：x＝±，解得：x1＝，x2＝﹣；（2）開方得：x+2＝±5，解得：x1＝﹣2+5，x2＝﹣2﹣5．3．求下列各式中x的值：（1）；（2）；（3）．思路引領(lǐng)：本題直接根據(jù)立方根的定義解方程即可（1）解：；（2）解：移項，合并得解得（3）解：移項，合并得4．求下列代數(shù)式的值（1）如果a2＝4，b的算術(shù)平方根為3，求a+b的值．（2）已知x是25的平方根，y是16的算術(shù)平方根，且x＜y，求x﹣y的值．思路引領(lǐng)：（1）首先依據(jù)平方根和算術(shù)平方根的定義求出a、b，再代入計算即可求解；（2）首先依據(jù)平方根和算術(shù)平方根的定義求出x、y，再代入計算即可求解．解：（1）∵a2＝4，∴a＝±2，∵b的算術(shù)平方根為3，∴b＝9，∴a+b＝﹣2+9＝7或a+b＝2+9＝11．（2）∵x是25的平方根，

∴x＝±5，∵y是16的算術(shù)平方根，∴y＝4，∵x＜y，∴x＝﹣5，∴x﹣y＝﹣5﹣4＝﹣9．5．（2022秋?蒲江縣校級期中）已知3a+2b+4的平方根為±5，4是7a+1的立方根．（1）求a，b的值；（2）求4a﹣3b+5的算術(shù)平方根．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)平方根和立方根的定義即可求解；（2）先將（1）中的a，b代入4a﹣3b+5中，再求它的算術(shù)平方根．解：（1）∵3a+2b+4的平方根為±5，4是7a+1的立方根，∴3a+2b+4＝5，7a+1＝64，解得：a＝9，b＝﹣13；（2）將a＝9，b＝﹣13代入4a﹣3b+5中得：4a﹣3b+5＝4×9﹣3×（﹣13）+5＝80，∴80的算術(shù)平方根80=45∴4a﹣3b+5的算術(shù)平方根45．總結(jié)提升：本題主要考查了算術(shù)平方根，平方根和立方根，掌握算術(shù)平方根，平方根和立方根的定義是解題的關(guān)鍵．6．（2022春?臺江區(qū)校級期中）已知：x的平方根是a+3與2a﹣15，且2b?1=（1）求a，b的值：（2）求x的值；（3）求a+b﹣1的立方根．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)一個正數(shù)的平方根有兩個它們互為相反數(shù)，列出方程求得a，根據(jù)算術(shù)平方根的定義求得b；（2）根據(jù)平方與平方根的互逆關(guān)系進行解答；（3）根據(jù)立方根的定義進行計算．解：（1）∵x的平方根是a+3與2a﹣15，

∴（a+3）+（2a﹣15）＝0，解得a＝4，∵2b?1=∴b＝5；（2）∵x的平方根是a+3與2a﹣15，∴x＝（a+3）2＝（4+3）2＝49；（3）3a+b?1總結(jié)提升：本題主要考查了平方根與立方根，算術(shù)平方根，熟記定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022春?東莞市期中）已知一個正數(shù)m的兩個平方根分別是3a+2與a﹣10．（1）求a的值；（2）求m的立方根．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)平方根的意義，可得3a+2+a﹣10＝0，然后進行計算即可解答；（2）根據(jù)平方運算先求出m的值，再根據(jù)立方根的意義，即可解答．解：（1）由題意得：3a+2+a﹣10＝0，解得：a＝2，∴a的值為2；（2）當a＝2時，m＝（3a+2）2＝（6+2）2＝64，∴m的立方根是4．總結(jié)提升：本題考查了立方根，平方根，熟練掌握平