數(shù)學(xué)-專項(xiàng)18.1 平行四邊形的性質(zhì)（知識(shí)講解）-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（人教版）

專題18.1平行四邊形的性質(zhì)（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解平行四邊形的定義，從角、邊、對(duì)角線三個(gè)角度理解平行四邊形的性質(zhì)定理；2．能初步運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算，并體會(huì)如何利用所學(xué)的三角形的知識(shí)解決四邊形的問題．3.認(rèn)識(shí)平行四邊形對(duì)角線分得的三角形的關(guān)系及拓展關(guān)系4.靈活運(yùn)用綜合運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)定理進(jìn)行證明和計(jì)算．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平行四邊形的定義平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形ABCD記作“ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.特別說明：平行四邊形的基本元素：邊、角、對(duì)角線.相鄰的兩邊為鄰邊，有四對(duì)；相對(duì)的邊為對(duì)邊，有兩對(duì)；相鄰的兩角為鄰角，有四對(duì)；相對(duì)的角為對(duì)角，有兩對(duì)；對(duì)角線有兩條.要點(diǎn)二、平行四邊形的性質(zhì)1．邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊平行且相等；2．角的性質(zhì)：平行四邊形對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；3．對(duì)角線性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分；4．平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱中心；特別說明：（1）平行四邊形的性質(zhì)中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補(bǔ)；對(duì)角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系.（2）由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時(shí)根據(jù)需要進(jìn)行選擇.（3）利用對(duì)角線互相平分可解決對(duì)角線或邊的取值范圍的問題，在解答時(shí)應(yīng)聯(lián)系三角形三邊的不等關(guān)系來解決.

要點(diǎn)三、平行線間的距離1.兩條平行線間的距離：（1）定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離.注：距離是指垂線段的長(zhǎng)度，是正值.（2）平行線間的距離處處相等任何兩平行線間的距離都是存在的、唯一的，都是夾在這兩條平行線間最短的線段的長(zhǎng)度.兩條平行線間的任何兩條平行線段都是相等的.2.平行四邊形的面積：1.平行四邊形的面積＝底×高；等底等高的平行四邊形面積相等；2.平行四邊形對(duì)角線得的四個(gè)三角形面積相等，如圖1平行四邊形內(nèi)任意一個(gè)分得的四個(gè)三角形的四個(gè)三角形面積有如下關(guān)系：如圖2圖1圖二圖三要點(diǎn)四、平面直角坐標(biāo)系中平行四邊形在平面直角坐標(biāo)系中，如圖三，四邊形ABCD是平行四邊形，若;;;,則有：【典型例題】類型一、平行四邊形的性質(zhì)??作圖??求線段長(zhǎng)??求角度??求面積 1．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC為對(duì)角線，AC=BC=5，AB=6，AE是△ABC的中線．

(1)用無刻度的直尺畫出△ABC的高CH（保留畫圖痕跡）；(2)求△ACE的面積．【答案】(1)詳見分析；(2)6【分析】（1）連接BD，BD與AE交于點(diǎn)F，連接CF并延長(zhǎng)到AB，與AB交于點(diǎn)H，則CH為△ABC的高；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得BO為△ABC的中線，根據(jù)AC=BC，可得△ACE≌△BCO，從而得到AE=BO，進(jìn)而得到△ABO≌△BAE，可得到FA=FB，再根據(jù)線段垂直平分線的判定定理，即可求解；（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可求得AH的長(zhǎng)，再由勾股定理求得CH的長(zhǎng)，繼而求得△ABC的面積，又由AE是△ABC的中線，求得△ACE的面積．（1）解：如圖，連接BD，BD與AE交于點(diǎn)F，與AC交于點(diǎn)O，連接CF并延長(zhǎng)到AB，則它與AB的交點(diǎn)即為H．理由如下：∵BD、AC是平行四邊形ABCD的對(duì)角線，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，即BO為△ABC的中線，∵AE是△ABC的中線，AC=BC，∴CO=CE，AO=BE，∵∠BAC=∠BAC，∴△ACE≌△BCO，∴AE=BO，∵AO=BE，AB=BA，∴△ABO≌△BAE（SSS），∴∠ABO=∠BAE，

∴FA=FB，∵AC=BC，∴CH是AB的垂直平分線，∴CH是△ABC的高；（2）解：∵AC=BC=5，AB=6，CH⊥AB，∴AH=AB=3，由勾股定理可得，∴S△ABC=AB?CH=×6×4=12，∵AE是△ABC的中線，∴S△ACE=S△ABC=6．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知平行四邊形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于點(diǎn)E，AF∥CE，且交BC于點(diǎn)F．

（1）求證：△ABF≌△CDE；

（2）如圖，若∠1=65°，求∠B的大小．【答案】（1）證明見分析；（2）50°．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，得出∠1=∠DCE，證出∠AFB=∠1，由AAS證明△ABF≌△CDE即可；（2）由（1）得∠1=∠DCE=65°，由平行四邊形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，

∴∠1=∠DCE，∵AF∥CE，∴∠AFB=∠ECB，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠ECB，∴∠AFB=∠1，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）由（1）得：∠1=∠ECB，∠DCE=∠ECB，∴∠1=∠DCE=65°，∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．考點(diǎn)：（1）平行四邊形的性質(zhì)；（2）全等三角形的判定與性質(zhì)．【變式2】如圖，在中，BD是它的一條對(duì)角線，(1)求證：；(2)尺規(guī)作圖：作BD的垂直平分線EF，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；(3)連接BE，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見分析 (2)見分析 (3)50°【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出，可利用“SSS”證明三角形全等；（2）根據(jù)垂直平分線的作法即可解答；（3）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可．

解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，，，（2）如圖，EF即為所求；（3）BD的垂直平分線為EF，，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的作法和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．類型二、平行四邊形的性質(zhì)??證明??求線段??求角度??求面積（周長(zhǎng)） 2．如圖，在中，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接，．求證：；求證：平分；若，，求的面積．

【答案】(1)見分析； (2)見分析； (3)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得，根據(jù)對(duì)頂角相等，，再根據(jù)點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，即可求證；（2）通過證明為等腰三角形，即可求證；（3）由題意可得，的面積等于的面積，利用含角直角三角形的性質(zhì)，即可求解．解：（1）證明：在中，，∴，∵點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，∴，又∵，∴；（2）證明：由（1）可得，∴，即為的中線，，又∵，∴為等腰三角形，∴，∴，即平分；（3）解：由（2）可得平分；又∵∴，∵，∴，在中，，，∴，∴，∴，由（1）可得，則，

∴．【點(diǎn)撥】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)．舉一反三：【變式1】如圖，在中，．用尺規(guī)完成以下基本作圖：在上截取，使；作的平分線交于點(diǎn)F．（保留作圖痕跡，不寫作法）在（1）所作的圖形中，連接交于點(diǎn)G，證明：．【分析】（1）利用尺規(guī)作圖畫出圖形，即可求解；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，從而得到，再由平分，可得，從而得到，進(jìn)而得到，即可．（1）解：如圖所示，點(diǎn)E、F即為所求；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵，∴，即，

∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平四邊形的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定，熟練掌握平四邊形的性質(zhì)，尺規(guī)作圖的作法是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在平行四邊形中，分別平分和，交邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，線段相交于點(diǎn)M．求證：；若．求的長(zhǎng)．【答案】(1)見分析 (2)AB=14【分析】（1）因?yàn)樵谥?，，分別平分和，得，得到，即可得答案；（2）證明，，再利用平行四邊形的性質(zhì)，證出，由已知得出，，求出，得出，即可得答案．解：（1）證明：在中，，，分別平分和，，，即，，；（2）在中，，，又平分，，

，，同理可得：，又在中，，，，即，，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明，．類型三、平行四邊形性質(zhì)的應(yīng)用??等分面積??作平分線??求面積（周長(zhǎng)）3．如圖四邊形ABCD是平行四邊形，請(qǐng)僅用無刻度的直尺按要求作圖：在圖1中作一條線段，將的面積平均分成兩份；在圖2中過點(diǎn)E作一條直線，將的面積平均分成兩份．【分析】（1）做出平行四邊形的一條對(duì)角線即可；（2）先確定對(duì)角線的交點(diǎn)O，然后再作過O、E的直線即可．（1）解：如圖所示，線段AC（或BD）即為所示．

（2）解：如圖所示，直線OE即為所示．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】探究：如圖1，在ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．求證：四邊形AEFB與四邊形DEFC的周長(zhǎng)相等．直線EF是否將ABCD的面積分成二等份？試說明理由．應(yīng)用：張大爺家有一塊平行四邊形菜園，園中有一口水井P，如圖2，張大爺計(jì)劃把菜園平均分成兩塊，分別種植西紅柿和茄子，且使兩塊地共用這口水井，請(qǐng)你幫助張大爺把地分開．【答案】(1)證明見分析 (2)直線是將的面積分成二等份，理由見分析 (3)見分析【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形全等的判定證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，同樣的方法可證出，，然后根據(jù)四邊形的周長(zhǎng)公式即可得證；（2）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形全等的判定證出，從而可得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得

，，由此即可得出結(jié)論；（3）連接交于點(diǎn)，作直線，則直線兩側(cè)的四邊形面積相等．解：（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，在和中，，，，同理可證：，，，四邊形與四邊形的周長(zhǎng)相等．（2）解：直線是將的面積分成二等份，理由如下：四邊形是平行四邊形，，在和中，，，，由（1）已證：，，，，，四邊形與四邊形的周長(zhǎng)相等，

即直線將的面積分成二等份．解：連接交于點(diǎn)，作直線，則直線兩側(cè)的四邊形面積相等，如圖所示：【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式2】如圖，中，點(diǎn)E在BC上，且，試分別在下列兩個(gè)圖中按要求使用無刻度直尺畫圖．（保留作圖痕跡）（1）在圖1中，畫出的平分線；在圖2中，畫出的平分線，并說明理由．【答案】（1）見分析；（2）見分析【分析】（1）依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，即可得到AC平分∠DAE；（2）依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)，即可得到EO平分∠AEC．解：（1）如圖所示，連接AC，則AC平分∠DAE；（2）如圖所示，連接AC，BD，交于點(diǎn)O，連接EO，則EO平分∠AEC．

理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AC，BD交于點(diǎn)O，∴AO=CO，又∵AE=CE，OE=OE∴△AOE≌△COE∴∠AEO=∠OEC∴EO平分∠AEC．【點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)雜作圖，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．類型四、平面直角坐標(biāo)系??平行四邊形性質(zhì)??求坐標(biāo)??求線段長(zhǎng)4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、、．試說明點(diǎn)A在線段的垂直平分線上；若點(diǎn)Q為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，且是以為斜邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；在直線和y軸上，是否分別存在點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以點(diǎn)M，N，A，C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)見分析 (2)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0）或（2，3）； (3)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，）或（-2，）或（2，）．【分析】（1）由兩點(diǎn)間的距離公式可得AB=AC，從而說明結(jié)論；（2）利用勾股定理的逆定理可知△ABC是等腰直角三角形，則點(diǎn)Q與點(diǎn)A

重合，利用對(duì)稱性得出點(diǎn)Q的另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3）；（3）設(shè)M（t，?t+2），N（0，n），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得答案．（1）解：∵點(diǎn)A（1，0），B（0，2），C（3，1），∴OA=1，OB=2，AB==，AC==，BC==，∴AB=AC，∴點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上；（2）解：設(shè)Q（x，y），∵AB=，AC=，BC=，∴，∴△ABC是等腰直角三角形，∴點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，∴點(diǎn)Q（1，0），利用對(duì)稱性得出點(diǎn)Q的另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3），∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0）或（2，3）；（3）解：∵B（0，2），C（3，1），∴直線BC的表達(dá)式為：y=?x+2，∵M(jìn)在直線BC上，N在y軸上，設(shè)M（t，?t+2），N（0，n），①當(dāng)AC、MN為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴2=，∴t=4，∴M（4，）；②當(dāng)AN、CM為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，AN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，CM中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

∴=，∴t=-2，∴M（-2，）；③當(dāng)AM、CN為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，AM中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，CN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴=，∴t=2，∴M（2，）；綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，）或（-2，）或（2，）．【點(diǎn)撥】本題是四邊形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（m，0）和（0，n），m、n滿足，點(diǎn)C在y軸上，四邊形ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點(diǎn)E．直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；如圖1，若點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上，且AB＝BC，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；如圖2，若點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，OH⊥BD于H，M為AB的中點(diǎn)，求MH的長(zhǎng)．【答案】(1)A（4，0），B（0，4） (2)E（2，） (3)MH=【分析】（1）利用非負(fù)性求出m、n的值即可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)AB＝BC求出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用平行四邊形的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）根據(jù)等積法和勾股定理求出OH和BH，根據(jù)OH和BH求出H點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合M點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出MH的長(zhǎng)．（1）解：∵即：∴∴A（4，0），B（0，4）（2）解：∵OB=OA=4∴AB=∴BC=AB=，OC=BC-OB=C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）∵點(diǎn)E是AC中點(diǎn)，∴，∴E(2，)．（3）解：∵C與O重合，∴E為OA的中點(diǎn)，∴OE=2，∴BE=，∵即：∴OH=，∴BH==設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）則：

由①-②得：，解得：把代入①得：或（舍）∴H又∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴M（2，2）∴MH．【點(diǎn)撥】本題考查坐標(biāo)系和幾何的綜合應(yīng)用．本題的綜合性較強(qiáng)，利用非負(fù)性、平行四邊形的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及勾股定理進(jìn)行解題．【變式2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，且m，n滿足，將線段AB先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段DC，其中點(diǎn)D與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，連接AD，BC，CD，得到平行四邊形ABCD，連接BD．補(bǔ)全圖形，并寫出平行四邊形ABCD各頂點(diǎn)坐標(biāo)；平行四邊形ABCD的面積是多少？在x軸上是否存在點(diǎn)M，使△MBD的面積等于平行四邊形ABCD的面積？若存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)圖見分析，，，， (2)12 (3)存在，或【分析】（1）先根據(jù)絕對(duì)值和偶次方的非負(fù)性可得的值，再根據(jù)平移的性質(zhì)、線段的畫法補(bǔ)全圖形，然后根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的平移變換規(guī)律即可得點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）先求出，，再利用平行四邊形的面積公式即可得；（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，再根據(jù)三角形的面積公式建立方程，解方程可得的值，由此即可得．（1）解：，，，解得，，，，補(bǔ)全圖形如下：由平移的性質(zhì)得：，，即，．（2）解：，，，，，則平行四邊形的面積是．（3）解：如圖，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，的面積等于平行四邊形的面積，，即，解得或，所以存在這樣的點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【點(diǎn)撥】本題考查了平移作圖、點(diǎn)坐標(biāo)的平移變換、平行四邊形的面積、坐標(biāo)與圖形，熟練掌握平移作圖是解題關(guān)鍵．類型五、平行四邊形性質(zhì)??折疊問題??證明??求線段長(zhǎng)??其他5．【發(fā)現(xiàn)與證明】把平行四邊形沿著它的一條對(duì)角線翻折，會(huì)發(fā)現(xiàn)其中有許多結(jié)論：中，，將△ABC沿AC翻折至，AD與交于E，連接，不難發(fā)現(xiàn)新圖形中有兩個(gè)等腰三角形．請(qǐng)利用圖1證明是等腰三角形：(2)【應(yīng)用與探究】如圖1，已知：，若，∠求：∠ACB的度數(shù)；(3)如圖2，已知：，，，與邊CD相交于點(diǎn)E，求的面積．【答案】(1)見詳解； (2) (3)【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，；再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到；最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，即．（3）過C點(diǎn)分別作，垂足分別為G、H

，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)定理求解即可．（1）解：沿AC翻折至，四邊形ABCD是平行四邊形，是等腰三角形（2）解：由（1）可知，和是等腰三角形（對(duì)頂角）（3）解：如圖2，過C點(diǎn)分別作，垂足分別為G、H在中，，

設(shè)由勾股定理得，，即：，，的面積＝．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)即三角形翻折的性質(zhì)，難點(diǎn)在于找到兩者的聯(lián)系．舉一反三：【變式1】如圖，在平行四邊形紙片中，，將紙片沿對(duì)角線對(duì)折，邊與邊交于點(diǎn)，此時(shí)恰為等邊三角形．求的長(zhǎng)度；請(qǐng)直接寫出重疊部分的周長(zhǎng)．【答案】(1) (2)【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得∠ACB＝∠ACE，由平行線的性質(zhì)可得∠DAC＝∠ACB，可證AE＝EC，由等邊三角形的性質(zhì)可求解；（2）由勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再證明A，B，B′三點(diǎn)共線，則可得出答案．（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝3cm，ADBC，∴∠DAC＝∠ACB，∵將紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折，∴∠ACB＝∠ACE，

∴∠DAC＝∠ACE，∴AE＝EC，∵△DEC是等邊三角形，∴DE＝EC＝CD＝3cm，∴AE＝3cm，∴AD＝6cm；（2）∵△DEC是等邊三角形，∴∠D＝∠ECD=∠DEC=60°，∵四邊形是平行四邊形，,∵將紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折，,,,,三點(diǎn)共線，∵將紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折，∴∠BAC＝90°，∵∠B＝∠D＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝2AB＝6cm，∴AC＝（cm），由（1）可知AE＝CE＝3cm，∴△AEC的周長(zhǎng)為AE＋CE＋AC＝3＋3＋3＝．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定等知識(shí)，證明AE＝EC是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知，如圖1，在中，，將沿翻折至

，連接．求證：；若點(diǎn)在直線下方，如圖2，，，求的長(zhǎng)；在翻折過程中，若為直角三角形，求的值．【答案】(1)證明見分析 (2) (3)的值為或或或【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，得出，再根據(jù)等量代換，即可得出結(jié)論；（2）首先設(shè)與的交點(diǎn)為，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出，，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，得出，，，根據(jù)等量代換，得出，，再根據(jù)，可得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)等角對(duì)等邊，得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，得出，然后再根據(jù)直角三角形所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得出，再根據(jù)直角三角形的勾股定理，得出，再根據(jù)線段的關(guān)系，得出，再利用等量代換，得出，進(jìn)而算出，然后再利用，即可得出結(jié)果；（3）根據(jù)題意，分四種情況，利用直角三角形的性質(zhì)，分別進(jìn)行討論，即可得出結(jié)果．（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，又∵沿翻折至，∴，∴．（2）解：如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為，

∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵沿翻折至，∴，，，∴，，又∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，又∵，∵，∴，解得：，∴．（3）解：如圖，當(dāng)時(shí)，∵，∴，由（2）可知，，∴，∴，

∴，∴．如圖，當(dāng)時(shí)，同理可得：．如圖，當(dāng)，點(diǎn)在的上方時(shí)，過點(diǎn)作，交于，∵四邊形是平行四邊形，，∴，∴，∵沿翻折至，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，，∴，，∴，

∴．如圖，當(dāng)，點(diǎn)在的下方時(shí)，同理可得：．綜上可得：的值為或或或．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等量代換，全等三角形性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和找出所有符合條件的情況．類型五、平行四邊形性質(zhì)??最值問題??證明??求最小（大）值??其他6．如圖，平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，．將這個(gè)平行四邊形向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到平行四邊形，點(diǎn)A，B，C，O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)，，，．畫出平移后的平行四邊形，并寫出，的坐標(biāo)；直接寫出平行四邊形的面積；若點(diǎn)N是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直接寫出線段的最小值：，數(shù)學(xué)依據(jù)是：．

【答案】(1)見分析，， (2)6 (3)3；直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖，即可得出答案；（2）利用平行四邊形的面積公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短，可知當(dāng)軸時(shí)，線段取最小值，即可得出答案．（1）解：如圖，平行四邊形即為所求．點(diǎn)，．（2）解：平行四邊形的面積為．故答案為：6；（3）解：∵點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上，∴當(dāng)軸時(shí)，線段取最小值，最小值為3，數(shù)學(xué)依據(jù)為：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短．故答案為：3；直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短．

【點(diǎn)撥】本題考查了作圖﹣平移變換、平行四邊形的面積公式、點(diǎn)到直線的距離，熟練掌握平移的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖1，在ABCD中，∠B＝45°，過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，連接AC，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，交CE于點(diǎn)G，連接EF．若DG＝8，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)；求證：AF＋FG＝EF；如圖2，點(diǎn)P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，取線段AB的中點(diǎn)N，作點(diǎn)B關(guān)于直線PM的對(duì)稱點(diǎn)，連接，若AB＝10，請(qǐng)直接寫出當(dāng)取得最大值時(shí)PB的長(zhǎng)．【答案】(1)8 (2)見分析 (3)【分析】（1）證明△DEG≌△CEA，可得結(jié)論；（2）過E作EH⊥EF于點(diǎn)E，交DF于點(diǎn)H，證明△DEH≌△CEF，可得EF＝EH，DH＝CF，進(jìn)而AF＝HG，在△EFH中FH＝FG＋GH＝EF，即可得結(jié)論；（3）如圖，連接、MN，由題意,推出在NM的延長(zhǎng)線上時(shí)，的值最大，即可求出BP的長(zhǎng)．解：(1)∵在ABCD中，∠B＝45°，∴∠ADC＝∠B＝45°，∵CE⊥AD，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CE＝DE，∠DEC＝∠AEC＝90°，∵DF⊥AC，∴∠CFD＝∠DEC＝90°，又∵∠DGE＝∠CGF，∴∠EDG＝∠ECA，

∴△DEG≌△CEA（ASA），∴AC＝DG＝8；(2)如圖，過E作EH⊥EF于點(diǎn)E，交DF于點(diǎn)H，∵∠FEH＝∠DEC＝90°，∴∠FEH-∠GEH=∠DEC-∠GEH,∴∠DEH＝∠CEF，∵∠EDH＝∠ECF，DE＝CE，∴△DEH≌△CEF（ASA），∴EF＝EH，DH＝CF，∴AC﹣CF＝DG﹣DH，即AF＝HG，∵FH＝FG＋GH＝EF，∴AF＋FG＝EF．(3)如圖2，連接、MN，∵AB=10，∠AMB=90°，AN=BN，∴AM=BM=，,∵B與關(guān)于PM對(duì)稱，∴，∴，∴當(dāng)在NM的延長(zhǎng)線上時(shí)，的值最大，如圖3，

∵∠BMN=45°，∴，∴，∴∠AM