【數(shù)學(xué)】2024年高考第二次模擬考試（新九省高考專用02）（解析版）

2024年高考第二次模擬考試（新九省高考專用02）數(shù)學(xué)一、選擇題1.若集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得，解得或，所以或，因?yàn)椋?，對于A，因?yàn)?，所以，所以A錯誤，對于B，因?yàn)榛颍?，所以，所以B正確，對于C，因?yàn)?，所以C錯誤，對于D，因?yàn)榛颍?，因，所以，所以D錯誤，故選：B.2.已知，是關(guān)于x的方程的兩個根.若，則（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】法一：由，是關(guān)于x的方程的兩個根，得，所以，所以.法二：由，是關(guān)于x的方程的兩個根，得，所以，所以.故選：C.3.已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，點(diǎn)D在線段BC上，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)等腰△ABC在邊上的高為，因?yàn)?，所以，所?所以，所以.故選:B.4.已知向量，，則是向量，夾角為鈍角的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.必要不充分條件 D.充分不必要條件【答案】C【解析】又因?yàn)橄蛄浚瑠A角為鈍角所以滿足所以且因?yàn)橥撇怀銮?，所以充分性不成立又因?yàn)榍夷芡瞥?，所以必要性成立所以是向量，夾角為鈍角的必要不充分條件故選：C5.一般地，聲音大小用聲強(qiáng)級（單位：dB）表示,其計(jì)算公式為：，其中I為聲強(qiáng)，單位，若某種物體發(fā)出的聲強(qiáng)為，其聲強(qiáng)級約為（）（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知得().故選：A．6.“綠水青山，就是金山銀山”，隨著我國的生態(tài)環(huán)境越來越好，外出旅游的人越來越多.現(xiàn)有兩位游客慕名來江蘇旅游，他們分別從“太湖黿頭渚、蘇州拙政園、鎮(zhèn)江金山寺、常州恐龍園、南京夫子廟、揚(yáng)州瘦西湖”這6個景點(diǎn)中隨機(jī)選擇1個景點(diǎn)游玩.記事件A為“兩位游客中至少有一人選擇太湖黿頭渚”，事件B為“兩位游客選擇的景點(diǎn)不同”，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可得，,所以.故選D.7.已知函數(shù)，若函數(shù)在上恰有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，則，解得或，即或，因函數(shù)在上恰有3個零點(diǎn)，所以，第一個不等式組解得，第二個不等式組解得所以所求取值范圍為.故選：D.8.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與曲線的左右兩支分別交于點(diǎn)，且，則曲線C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，設(shè)，因?yàn)?所以，由雙曲線的定義得：，所以，，，，，所以，在中，，在中，因?yàn)?，所以，即，所以故選：B二、選擇題9.為慶祝江西籍航天員鄧清明順利從太空返航，鄧清明家鄉(xiāng)的某所中學(xué)舉辦了一場“我愛星辰大海”航天知識競賽，滿分100分，該校高一（1）班代表隊(duì)6位參賽學(xué)生的成績（單位：分）分別為：84，100，91，95，95，98，則關(guān)于這6位參賽學(xué)生的成績.下列說法正確的是（）A．眾數(shù)為95 B．中位數(shù)為93C．平均成績超過93分 D．第分位數(shù)是91【答案】ACD【解析】將成績按從小到大的順序排序?yàn)椋海瑢τ贏，95出現(xiàn)兩次，其他數(shù)據(jù)只出現(xiàn)一次，所以眾數(shù)為95，故A正確；對于B，中位數(shù)為第3,4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，為，故B錯誤；對于C，平均數(shù)為，故C正確；對于D，，所以第分位數(shù)是第二個數(shù)，為91，故D正確.故選：ACD.10.數(shù)列的通項(xiàng)為，它的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，則下列說法正確的是（）A.數(shù)列是遞減數(shù)列 B.當(dāng)或者時，有最大值C.當(dāng)或者時，有最大值 D.和都沒有最小值【答案】ABC【解析】因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)為，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，因?yàn)楣?，所以?shù)列是遞減數(shù)列，故選項(xiàng)正確；因?yàn)?，?dāng)時，；當(dāng)時，，因?yàn)?，所以?dāng)或者時，有最大值，故選項(xiàng)正確；由可知：，，，所以當(dāng)或者時，有最大值，故選項(xiàng)正確；根據(jù)數(shù)列前30項(xiàng)為正數(shù)，從第31項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)可知：無最小值，因?yàn)?，?dāng)時，，但零乘任何數(shù)仍得零，所以有最小值，故選項(xiàng)錯誤，故選：.11.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上且在軸上方，點(diǎn)，，若，則（）A.拋物線的方程為B.點(diǎn)到軸的距離為8C.直線與拋物線相切D.三點(diǎn)在同一條直線上【答案】ACD【解析】拋物線的焦點(diǎn)，由，有，解得，所以拋物線的方程為，A選項(xiàng)正確；，點(diǎn)在拋物線上且在軸上方，到焦點(diǎn)距離為8，到準(zhǔn)線距離也為8，所以點(diǎn)到軸的距離為6，B選項(xiàng)錯誤；點(diǎn)在拋物線上且在軸上方，到軸的距離為6，有點(diǎn)橫坐標(biāo)為6，代入拋物線方程，可得，則直線的方程為，由消去得，，所以直線與拋物線相切，C選項(xiàng)正確；由，，，得，則三點(diǎn)在同一條直線上，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.三、填空題12.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則__________；若P是圓C上的一點(diǎn)，則面積的最大值是__________．【答案】【解析】由題意可知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，則圓心到直線的距離，故；因?yàn)槭菆A上的一點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線距離的最大值為，所以面積的最大值是．故答案為：；．13.《九章算術(shù)》是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，全書總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就，內(nèi)容十分豐富，在數(shù)學(xué)史上有其獨(dú)到的成就．在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．如圖，幾何體P－ABCD為一個陽馬，其中平面ABCD，若，，，且PD＝AD＝2AB＝4，則幾何體EFGABCD的外接球表面積為______．【答案】【解析】設(shè)，連接.依題意，四邊形是矩形，所以，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，由于，平面，所以面，由于平面，所以.同理可證得，由于，所以都是以為斜邊的直角三角形，所以幾何體外接球球心是，且半徑，所以外接球的表面積為.故答案為：14.已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為，且，則面積的最大值是________；若分別為的內(nèi)切圓和外接圓半徑，則的范圍為_________________．【答案】.【解析】因在三角形中，則由三角形三邊關(guān)系可得，又利用余弦定理有：，又，則.得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.則面積的最大值是；對于第二空，因，則，又，則，因，則.令，其中，因，則在上單調(diào)遞增，故，得.故答案為：；.四、解答題15．如圖，三棱柱的側(cè)棱長為，底面是邊長為2的等邊三角形，分別是的中點(diǎn)，．（1）求證：側(cè)面是矩形；（2）若，求直線與平面所成角的余弦值．（1）證明：由題意是的中點(diǎn)，連接，由已知為等邊三角形，所以．由已知,平面,所以平面又平面ADE，故，因?yàn)?，所以，又?cè)面為平行四邊形，所以側(cè)面是矩形（2）解：取中點(diǎn)O，連接，由已知得，底面是邊長為2的等邊三角形，則，因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以，是等邊三角形．故，由（1）知平面，平面,所以是，平面,所以⊥平面．以O(shè)為原點(diǎn)，過點(diǎn)O作的平行線作為x軸，以所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如上圖，故，所以，設(shè)平面的法向量為，則，故，取，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，故，所以直線與平面所成角的余弦值為.16．已知，為橢圓：的左、右焦點(diǎn).點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)取最大值時，.（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)為直線上一點(diǎn)（且不在軸上），過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，連接交軸于點(diǎn).設(shè)，的面積分別為，，求的最大值.解：（1）依題意有當(dāng)為橢圓短軸端點(diǎn)時最大，此時，則為正三角形，則且，又，，，故橢圓方程為.（2）設(shè)，，，若，則切線方程為，若，則在處的切線的斜率必定存在，設(shè)該切線的方程為，由可得，整理得，故，整理得到：，故，故切線方程為：，故：，綜上，：，同理：因，都過點(diǎn)，則，則方程為，即過定點(diǎn).故設(shè)方程為，，聯(lián)立，，，又直線方程為：，令得，當(dāng)且僅當(dāng)即，時取等號故最大值為.17．現(xiàn)有一種射擊訓(xùn)練，每次訓(xùn)練都是由高射炮向目標(biāo)飛行物連續(xù)發(fā)射三發(fā)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物與否相互獨(dú)立．已知射擊訓(xùn)練有A，B兩種型號的炮彈，對于A型號炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物的概率均為p（），且擊中一彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為0.6，擊中兩彈目標(biāo)飛行物必墜段；對子B型號炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物的概率均為q（），且擊中一彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為0.4，擊中兩彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為0.8，擊中三彈目標(biāo)飛行物必墜毀．（1）在一次訓(xùn)練中，使用B型號炮彈，求q滿足什么條件時，才能使得至少有一發(fā)炮彈命中目標(biāo)飛行物的概率不低于；（2）若，試判斷在一次訓(xùn)練中選用A型號炮彈還是B型號炮彈使得目標(biāo)飛行物墜毀的概率更大？并說明理由．解：（1）因?yàn)槊看斡?xùn)練都是由高射炮向目標(biāo)飛行物連續(xù)發(fā)射三發(fā)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物與否相互獨(dú)立，所以在一次訓(xùn)練中，連發(fā)三發(fā)B型號炮彈，用表示命中目標(biāo)飛行物的炮彈數(shù)，則（服從二項(xiàng)分布），則，即，則，即，則，又，故，所以當(dāng)時，才能使得至少有一發(fā)炮彈命中目標(biāo)飛行物的概率不低于.（2）在一次訓(xùn)練中，連發(fā)三發(fā)A型號炮彈，用表示命中目標(biāo)飛行物的炮彈數(shù)，則（服從二項(xiàng)分布），記事件為“使用A型號炮彈使得目標(biāo)飛行物墜毀”，事件為“使用B型號炮彈使得目標(biāo)飛行物墜毀”，則，，因?yàn)?，所以，則，令，則，令，即，則，得，又，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，則，故，即，所以使用B型號炮彈使得目標(biāo)飛行物墜毀的概率更大.18．已知函數(shù).（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）求證：.（1）解：因?yàn)?，則，即，反之當(dāng)時，，令，則，設(shè)，由于在單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，，即，當(dāng)時，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，即，所以.（2）證明：由（1）可知：①下面證明當(dāng)時，②等價(jià)于，設(shè)，當(dāng)時，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,所以，所以②式成立，由①?②可得：，當(dāng)時取到“”，取有，，所以，不等式成立.19．約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)除以整數(shù)除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱為的倍數(shù)，稱為的約數(shù).設(shè)正整數(shù)共有個正約數(shù)，即為.（1）當(dāng)時，若正整數(shù)的個正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請寫出一個的值；（2）當(dāng)時，若構(gòu)成等比數(shù)列，求正整數(shù)；（3）記，求證：.（1）解：當(dāng)時正整數(shù)的4個正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，比