河南省洛陽強基聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

洛陽強基聯(lián)盟5月聯(lián)考高一數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教版必修第二冊第六章~第十章10.1.3.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)z滿足z（1＋i）＝2（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運算，求得，再求其對應(yīng)點即可判斷.【詳解】∵，∴，∴在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于第四象限．故選：D．2.在某中學(xué)高一年級的300名學(xué)生中，男生有120名，女生有180名.學(xué)校想了解學(xué)生對選修課程的看法，以便開設(shè)有關(guān)課程，現(xiàn)準備從高一學(xué)生中按性別用分層隨機抽樣的方法選取60人，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)為（）A.24 B.36 C.40 D.48【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的定義，計算男女比例為，再計算出應(yīng)抽取的女生人數(shù)即可.【詳解】由題意得，男、女生的比例為,故用分層隨機抽樣的方法選取60人,則應(yīng)抽取的女生人數(shù)為.故選：B.3.（理科）在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱BC和棱中點，則異面直線AC和EF所成的角為（）A.90° B.60° C.45° D.30°【答案】B【解析】【分析】E，F(xiàn)分別為棱BC和棱的中點，則，為異面直線AC和EF所成的角或其補角，在三角形中求解即可．【詳解】如圖，連接，因為E，F(xiàn)分別為棱BC和棱的中點，∴，又正方體中，∴，∴為異面直線AC和EF所成的角或其補角，而是正三角形，即，所以異面直線AC和EF所成的角是．故選：B.【點睛】本題考查異面直線所成的角，解題關(guān)鍵是作出異面直線所成的角．4.“雙減”政策實施后，學(xué)生的課外閱讀增多，某班50名學(xué)生到圖書館借書數(shù)量統(tǒng)計如下表.借書數(shù)量（單位：本）5678910頻數(shù)（單位：人）58131194則這50名學(xué)生的借書數(shù)量的第25百分位數(shù)是（）A.5 B.5.5 C.6 D.6.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計算即可.【詳解】由,故第25百分位數(shù)在借書數(shù)量從小到大排序后的第13人,又，故第25百分位數(shù)是6.故選：C.5.在中，，，若平面，，則點到的距離是（）A. B.5 C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中點，連接、，即可得到，再由線面垂直，得到，從而得到面，即可得到，再由勾股定理求出即可；【詳解】解：如圖，取的中點，連接、，因為，所以，又平面，平面，所以，，面，所以面，面，所以，在中，，，所以，在中，，，所以故選：B6.設(shè)l，m是不同的直線，，是不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，，則【答案】B【解析】【分析】對于A，C與D，可通過舉反例的方式說明其錯誤性，B選項可以直接證明其正確性.【詳解】對于A，若，，，此時與可能相交，如下圖所示：對于C與D，若，，，則與均可能發(fā)生，如下圖所示：對于B，若，，則，又因為，故.故選：B.7.紫金山位于江蘇省南京市玄武區(qū)境內(nèi)，是江南四大名山之一，三峰相連形如巨龍，山、水、城渾然一體，古有“鐘山龍蟠，石城虎踞”之稱.建筑師在高度接近200米的峰頂測得一建筑物頂部的仰角為，底部的俯角為，那么該建筑的高度接近（）A.米 B.米C.米 D.米【答案】A【解析】【分析】作出示意圖,過點作，利用三角函數(shù)即可求出，則得到長.【詳解】作出示意圖,過點作,其中,可得，在直角中,因為,則,在直角中,因為,可得,則米,所以建筑的高度接近米.故選：A.8.已知是單位向量，且的夾角為，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】，結(jié)合題意得，結(jié)合即得解.【詳解】，因為，所以，又，所以．故選：B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在中，角，，所對的邊分別為，，，且，.若有唯一解，則的值可以是（）A.1 B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)正弦定理三角形有唯一解，得到或，即可求出參數(shù)的取值范圍，從而得解；【詳解】解：因為，，因為有唯一解，所以或，即，故選：BD10.某學(xué)校為了了解本校學(xué)生的上學(xué)方式，在全校范圍內(nèi)隨機抽查部分學(xué)生，了解到上學(xué)方式主要有：結(jié)伴步行，自行乘車，家人接送，其他方式.并將收集的數(shù)據(jù)整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是（）A.扇形統(tǒng)計圖中D的占比最小 B.條形統(tǒng)計圖中A和C一樣高C.無法計算扇形統(tǒng)計圖中A的占比 D.估計該校一半的學(xué)生選擇結(jié)伴步行或家人接送【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)方式上學(xué)的學(xué)生占比即可求出總?cè)藬?shù)，則得到方式出行的人數(shù)，選項一一分析即可.【詳解】由條形統(tǒng)計圖知，自行乘車上學(xué)的有42人,家人接送上學(xué)的有30人,其他方式上學(xué)的有18人,采用三種方式上學(xué)的共90人,由扇形統(tǒng)計圖知,其他方式上學(xué)的學(xué)生占,所以人，則結(jié)伴步行上學(xué)的有人，故條形圖中一樣高，故B正確，扇形圖中類占比與一樣都，和共占,故C錯誤，D正確.因為其他方式上學(xué)的人數(shù)最少，故扇形統(tǒng)計圖中D的的占比最小，故A正確.故選：ABD11.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋中任取2個小球，則下列結(jié)論正確的是（）A.“至少有一個紅球”和“至少有一個黑球”是互斥事件B.“恰有一個黑球”和“都是黑球”是互斥事件C.“恰有一個紅球”和“都是紅球”是對立事件D.“至少一個黑球”和“都是紅球”是對立事件【答案】BD【解析】【分析】利用對立事件、互斥事件的定義直接求解．【詳解】解：從裝有2個紅球和2個黑球的口袋中任取2個小球，可能結(jié)果有：二個紅球，一個紅球一個黑球，二個黑球；對于，“至少一個紅球”和“至少有一個黑球”能同時發(fā)生，不是互斥事件，故錯誤；對于，“恰有一個黑球”和“都是黑球”不能同時發(fā)生，是互斥事件，故正確；對于，“恰有一個紅球”和“都是紅球”不能同時發(fā)生，但是可以同時都不發(fā)生，是互斥事件，但不是對立事件，故錯誤；對于，“至少一個黑球”和“都是紅球”不能同時發(fā)生，但是一定有一個要發(fā)生，是對立事件，故正確．故選：．12.如圖所示，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，，為線段上的點（不包括端點），則（）A. B.平面C.二面角的大小為定值 D.的最小值為【答案】CD【解析】【分析】對于A，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可得出；對于B，利用線面平行的性質(zhì)定理即可得出；對于C，由二面角的定義即可判斷；對于D，將側(cè)面和展開在一個平面內(nèi)，結(jié)合余弦定理即可得出.【詳解】對于A，平面，平面，，假設(shè)，又平面PAD，平面，又平面，，而四邊形為正方形，與矛盾，所以假設(shè)錯誤，故不正確，故A不正確；對于B，設(shè)，連接，假設(shè)平面，又平面平面，則，在中，因為為的中點，則必為的中點，這與為線段上的動點矛盾，所以假設(shè)錯誤，故B不正確；對于C，為線段上的動點，二面角的大小即為二面角的大小，因為二面角的大小為定值，所以二面角的大小為定值，故C正確；對于D，平面，平面，，為等腰直角三角形，平面，平面，，即，又四邊形為正方形，，平面PAD，平面，平面，，為直角三角形，如圖，將側(cè)面和展開在一個平面內(nèi)，，連接，當處在與的交點處時，取得最小值，此時，在中，由余弦定理，得，所以的最小值為，故D正確.故選：CD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在中，，若，則______.【答案】##1.5【解析】【分析】根據(jù)共線向量關(guān)系即可得到，則得到值.【詳解】因為在中,，則，所以，即.故答案為：.14.某廠有A，B兩條生產(chǎn)線制造同一型號可充電電池.現(xiàn)采用分層隨機抽樣，從某天兩條生產(chǎn)線上的成品中隨機抽取20件成品，測試產(chǎn)品可充電次數(shù)的均值及方差，結(jié)果如下表：項目抽取成品數(shù)樣本均值樣本方差A(yù)生產(chǎn)線產(chǎn)品82101B生產(chǎn)線產(chǎn)品122001則20個產(chǎn)品組成的總樣本的方差為______.【答案】25【解析】【分析】首先計算出樣本平均數(shù)，再利用方差公式即可.【詳解】依題意得,總樣本平均數(shù)，故答案為：25.15.在某次國際圍棋比賽中，中國派出包含甲、乙在內(nèi)的5位棋手參加比賽，他們分成兩個小組，其中一個小組有3位，另外一個小組有2位，則甲和乙分在不同小組的概率為______.【答案】##【解析】【分析】寫出所有的樣本空間以及滿足題意得情況數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計算公式即可得到答案.【詳解】這5名棋手分別記為:甲,乙,,,,則樣本空間(甲乙，)，(甲乙，)，(甲乙，)，(甲，乙),(甲，乙),(甲，乙),(乙，甲),(乙，甲),(乙，甲),(，甲乙)共含有10個樣本點，設(shè)事件表示“甲和乙分在不同小組”,則,所以甲和乙分在不同小組的概率為.故答案為：.16.已知等腰直角三角形ABC的三個頂點都在球O的球面上，，若球O上的點到平面ABC的最大距離為4，則球O的體積為______.【答案】【解析】【分析】過的中點作平面的垂線，設(shè)，球的半徑為，根據(jù)題意得，根據(jù)列出方程即可解出半徑，再根據(jù)球的體積即可求出答案.【詳解】因為是等腰直角三角形且,所以且.如圖，過的中點作平面的垂線，則球心在直線上.設(shè)，球的半徑為，不妨設(shè)點是球上的一點,則球上的點到平面的最大距離為.所以.由勾股定理得,即，得+8，解得.所以球的體積為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵作出球心位置，即：過的中點作平面的垂線，分析找到球心位于直線上，設(shè)，球的半徑為，則球O上的點到平面ABC的最大距離為，再利用勾股定理得到方程即可解出.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，．（1）求向量；（2）若向量與互相垂直，求k的值．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標表示即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及向量的模的坐標表示，利用兩向量垂直的條件及數(shù)量積的運算即可求解.【小問1詳解】因為，，所以.【小問2詳解】因，，所以，又因為向量與互相垂直，且，所以，解得，所以的值為．18.已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且．（1）求A；（2）若，且的面積為，求b，c．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）應(yīng)用正弦定理結(jié)合兩角和差公式計算求解即可；（2）應(yīng)用余弦定理及三角形面積公式，列方程求邊即得.【小問1詳解】在中，由正弦定理及得，又，代入上式，得，∵，∴，∴，∵，∴．【小問2詳解】由（1）知，又，∴由余弦定理得，即，①又∵面積為，∴有，即，∴，②解由①②組成的方程組得，．19.學(xué)校對甲、乙兩人的學(xué)習(xí)態(tài)度、考試成績及活動參與三個方面做了一個初步的評估，成績（單位：分）如下表所示.學(xué)習(xí)態(tài)度考試成績活動參與甲989695乙909998（1）如果以學(xué)習(xí)態(tài)度、考試成績及活動參與三個方面的平均分來計算他們的成績，并以此作為評優(yōu)的依據(jù)，你認為誰會被評為優(yōu)秀？（2）如果以20%，60%，20%依次作為三項成績的比例來計算他們的成績，結(jié)果又會如何？【答案】（1）甲被評為優(yōu)秀.（2）乙被評為優(yōu)秀.【解析】【分析】（1）直接計算甲乙各自的平均分，再比較大小即可；（2）按比例計算成績，再比較大小即可.【小問1詳解】甲的平均分:(分).乙的平均分:(分).甲的平均分較高,甲被評為優(yōu)秀.【小問2詳解】甲的平均分:(分).乙的平均分:(分).乙的平均分較高,乙被評為優(yōu)秀.20.如圖，三角形PCD所在的平面與等腰梯形ABCD所在的平面垂直，AB＝AD＝CD，AB∥CD，CP⊥CD，M為PD的中點．（1）求證：AM∥平面PBC；（2）求證：BD⊥平面PBC．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）取的中點，連，，可證得四邊形為平行四邊形，于是，然后根據(jù)線面平行的判定定理可得結(jié)論成立．（2）在等腰中梯形中，取的中點，連，，證得四邊形為菱形，進而得．同理四邊形為菱形，可得．再由平面平面得到平面，于是得，最后根據(jù)線面垂直的判定可得平面．【詳解】證明：（1）如圖，取的中點，連，，∵為的中點，為的中點，∴，．又，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴．又平面，平面，∴平面（2）如圖，在等腰中梯形中，取的中點，連，．∵，，∴，，∴四邊形為平行四邊形．又，∴四邊形為菱形，∴．同理，四邊形為菱形，∴．∵，∴．∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，又平面，∴．∵，，∴平面．【點睛】本題考查線面關(guān)系的證明，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所證的結(jié)論并結(jié)合三種平行（垂直）間的關(guān)系進行合理轉(zhuǎn)化，以得到證題所需的條件，考查轉(zhuǎn)化能力的運用和對基本判定方法、性質(zhì)的掌握程度，屬于基礎(chǔ)題．21.《青年大學(xué)習(xí)》是共青團中央組織的，以“學(xué)習(xí)新思想，爭做新青年”為主題的黨史團課學(xué)習(xí)行動，2023年已開展到第7期.某市團市委為了解全市青年每周利用“青年大學(xué)習(xí)”了解國家動態(tài)的情況，從全市隨機抽取1000名青年進行調(diào)查，統(tǒng)計他們每周利用“青年大學(xué)習(xí)”進行學(xué)習(xí)的時長（單位：分鐘），根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖如圖所示：（1）求被抽取的青年每周利用“青年大學(xué)習(xí)”進行學(xué)習(xí)的時長的中位數(shù)；（2）市宣傳部門擬從被抽取青年中選出部分青年參加座談會.辦法是：采用分層抽樣的方法從學(xué)習(xí)時長在和的青年中共抽取5人，且從參會的5人中又隨機抽取2人發(fā)言，求學(xué)習(xí)時長在中至少有1人被抽中發(fā)言的概