第七章-卡方檢驗

第七章次數(shù)資料分析

——

2檢驗

在生物試驗中常常有一類資料難以用數(shù)量水平表示，例如前面介紹的分類資料，如：動物的公母，毛色的黑、白、花，臨床上的陰性和陽性，這類資料不好測量，只能統(tǒng)計各種類別出現(xiàn)的次數(shù)，故又稱做次數(shù)資料。這種資料的處理主要應(yīng)用

2檢驗，當(dāng)然如將其轉(zhuǎn)化為相對數(shù)，則可用t檢驗或u檢驗進(jìn)行分析。

第一節(jié)

2統(tǒng)計量與

2分布一、

2統(tǒng)計量的意義

為了便于理解，現(xiàn)結(jié)合一實例說明

2(讀作卡方)統(tǒng)計量的意義。根據(jù)遺傳學(xué)理論，動物的性別比例是1:1。統(tǒng)計某羊場一年所產(chǎn)的876只羔羊中，有公羔428只，母羔448只。按1:1的性別比例計算，公、母羔均應(yīng)為438只。以A表示實際觀察次數(shù)，T表示理論次數(shù)，可將上述情況列成表7-1。表7-1羔羊性別實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)性別實際觀測次數(shù)A理論次數(shù)TA-T(A-T)2/T公428(A1)438(T1)-100.2283母448(A2)438(T2)100.2283合計87687600.4566從表7-1看到，實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)存在一定的差異，這里公、母各相差10只。這個差異是屬于抽樣誤差(把對該羊場一年所生羔羊的性別統(tǒng)計當(dāng)作是一次抽樣調(diào)查)、還是羔羊性別比例發(fā)生了實質(zhì)性的變化?

要回答這個問題，首先需要確定一個統(tǒng)計量用以表示實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)偏離的程度；然后判斷這一偏離程度是否屬于抽樣誤差，即進(jìn)行顯著性檢驗。

為了度量實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)偏離的程度，最簡單的辦法是求出實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)的差數(shù)。從表7-1看出：A1-T1=-10，A2-T2=10，由于這兩個差數(shù)之和為0，顯然不能用這兩個差數(shù)之和來表示實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)的偏離程度。為了避免正、負(fù)抵消，可將兩個差數(shù)A1-T1、A2-T2

平方后再相加，即計算∑(A-T)2，其值越大，實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)相差亦越大，反之則越小。但利用∑(A-T)2表示實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)的偏離程度尚有不足。例如某一組實際觀察次數(shù)為505、理論次數(shù)為500，相差5；而另一組實際觀察次數(shù)為26、理論次數(shù)為21，相差亦為5。顯然這兩組實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)的偏離程度是不同的。因為前者是相對于理論次數(shù)500相差5，后者是相對于理論次數(shù)21相差5。為了彌補這一不足，可先將各差數(shù)平方除以相應(yīng)的理論次數(shù)后再相加，并記之為

2，即

也就是說

2是度量實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)偏離程度的一個統(tǒng)計量，

2越小，表明實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)越接近；

2=0，表示兩者完全吻合；

2越大，表示兩者相差越大。對于表7-1的資料，可計算得表明實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)是比較接近的。二、

2分布上面在屬于離散型隨機變量的次數(shù)資料的基礎(chǔ)上引入了統(tǒng)計量

2，它近似地服從統(tǒng)計學(xué)中一種連續(xù)型隨機變量的概率分布

2分布。下面對統(tǒng)計學(xué)中的

2分布作一簡略介紹。

三、

2分布的連續(xù)性矯正由(7-1)式計算的

2只是近似地服從連續(xù)型隨機變量

2分布。在對次數(shù)資料進(jìn)行

2檢驗利用連續(xù)型隨機變量

2分布計算概率時，常常偏低，特別是當(dāng)自由度為1時偏差較大。Yates(1934)提出了一個矯正公式，矯正后的

2值記為：（7-4）

當(dāng)自由度大于1時，(7-1)式的

2分布與連續(xù)型隨機變量

2分布相近似，這時，可不作連續(xù)性矯正，但要求各組內(nèi)的理論次數(shù)不小于5。若某組的理論次數(shù)小于5，則應(yīng)把它與其相鄰的一組或幾組合并，直到理論次數(shù)大于5為止。四、

2檢驗的一般步驟1.提出無效假設(shè)H0和備擇假設(shè)HAH0：樣本所屬總體屬性分配符合已知理論屬性分配（適合性檢驗）；因子之間相互獨立（獨立性檢驗）。

HA：樣本所屬總體屬性分配不符合已知理論屬性分配（適合性檢驗）；因子之間是相互關(guān)聯(lián)的（獨立性檢驗）。2.計算理論次數(shù)E

在無效假設(shè)成立的條件下，按已知理論屬性分配計算各屬性的理論次數(shù)（適合性檢驗）；或按比例推算出理論次數(shù)（獨立性檢驗）。3.計算統(tǒng)計量

2值先確定自由度df:適合性檢驗df=k-a-1，k為屬性類別數(shù)，a為計算理論分布時所用參數(shù)的個數(shù)。在R×C列聯(lián)表的獨立性檢驗中，df=（R-1）×（C-1），R為行數(shù)，C為列數(shù)。然后根據(jù)（6-1）或（6-2）式計算

2

（或）。

4．統(tǒng)計推斷根據(jù)df查

2值表（附表3）找出臨界值

20.05和

20.01，將計算的

2

（或）與之比較:（1）

2

（或）＜

20.05

，p＞0.05，接受H0，表明觀測次數(shù)與理論次數(shù)差異不顯著，可以認(rèn)為觀測次數(shù)所屬總體屬性分配符合已知屬性分配的理論值（適合性檢驗）；表明兩因子相互獨立（獨立性檢驗）；（2）

20.05≤

2

（或）＜

20.01

，0.01＜p≤0.05，否定H0，表明觀測次數(shù)與理論次數(shù)差異顯著，在α=0.05水平上，樣本所屬總體的屬性分配不符合已知屬性分配的理論（適合性檢驗）；兩因子顯著相關(guān)（獨立性檢驗）；（3）

2

（或）≥

20.01

，p≤0.01，否定H0，表明觀測次數(shù)與理論次數(shù)差異極顯著，樣本所屬總體的屬性分配不符合已知屬性類別分配的理論（適合性檢驗）；兩因子極顯著相關(guān)（獨立性檢驗）。

第二節(jié)適合性檢驗一、適合性檢驗的意義

判斷實際觀察的屬性類別分配是否符合已知屬性類別分配理論或?qū)W說的假設(shè)檢驗稱為適合性檢驗。如遺傳學(xué)中常用來檢驗實際結(jié)果是否與遺傳規(guī)律相符合，樣本的分布與總體理論分布是否相符合等，其理論次數(shù)是以某種概率求得。在適合性檢驗中，在無效假設(shè)成立的條件下，按已知屬性類別分配的理論或?qū)W說計算各屬性類別的理論次數(shù)。因所計算得的各個屬性類別理論次數(shù)的總和應(yīng)等于各個屬性類別實際觀察次數(shù)的總和，即獨立的理論次數(shù)的個數(shù)等于屬性類別分類數(shù)減1。也就是說，適合性檢驗的自由度等于屬性類別分類數(shù)減1。若屬性類別分類數(shù)為k，則適合性檢驗的自由度為k-1

。

二、適合性檢驗的方法

下面結(jié)合實例說明適合性檢驗方法

【例7.1】在進(jìn)行山羊群體遺傳檢測時，觀察了260只白色羊與黑色羊雜交的子二代毛色，其中181只為白色，79只為黑色，問此毛色的比率是否符合孟德爾遺傳分離定律的3∶1比例?

檢驗步驟如下：

1：提出無效假設(shè)與備擇假設(shè)

H0：子二代分離現(xiàn)象符合3∶1的理論比例。

HA：子二代分離現(xiàn)象不符合3∶1的理論比例。

2：計算理論次數(shù)根據(jù)理論比率3∶1求理論次數(shù)：白色理論次數(shù)：T1=260×3/4=195

黑色理論次數(shù)：T2=260×1/4=65或T2=260-T1=260-195=653：計算統(tǒng)計量

2值由于本例是涉及到兩組毛色（白色與黑色），屬性類別分類數(shù)k=2，自由度df=k-1=2-1=1，須使用（7—4）式來計算。性狀實際觀測次數(shù)(A)理論次數(shù)(T)A-T白色181195-140.935黑色7965142.804總合26026003.7394．統(tǒng)計推斷當(dāng)自由度df=1時，查得

20.05（1）

=3.84，計算的

2c<

20.05（1），P>0.05，不能否定H0，表明實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異不顯著，可以認(rèn)為白色羊與黑色羊的比率符合孟德爾遺傳分離定律3∶1的理論比例。

【例7.2】在研究牛的毛色和角的有無兩對相對性狀分離現(xiàn)象時，用黑色無角牛和紅色有角牛雜交，子二代出現(xiàn)黑色無角牛192頭，黑色有角牛78頭，紅色無角牛72頭，紅色有角牛18頭，共360頭。試問這兩對性狀是否符合孟德爾遺傳規(guī)律中9∶3∶3∶1的遺傳比例？檢驗步驟：

1：提出無效假設(shè)與備擇假設(shè)

H0：實際觀察次數(shù)之比符合9∶3∶3∶1的理論比例；

HA：實際觀察次數(shù)之比不符合9∶3∶3∶1的理論比例。

2：計算理論次數(shù)依據(jù)各理論比例9:3:3:1計算理論次數(shù)：黑色無角牛的理論次數(shù)T1：360×9/16=202.5；黑色有角牛的理論次數(shù)T2：360×3/16=67.5；紅色無角牛的理論次數(shù)T3：360×3/16=67.5；紅色有角牛的理論次數(shù)T4：360×1/16=22.5；或T4=360-202.5-67.5-67.5=22.5。3：計算統(tǒng)計量

2值由于本例的屬性類別分類數(shù)k=4：自由度df=k-1=4-1=3>1，故利用（7—1）式計算

2

。類型實際觀察次數(shù)（Ａ）理論次數(shù)（Ｔ）Ａ-Ｔ（Ａ-Ｔ）2／Ｔ黑色無角牛192202.5-10.50.5444黑色有角牛7867.510.51.6333紅色無角牛7267.54.51.6333紅色有角牛1822.5-4.50.9000總計36036004.711

=0.5444+1.6333+1.6333+0.9=4.7114．統(tǒng)計推斷當(dāng)df=3時，

20.05(3)=7.81，因

2<

2005(3)，P>0.05，不能否定H0，表明實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異不顯著，可以認(rèn)為毛色與角的有無兩對性狀雜交二代的分離現(xiàn)象符合孟德爾遺傳規(guī)律中9∶3∶3∶1的遺傳比例。第三節(jié)獨立性檢驗一、獨立性檢驗的意義對次數(shù)資料，除進(jìn)行適合性檢驗外，有時需要分析兩類因子是相互獨立還是彼此相關(guān)。如研究兩類藥物對家畜某種疾病治療效果的好壞，先將病畜分為兩組，一組用第一種藥物治療，另一組用第二種藥物治療，然后統(tǒng)計每種藥物的治愈頭數(shù)和未治愈頭數(shù)。這時需要分析藥物種類與療效是否相關(guān)，若兩者彼此相關(guān)，表明療效因藥物不同而異，即兩種藥物療效不相同；若兩者相互獨立，表明兩種藥物療效相同。這種根據(jù)次數(shù)資料判斷兩類因子彼此相關(guān)或相互獨立的假設(shè)檢驗就是獨立性檢驗。獨立性檢驗實際上是基于次數(shù)資料對子因子間相關(guān)性的研究。獨立性檢驗與適合性檢驗是兩種不同的檢驗方法，除了研究目的不同外，還有以下區(qū)別：（一）獨立性檢驗的次數(shù)資料是按兩因子屬性類別進(jìn)行歸組。根據(jù)兩因子屬性類別數(shù)的不同而構(gòu)成2×2、2×c、r×c列聯(lián)表（r為行因子的屬性類別數(shù)，c為列因子的屬性類別數(shù)）。而適合性檢驗只按某一因子的屬性類別將如性別、表現(xiàn)型等次數(shù)資料歸組。（二）適合性檢驗按已知的屬性分類理論或?qū)W說計算理論次數(shù)。獨立性檢驗在計算理論次數(shù)時沒有現(xiàn)成的理論或?qū)W說可資利用，理論次數(shù)是在兩因子相互獨立的假設(shè)下進(jìn)行計算。（三）在適合性檢驗中確定自由度時，只有一個約束條件：各理論次數(shù)之和等于各實際次數(shù)之和，自由度為屬性類別數(shù)減1。而在r×c列聯(lián)表的獨立性檢驗中，共有rc個理論次數(shù)，但受到以下條件的約束：

1、rc個理論次數(shù)的總和等于rc個實際次數(shù)的總和；

2、r個橫行中的每一個橫行理論次數(shù)總和等于該行實際次數(shù)的總和。但由于r個橫行實際次數(shù)之和的總和應(yīng)等于rc

個實際次數(shù)之和，因而獨立的行約束條件只有r-1個；

3、類似地，獨立的列約束條件有c-1個。因而在進(jìn)行獨立性檢驗時，自由度為rc-1-(r-1)-(c-1)=(r-1)(c-1)，即等于（橫行屬性類別數(shù)-1）×（直列屬性類別數(shù)-1）。表７-１０２×２列聯(lián)表的一般形式12行總合１２列總合其中Aij為實際觀察次數(shù)，Tij為理論次數(shù)?！纠?.7】某豬場用80頭豬檢驗?zāi)撤N疫苗是否有預(yù)防效果。結(jié)果是注射疫苗的44頭中有12頭發(fā)病，32頭未發(fā)病；未注射的36頭中有22頭發(fā)病，14頭未發(fā)病，問該疫苗是否有預(yù)防效果？

1、先將資料整理成列聯(lián)表表7—112×2列聯(lián)表發(fā)病未發(fā)病行總和發(fā)病率注射12(18.7)32(25.3)4427.3%未注射22(15.3)14(20.7)3661.1%列總和3446802、提出無效假設(shè)與備擇假設(shè)

H0：發(fā)病與否和注射疫苗無關(guān)，即二因子相互獨立。

HA：發(fā)病與否和注射疫苗有關(guān)，即二因子彼此相關(guān)。

3、計算理論次數(shù)根據(jù)二因子相互獨立的假設(shè)，由樣本數(shù)據(jù)計算出各個理論次數(shù)。二因子相互獨立，就是說注射疫苗與否不影響發(fā)病率。也就是說注射組與未注射組的理論發(fā)病率應(yīng)當(dāng)相同，均應(yīng)等于總發(fā)病率34/80=0.425=42.5%。依此計算出各個理論次數(shù)如下：注射組的理論發(fā)病數(shù)：T11=44×34/80=18.7

注射組的理論未發(fā)病數(shù)：T12=44×46/80=25.3，或T12=44-18.7=25.3；未注射組的理論發(fā)病數(shù)：T21=36×34/80=15.3，或T21=34-18.7=15.3；未注射組的理論未發(fā)病數(shù)：T22=36×46/80=20.7，或T22=36-15.3=20.7從上述各理論次數(shù)Tij的計算可以看到，理論次數(shù)的計算利用了行、列總和，總總和，4個理論次數(shù)僅有一個是獨立的。表7-11括號內(nèi)的數(shù)據(jù)為相應(yīng)的理論次數(shù)。

4、計算值將表7-11中的實際次數(shù)、理論次數(shù)代入(7—4)式得：

5、由自由度df=1查臨界

2值，作出統(tǒng)計推斷因為

20.01（1）=6.63，而=7.944>

20.01（1），P<0.01，否定H0，接受HA，表明發(fā)病率與是否注射疫苗極顯著相關(guān)，這里表現(xiàn)為注射組發(fā)病率極顯著低于未注射組，說明該疫苗是有預(yù)防效果的。

在進(jìn)行2

2列聯(lián)表獨立性檢驗時，還可利用下述簡化公式（7-6）計算：（7—6）在（7-6）式中，不需要先計算理論次數(shù)，直接利用實際觀察次數(shù)Aij，行、列總和Ti.、T.j和總總和T..進(jìn)行計算，比利用公式（7-4）計算簡便，且舍入誤差小。對于【例7.7】，利用（7-6）式可得：所得結(jié)果與前面計算計算的相同。

（二）2×c列聯(lián)表的獨立性檢驗

2×c列聯(lián)表是行因子的屬性類別數(shù)為2，列因子的屬性類別數(shù)為c（c

3）的列聯(lián)表。其自由度df=(2-1)(c-1)=(c-1)，因為c

3，所以自由度大于2，在進(jìn)行

2檢驗時，不需作連續(xù)性矯正。2×c表的一般形式見表7—12。其中（i=1，2；j=1，2，…，c）為實際觀察次數(shù)。

表７-１2２×C列聯(lián)表的一般形式12…C行總合Ti.１A11A12…A1CT1.２A21A22…A2CT2.列總合T.jT.1T.2…T.C總總和T..【例7.8】在甲、乙兩地進(jìn)行水牛體型調(diào)查，將體型按優(yōu)、良、中、劣四個等級分類，其結(jié)果見表7—13，問兩地水牛體型構(gòu)成比是否相同。表7—13兩地水牛體型分類統(tǒng)計優(yōu)良中劣行總和Ti.甲10(13.3)10(10.0)60(53.3)10(13.4)90乙10(6.7)5(5.0)20(26.7)10(6.6)45列總和T.j20158020135這是一個2×4列聯(lián)表獨立性檢驗的問題。檢驗步驟如下：

1.提出無效假設(shè)與備擇假設(shè)

H0：水牛體型構(gòu)成比與地區(qū)無關(guān)，即兩地水牛體型構(gòu)成比相同。

HA：水牛體型構(gòu)成比與地區(qū)有關(guān)，即兩地水牛體型構(gòu)成比不同。

2.計算各個理論次數(shù)，并填在各觀察次數(shù)后的括號中計算方法與2×2表類似，即根據(jù)兩地水牛體型構(gòu)成比相同的假設(shè)計算。如優(yōu)等組中，甲地、乙地的理論次數(shù)按理論比率20/135計算；良等組中,甲地、乙地的理論次數(shù)按理論比率15/135計算；中等、劣等組中,甲地、乙地的理論次數(shù)分別按理論比率80/135和20/135計算。甲地優(yōu)等組理論次數(shù)：T11=90×20/135=13.3，乙地優(yōu)等組理論次數(shù)：T21=45×20/135=6.7，或T21=20-13.3=6.7；其余各個理論次數(shù)的計算類似。

3.計算計算

2值4.由自由度df=3查臨界

2值，作出統(tǒng)計推斷因為

20..05（3）=7.81，而

2=7.582<

20..05（3），p>0.05，不能否定H0,可以認(rèn)為甲、乙兩地水牛體型構(gòu)成比相同。在進(jìn)行2×c列聯(lián)表獨立性檢驗時，還可利用下述簡化公式（7-7）或（7-8）計算

2

：（7—7）

或（7—8）（7-7）與（7-8）式的區(qū)別在于：（7-7）式利用第一行中的實際觀察次數(shù)A1j和行總和T1.；（7-8）式利用第二行中的實際觀察次數(shù)A2j和行總和T2.，計算結(jié)果相同。對于[例7.7]利用（7-8）式計算

2值得：

（三）r×c列聯(lián)表的獨立性檢驗

r×c表是指行因子的屬性類別數(shù)為r（r>2），列因子的屬性類別數(shù)為c(c>2)的列聯(lián)表。其一般形式見表7-17表7—17r×c列聯(lián)表的一般形式12…c行總和Ti.1A11A12…A1cT1.2A21A22…A2cT2.………………rAr1Ar2…ArcTr.列總和T.jT.1T.2T.cT..其中Aij（i=1,2,…r;j=1,2,…c）為實際觀察次數(shù)。

r×c

列聯(lián)表各個理論次數(shù)的計算方法與上述（2×2）、（2×c）表適合性檢驗類似。但一般用簡化公式計算

2值，其公式為：