高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項小測24“20題、21題”理-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

專項小測(二十四)“20題、21題”時間：45分鐘滿分：24分20.(12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(acosx,x)＋b，曲線y＝f(x)在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))))處的切線方程為6x＋πy－2π＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)判斷方程f(x)＝eq\f(3,2π)－1在(0,2π]內(nèi)的解的個數(shù)，并加以證明．解：(1)直線6x＋πy－2π＝0的斜率為－eq\f(6,π)，過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，－1))，f′(x)＝eq\f(－axsinx＋cosx,x2)，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\f(－2a,π)＝－eq\f(6,π)，即a＝3， (2分)又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝b＝－1，所以f(x)＝eq\f(3cosx,x)－1. (4分)(2)方程f(x)＝eq\f(3,2π)－1在(0,2π]上有3個解． (5分)證明：令g(x)＝f(x)－eq\f(3,2π)＋1＝eq\f(3cosx,x)－eq\f(3,2π)，則g′(x)＝eq\f(－3xsinx＋cosx,x2).又geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq\f(9\r(3),π)－eq\f(3,2π)＞0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(3,2π)＜0，所以g(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上至少有一個零點(diǎn)．又g(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞減，故在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上只有一個零點(diǎn)．(7分)當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))時，cosx＜0，故g(x)＜0，所以函數(shù)g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上無零點(diǎn)； (8分)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))時，令h(x)＝xsinx＋cosx，h′(x)＝xcosx＞0，所以h(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))上單調(diào)遞增，h(2π)＞0，heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)))＜0，所以?x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，使得g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，x0))上單調(diào)遞增，在(x0,2π]上單調(diào)遞減．又g(2π)＝0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)))＜0，所以函數(shù)g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))上有2個零點(diǎn)．(10分)綜上，方程f(x)＝eq\f(3,2π)－1在(0,2π]上有3個解． (12分)21．(12分)某地區(qū)進(jìn)行疾病普查，為此要檢驗每一人的血液，如果當(dāng)?shù)赜蠳人，若逐個檢驗就需要檢驗N次，為了減少檢驗的工作量，我們把受檢驗者分組，假設(shè)每組有k個人，把這k個人的血液混合在一起檢驗，若檢驗結(jié)果為陰性，這k個人的血液全為陰性，因而這k個人只要檢驗一次就夠了，如果為陽性，為了明確這個k個人中究竟是哪幾個人為陽性，就要對這k個人再逐個進(jìn)行檢驗，這時k個人的檢驗次數(shù)為k＋1次．假設(shè)在接受檢驗的人群中，每個人的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性是獨(dú)立的，且每個人是陽性結(jié)果的概率為p.(1)為熟悉檢驗流程，先對3個人進(jìn)行逐個檢驗，若p＝0.1，求3人中恰好有1人檢測結(jié)果為陽性的概率；(2)設(shè)ξ為k個人一組混合檢驗時每個人的血需要檢驗的次數(shù)．①當(dāng)k＝5，p＝0.1時，求ξ的分布列；②運(yùn)用統(tǒng)計概率的相關(guān)知識，求當(dāng)k和p滿足什么關(guān)系時，用分組的辦法能減少檢驗次數(shù)．解：(1)對3人進(jìn)行檢驗，且檢驗結(jié)果是獨(dú)立的．設(shè)事件A∶3人中恰有1人檢測結(jié)果為陽性，則其概率P(A)＝Ceq\o\al(1,3)·0.1·0.92＝0.243. (4分)(2)①當(dāng)k＝5，p＝0.1時，則5人一組混合檢驗結(jié)果為陰性的概率為0.95，每人所檢驗的次數(shù)為eq\f(1,5)次，若混合檢驗結(jié)果為陽性，則其概率為1－0.95，則每人所檢驗的次數(shù)為eq\f(6,5)次，故ξ的分布列為ξeq\f(1,5)eq\f(6,5)P0.951－0.95 (8分)②分組時，每人檢驗次數(shù)的期望如下：Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(1,k)))＝(1－p)k，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(1,k)＋1))＝1－(1－p)k，所以E(ξ)＝eq\f(1,k)·(1－p)k＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)＋1))[1－(1－p)k]＝1－(1－p)k＋eq\f(