信號(hào)與系統(tǒng)-奧本海姆課件CH

信號(hào)與系統(tǒng)SIGNALSANDSYSTEMS第3章周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示Ⅰ.周期信號(hào)的頻域分析III.LTI系統(tǒng)的頻域分析II.傅立葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)本章主要內(nèi)容：3.0

引言Introduction

時(shí)域分析方法的基礎(chǔ)：信號(hào)在時(shí)域的分解。LTI系統(tǒng)滿(mǎn)足線(xiàn)性、時(shí)不變性。2.具有普遍性，能夠用以構(gòu)成相當(dāng)廣泛的信號(hào)。

1.本身簡(jiǎn)單，且LTI系統(tǒng)對(duì)它的響應(yīng)能簡(jiǎn)便得到。

從分解信號(hào)的角度出發(fā)，基本信號(hào)單元必須滿(mǎn)足兩個(gè)要求：1768年生于法國(guó)1807年提出“任何周期信號(hào)都可以用正弦函數(shù)的級(jí)數(shù)來(lái)表示”拉格朗日反對(duì)發(fā)表1822年首次發(fā)表“熱的分析理論”1829年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件傅里葉（1768—1830）3.1歷史的回顧（AHistoricalPerspective）傅里葉的兩個(gè)最重要的貢獻(xiàn)——“周期信號(hào)都可以表示為成諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和”——傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)“非周期信號(hào)都可以用正弦信號(hào)的加權(quán)積分來(lái)表示”——傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)由時(shí)域分析方法有，3.2LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)

考查L(zhǎng)TI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)和的響應(yīng)

可見(jiàn)LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)是很容易求得的。這說(shuō)明和符合對(duì)單元信號(hào)的第一項(xiàng)要求。特征函數(shù)(Eigenfunction)

如果系統(tǒng)對(duì)某一信號(hào)的響應(yīng)只不過(guò)是該信號(hào)乘以一個(gè)常數(shù)，則稱(chēng)該信號(hào)是這個(gè)系統(tǒng)的特征函數(shù)。系統(tǒng)對(duì)該信號(hào)加權(quán)的常數(shù)稱(chēng)為系統(tǒng)與特征函數(shù)相對(duì)應(yīng)的特征值。結(jié)論：

只有復(fù)指數(shù)函數(shù)才能成為一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。

復(fù)指數(shù)函數(shù)、是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。、分別是LTI系統(tǒng)與復(fù)指數(shù)信號(hào)相對(duì)應(yīng)的特征值。

對(duì)時(shí)域的任何一個(gè)信號(hào)或者,若能將其表示為下列形式：利用系統(tǒng)的齊次性與疊加性同理：即：所以有由于*問(wèn)題：究竟有多大范圍的信號(hào)可以用復(fù)指數(shù)信號(hào)的線(xiàn)性組合來(lái)表示？例：3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示如果將該信號(hào)集中所有的信號(hào)線(xiàn)性組合起來(lái)，一.連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)

成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)集:

，其中每個(gè)信號(hào)都是以為周期的，它們的公共周期為，且該集合中所有的信號(hào)都是彼此獨(dú)立的。

顯然也是以為周期的。該級(jí)數(shù)就是傅里葉級(jí)數(shù)，稱(chēng)為傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。這表明用傅里葉級(jí)數(shù)可以表示連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)，即:連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可以分解成無(wú)數(shù)多個(gè)復(fù)指數(shù)諧波分量。稱(chēng)為第k次諧波，直流分量有例1：

顯然該信號(hào)中，有兩個(gè)諧波分量，為相應(yīng)分量的加權(quán)因子，即傅立葉系數(shù)。

例2：在該信號(hào)中，有四個(gè)諧波分量，即時(shí)對(duì)應(yīng)的諧波分量。傅里葉級(jí)數(shù)表明：連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可以按傅立葉級(jí)數(shù)分解成無(wú)數(shù)多個(gè)復(fù)指數(shù)諧波分量的線(xiàn)性組合。二.頻譜（Spectral）的概念

在傅里葉級(jí)數(shù)中，各個(gè)信號(hào)分量（諧波分量）間的區(qū)別也僅僅是幅度（可以是復(fù)數(shù)）和頻率不同。因此，可以用一根線(xiàn)段來(lái)表示某個(gè)分量的幅度，用線(xiàn)段的位置表示相應(yīng)的頻率。

信號(hào)集中的每一個(gè)信號(hào)，除了成諧波關(guān)系外，每個(gè)信號(hào)隨時(shí)間的變化規(guī)律都是一樣的，差別僅僅是頻率不同。分量

可表示為表示為

因此，當(dāng)把周期信號(hào)

表示為傅里葉級(jí)數(shù)

時(shí)，就可以將

表示為這樣繪出的圖稱(chēng)為頻譜圖

頻譜圖其實(shí)就是將隨頻率的分布表示出來(lái)，即的關(guān)系。由于信號(hào)的頻譜完全代表了信號(hào)，研究它的頻譜就等于研究信號(hào)本身。因此，這種表示信號(hào)的方法稱(chēng)為頻域表示法。三.傅里葉級(jí)數(shù)的其它形式

或

若是實(shí)信號(hào),則有，于是若令，則為實(shí)數(shù)。于是即：表明的模關(guān)于偶對(duì)稱(chēng)，幅角關(guān)于奇對(duì)稱(chēng)。

——傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)表示式

若令則因此即的實(shí)部關(guān)于偶對(duì)稱(chēng)，虛部關(guān)于奇對(duì)稱(chēng)。

——傅里葉級(jí)數(shù)的另一種三角函數(shù)形式將此關(guān)系代入，可得到四.連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的確定對(duì)兩邊同時(shí)在一個(gè)周期內(nèi)積分，有則有如果周期信號(hào)可以表示為傅里葉級(jí)數(shù)即

在確定此積分時(shí)，只要積分區(qū)間是一個(gè)周期即可，對(duì)積分區(qū)間的起止并無(wú)特別要求，因此可表示為是信號(hào)在一個(gè)周期的平均值，通常稱(chēng)直流分量。

五.周期性矩形脈沖信號(hào)的頻譜其中

根據(jù)可繪出的頻譜圖。稱(chēng)為占空比不變變化3.4連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)的收斂

這一節(jié)來(lái)研究用傅氏級(jí)數(shù)表示周期信號(hào)的普遍性問(wèn)題，即滿(mǎn)足什么條件的周期信號(hào)可以表示為傅里葉級(jí)數(shù)。ConvergenceoftheFourierseries傅里葉級(jí)數(shù)收斂的兩層含義：是否存在?

級(jí)數(shù)是否收斂于?

Dirichlet條件：，在任何周期內(nèi)信號(hào)絕對(duì)可積。在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個(gè)極值點(diǎn)，且極值為有限值。在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)。因此，信號(hào)絕對(duì)可積就保證了的存在。3.5連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)

學(xué)習(xí)這些性質(zhì)，有助于對(duì)概念的理解和對(duì)信號(hào)進(jìn)行級(jí)數(shù)展開(kāi)。一.線(xiàn)性：若和都是以為周期的信號(hào)，且則二.時(shí)移:三.反轉(zhuǎn):若是以為周期的信號(hào)，且則若是以為周期的信號(hào)，且則四.尺度變換:若是以為周期的信號(hào)，且則以為周期，于是令，于是有：五.相乘:若和都是以為周期的信號(hào)，且則也即證明：六.共軛對(duì)稱(chēng)性:若是以為周期的信號(hào)，且則由此可推得，對(duì)實(shí)信號(hào)有：或?qū)?shí)信號(hào)，當(dāng)時(shí)，（實(shí)偶函數(shù)）當(dāng)時(shí)，（虛奇函數(shù)）七.Parseval

定理：表明：一個(gè)周期信號(hào)的平均功率就等于它所有諧波分量的平均功率之和.*掌握表3.1例1：-T1T0……10……-T．．T例2：周期性矩形脈沖將其微分后，可利用例1表示為10……設(shè)由時(shí)域微分性質(zhì)有根據(jù)時(shí)移特性，有由例1知一.離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）

考察成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)集:該信號(hào)集中每一個(gè)信號(hào)都以為周期，且該集合中只有個(gè)信號(hào)是彼此獨(dú)立的。

3.6離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示

這個(gè)級(jí)數(shù)就稱(chēng)為離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)（DFS），其中也稱(chēng)為周期信號(hào)的頻譜。

將這個(gè)獨(dú)立的信號(hào)線(xiàn)性組合起來(lái)，一定能表示一個(gè)以為周期的序列。即：其中為個(gè)相連的整數(shù)二.傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的確定給兩邊同乘以，得：顯然仍是以為周期的，對(duì)兩邊求和而

顯然上式滿(mǎn)足，即也是以為周期的，或者說(shuō)中只有個(gè)是獨(dú)立的。三.周期性方波序列的頻譜

顯然的包絡(luò)具有的形狀。時(shí)周期性方波序列的頻譜

當(dāng)不變、時(shí)，頻譜的包絡(luò)形狀不變，只是幅度減小，譜線(xiàn)間隔變小。

當(dāng)改變、

不變時(shí)，由于

的包絡(luò)具有

的形狀，而，可知其包絡(luò)形狀一定發(fā)生變化。當(dāng)時(shí)，包絡(luò)的第一個(gè)零點(diǎn)會(huì)遠(yuǎn)離原點(diǎn)從而使頻譜主瓣變寬。這一點(diǎn)也與連續(xù)時(shí)間周期矩形脈沖的情況類(lèi)似。

周期序列的頻譜也具有離散性、諧波性，當(dāng)在區(qū)間考查時(shí)，也具有收斂性。不同的是，離散時(shí)間周期信號(hào)的頻譜具有周期性。三.DFS的收斂

DFS

是一個(gè)有限項(xiàng)的級(jí)數(shù)，確定的關(guān)系式也是有限項(xiàng)的和式，因而不存在收斂問(wèn)題，也不會(huì)產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象。1.相乘2.差分周期卷積3.7DFS的性質(zhì)DFS有許多性質(zhì)，這里只選幾個(gè)加以討論。３.Paseval定理

左邊是信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)的平均功率，右邊是信號(hào)的各次諧波的總功率。

這表明：一個(gè)周期信號(hào)的平均功率等于它的所有諧波分量的功率之和。也表明：周期信號(hào)的功率既可以由時(shí)域求得，也可以由頻域求得。3.8

傅里葉級(jí)數(shù)與LTI系統(tǒng)

LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)所起的作用只是給輸入信號(hào)加權(quán)了一個(gè)相應(yīng)的特征值。對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)對(duì)離散時(shí)間系統(tǒng)、被稱(chēng)為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。如果則被稱(chēng)為連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)如果則稱(chēng)為離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)對(duì)而言，是以為周期的。如果一個(gè)LTI系統(tǒng)輸入周期性信號(hào)或

則*可見(jiàn)，LTI系統(tǒng)對(duì)周期信號(hào)的響應(yīng)仍是一個(gè)周期信號(hào)，LTI系統(tǒng)的作用是對(duì)各個(gè)諧波頻