數(shù)學(xué)-專項13 相似三角形中的母子型相似模型（原版）

專題13相似三角形中的母子型相似模型【模型展示】特點當(dāng)∠ABD=∠ACB時△ABD∽△ACB性質(zhì)：其中：∠A是公共角AB是公共邊BD與BC是對應(yīng)邊結(jié)論【模型證明】解決方案特殊母子型——射影定理在Rt△ACB與Rt△ADC中，當(dāng)∠ABC=∠ACD時，有Rt△ACB∽Rt△ADC∽Rt△CDB射影定理：母子相似證明題一般思路方法：由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；分子和分子組成一個三角形、分母和分母組成一個三角形；第②步成立，直接從證這兩個三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個別線段，之后再重復(fù)第三步；

【題型演練】一、單選題1．如圖，在中，是斜邊上的高，則圖中的相似三角形共有（

）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對2．如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊CD，AD上，于點G，若BC=4，AF=1，則CE的長為（

）A．3 B． C． D．3．如圖，中，，，，點，分別在，上，，．把繞點旋轉(zhuǎn)，得到，點落在線段上．若點在的平分線上，則的長為（

）A． B． C． D．4．如圖，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AD交AB于點E，M為AE的中點，BF⊥BC交CM的延長線于點F，BD=4，CD=3．下列結(jié)論①∠AED=∠ADC；②；③AC?BE=12；④3BF=4AC，其中結(jié)論正確的個數(shù)有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝6，D為BC邊的中點，點E是CA延長線上一點，把ACDE沿DE翻折，點C落在處，與AB交于點F，連接．當(dāng)時，BC’的長為（）A． B． C． D．二、填空題6．如圖，在中，點D在AB上，請再添一個適當(dāng)?shù)臈l件，使，那么可添加的條件是__________．7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，已知AD＝，那么BC＝_______．8．如圖，在中，，，，，，則CD的長為

______．9．如圖，在中，，點在邊上，，點在上，，垂足為，若，，則線段的長為__________．10．如圖，在中，平分在延長線上，且，若，，則的長為_____．三、解答題11．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點，F(xiàn)為CD延長線上一點，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長．

12．如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點，且AC=，CD＝4，BD＝2，求證：△ACD∽△BCA．13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．14．中，，，點E為的中點，連接并延長交于點F，且有，過F點作于點H．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求的長．15．如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且，∠BAD＝∠ECA．

（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．16．如圖，已知矩形的兩條對角線相交于點O，過點作分別交、于點、．（1）求證：；（2）連接，若．求證：．17．如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求證：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的長．18．如圖，銳角△ABC中，CD，BE分別是AB，AC邊上的高，垂足為D，E．（1）求證：△ACD∽△ABE；（2）若將點D，E連接起來，則△AED和△ABC能相似嗎？說說你的理由．19．如圖，是的直徑，是的弦，是的切線，切點為，，的延長線相交于點．

(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為4，，求的長．20．如圖1，在菱形ABCD中，AC是對角線，AB＝AC＝6，點E、F分別是邊AB、BC上的動點，且滿足AE＝BF，連接AF與CE相交于點G．（1）求的度數(shù)．（2）如圖2，作交CE于點H，若CF＝4，，求GH的值．（3）如圖3，點O為線段CE中點，將線段EO繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EM，當(dāng)構(gòu)成等腰三角形時，請直接寫出AE的長．21．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為AB上一點．（1）如圖1，若CD⊥AB，求證：AC2=AD·AB；（2）如圖2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；（3）如圖3，若AC=BC，點H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，則tan∠ACH的值為________．

22．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，CD是邊AB的中線．動點P從點C出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度沿折線CD-DB向終點B運動．過點P作PQ⊥AC于點Q，以PQ為邊作矩形PQMN，使點C、N始終在PQ的異側(cè)，且．設(shè)矩形PQMN與△ACD重疊部分圖形的面積是S，點P的運動時間為（t>0）．（1）