數(shù)學(xué)-專項10 分式方程應(yīng)用的三種考法全攻略（帶答案）

專題10分式方程應(yīng)用的三種考法全攻略題型一、銷售利潤問題例．服裝店經(jīng)銷甲種品牌的服裝，受市場影響，現(xiàn)在每件降價50元銷售，如果賣相同件數(shù)的服裝，原價的銷售額為9000元，現(xiàn)價銷售額為8000元．(1)銷售甲種品牌服裝現(xiàn)價每件為多少元？(2)服裝店決定增加經(jīng)銷乙種品牌的服裝，已知甲種品牌服裝每件進(jìn)價為350元，乙種品牌服裝每件進(jìn)價為300元，服裝店用不多于6600元且不少于6400元的資金購進(jìn)這兩種品牌的服裝共20件．①問有幾種進(jìn)貨方案？②乙種品牌的服裝每件售價為370元，服裝店決定每售出1件乙種品牌服裝，返還顧客元，要使①所有方案獲利相同，求的值．【答案】(1)400元(2)①5種；②20【詳解】（1）設(shè)銷售甲種品牌服裝現(xiàn)價每件為元，依題意得解得：檢驗(yàn)：當(dāng)時，，所以，原分式方程的解為答：銷售甲種品牌服裝現(xiàn)價每件為400元；（2）①設(shè)購甲種品牌服裝件，則乙種品種服裝件解得：，

∵為正整數(shù)，∴8，9，10，11，12，共有5種進(jìn)貨方案，答：共有5種進(jìn)貨方案．②設(shè)總獲利為元，∵要使①中所有方案獲利相同，∴的結(jié)果與無關(guān)，∴，∴．答：的值為20．【變式訓(xùn)練1】2022年11月19日首屆湖南旅游發(fā)展大會開幕式在張家界市隆重舉行，“山娃娃”和“鯢寶寶”被選為此次活動的吉祥物．某零售商店第一次用1000元購進(jìn)一批山娃娃掛件若干個，第二次用1800購進(jìn)鯢寶寶掛件是購進(jìn)山娃娃掛件數(shù)量的，而鯢寶寶掛件的進(jìn)貨單價比山娃娃掛件的進(jìn)貨單價多1元．(1)求該商店購進(jìn)的山娃娃和鯢寶寶數(shù)量各多少個？(2)該商店兩種掛件的零售價都是10元/個，山娃娃掛件中有10個因?yàn)閾p壞不能售出，其余都已售出，則鯢寶寶掛件要至少售出多少個，才能使這兩次的總利潤不低于2020元？【答案】(1)商店購進(jìn)的山娃娃數(shù)量為200個，購進(jìn)的鯢寶寶數(shù)量為300個(2)鯢寶寶掛件要至少售出292個，才能使這兩次的總利潤不低于2020元【詳解】（1）解：設(shè)商店購進(jìn)的山娃娃數(shù)量為個，則商店購進(jìn)的鯢寶寶數(shù)量為個，根據(jù)題意，得：，解得：經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，答：商店購進(jìn)的山娃娃數(shù)量為200個，購進(jìn)的鯢寶寶數(shù)量為300個．（2）解：設(shè)鯢寶寶掛件要售出個，根據(jù)題意，得：，解得：為正整數(shù)，故y的最小值是292，答：鯢寶寶掛件要至少售出292個，才能使這兩次的總利潤不低于2020元．

【變式訓(xùn)練2】某公司生產(chǎn)A、B兩種機(jī)械設(shè)備，每臺B種設(shè)備的成本是A種設(shè)備的1.5倍，公司投入16萬元生產(chǎn)A種設(shè)備，36萬元生產(chǎn)B種設(shè)備，共生產(chǎn)設(shè)備10臺，請解答下列問題：(1)A、B兩種設(shè)備每臺的成本分別是多少萬元？(2)A、B兩種設(shè)備每臺的售價分別是6萬元、10萬元，現(xiàn)公司決定對這10臺兩種設(shè)備優(yōu)惠出售，A種設(shè)備按原來售價8折出售，B種設(shè)備在原來售價的基礎(chǔ)上優(yōu)惠10%，若設(shè)備全部售出，該公司一共獲利多少萬元？【答案】(1)A、B兩種設(shè)備每臺的成本分別是4萬元和6萬元(2)該公司共獲利為萬元【詳解】（1）設(shè)A種設(shè)備每臺成本為x元，則B種設(shè)備每臺設(shè)備成本為元，根據(jù)題意，得．解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴，答：A、B兩種設(shè)備每臺的成本分別是4萬元和6萬元．（2）由（1）可知：A種設(shè)備共有4臺，B種設(shè)備6臺，A種設(shè)備獲利為：萬元，B種設(shè)備獲利為：萬元，∴該公司共獲利為萬元，答：該公司共獲利為萬元．【變式訓(xùn)練3】某商場計劃銷售A，B兩種型號的商品，經(jīng)調(diào)查，用1500元采購A型商品的件數(shù)是用600元采購B型商品的件數(shù)的2倍，一件A型商品的進(jìn)價比一件B型商品的進(jìn)價多30元．(1)求一件A，B型商品的進(jìn)價分別為多少元？(2)若該商場購進(jìn)A，B型商品共100件進(jìn)行試銷，其中A型商品的件數(shù)不大于B型的件數(shù)，已知A型商品的售價為200元/件，B型商品的售價為180元/件，且全部能售出，購進(jìn)A型商品m件，銷售利潤為w元，請寫出w與m的函數(shù)關(guān)系式，并求該商品能獲得的利潤最小是多少？【答案】(1)一件B型商品的進(jìn)價為120元，則一件A型商品的進(jìn)價為150元；(2)5500元．【詳解】（1）解：設(shè)一件B型商品的進(jìn)價為x元，則一件A型商品的進(jìn)價為元．

由題意：解得，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解，∴（元）答：一件B型商品的進(jìn)價為120元，則一件A型商品的進(jìn)價為150元；（2）因?yàn)橘忂M(jìn)A型商品m件，銷售利潤為w元，，解得：，由題意：，，w隨m的增大而減小，∴時，（元）題型二、方案問題例．甲、乙兩公司全體員工踴躍參與“攜手防疫，共渡難關(guān)”捐款活動，甲公司共捐款50000元，乙公司共捐款70000元，已知甲公司人數(shù)比乙公司少30人，乙公司的人均捐款是甲公司人均捐款的倍．(1)求甲、乙兩公司各有多少人？(2)現(xiàn)用所有捐款購買A，B兩種防疫物資，已知A種防疫物資每箱7500元，B種防疫物資每箱6000元，若購買A種防疫物資不少于8箱，問有幾種購買方案？請設(shè)計出來（注：A，B兩種防疫物資都要購買，且只能整箱買，所有捐款要恰好用完．）【答案】(1)甲公司有150人，乙公司有180人(2)共有兩種購買方案，方案1：購買A種物資8箱，B種物資10箱；方案2：購買A種物資12箱，B種物資5箱【詳解】（1）解：設(shè)甲公司有人，則乙公司有人，依題意有：，解得：（人），經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解且符合題意；

答：甲公司有150人，乙公司有180人．

（2）設(shè)購買A種防疫物資箱，則用去捐款元，剩余捐款用于購買B種防疫物資箱，依題意有：由②得：，又為正整數(shù)，m為正整數(shù)，∴或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴共有兩種購買方案，方案1：購買A種物資8箱，B種物資10箱．方案2：購買A種物資12箱，B種物資5箱．【變式訓(xùn)練1】某體育用品店計劃花7000元購進(jìn)籃球和足球，已知足球比籃球進(jìn)價貴20元．若花3000元購買籃球，4000元購買足球，則可以夠買到相同數(shù)量的籃球和足球．(1)求籃球和足球的進(jìn)價；(2)籃球的銷售單價為100元，足球的銷售單價為120元，求該商店將購進(jìn)的籃球和足球全部售出后能獲取的利潤（元）與購買的籃球的數(shù)量（只）之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出最大時的進(jìn)貨方案．【答案】(1)籃球進(jìn)價為60元只，足球的進(jìn)價為80元只(2)當(dāng)時，利潤最大，對應(yīng)的方案是購買籃球114只，足球2只【詳解】（1）設(shè)籃球進(jìn)價為元只，則足球的進(jìn)價為元只，由題意可得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，，答：籃球進(jìn)價為60元只，足球的進(jìn)價為80元只；（2）由題意可得，，隨的增大而增大，

，，又為整數(shù)，的最大值為114，此時，當(dāng)時，利潤最大，對應(yīng)的方案是購買籃球114只，足球2只，答：該商店將購進(jìn)的籃球和足球全部售出后能獲取的利潤（元與購買的籃球的數(shù)量（只之間的函數(shù)關(guān)系式，最大時的進(jìn)貨方案是購買籃球114只，足球2只．【變式訓(xùn)練2】某超市準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種袋裝食品．其中甲種袋裝食品的進(jìn)價比乙種袋裝食品的進(jìn)價高2元，甲、乙兩種袋裝食品的售價分別為20元和13元，已知用2500元購進(jìn)甲種袋裝食品的數(shù)量與用2000元購進(jìn)乙種袋裝食品的數(shù)量相同．(1)求甲、乙兩種袋裝食品的進(jìn)價分別為多少元？(2)要使購進(jìn)的甲、乙兩種袋裝食品共1000袋的總利潤（利潤＝售價﹣進(jìn)價）不少于6000元，且購進(jìn)甲種袋裝食品的數(shù)量不超過210袋，超市有幾種進(jìn)貨方案？(3)在（2）的條件下、該超市準(zhǔn)備對甲種袋裝食品每袋優(yōu)惠a（）元出售，超市要如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤？【答案】(1)甲種袋裝食品的進(jìn)價為10元，乙種袋裝食品的進(jìn)價分別為8元(2)該超市有11種進(jìn)貨方案(3)當(dāng)，此時超市購進(jìn)甲種袋裝食品210袋，乙種袋裝食品790袋；當(dāng)，即時，進(jìn)貨沒有限制；當(dāng)，此時超市購進(jìn)甲種袋裝食品200袋，乙種袋裝食品800袋．【詳解】（1）解：設(shè)甲種袋裝食品的進(jìn)價為x元，乙種袋裝食品的進(jìn)價分別為元，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，此時，答：甲種袋裝食品的進(jìn)價為10元，乙種袋裝食品的進(jìn)價分別為8元；（2）設(shè)購進(jìn)甲種袋裝食品m袋，則購進(jìn)乙種袋裝食品袋，根據(jù)題意得：，

解得：，∵m是正整數(shù)，∴，∴該超市有11種進(jìn)貨方案；（3）設(shè)超市的總利潤為w元，則，∵，，當(dāng)即時，w隨m的增大而增大，∴當(dāng)時，w最大，此時超市購進(jìn)甲種袋裝食品210袋，乙種袋裝食品790袋；當(dāng)，即時，超市獲得的利潤一樣大；當(dāng)，即時，∴當(dāng)時，w最大，此時超市購進(jìn)甲種袋裝食品200袋，乙種袋裝食品800袋．【變式訓(xùn)練3】某商場計劃購進(jìn)一批甲、乙兩種玩具，已知一件甲種玩具的進(jìn)價與一件乙種玩具的進(jìn)價的和為40元，用90元購進(jìn)甲種玩具的件數(shù)與用150元購進(jìn)乙種玩具的件數(shù)相同．(1)求每件甲種、乙種玩具的進(jìn)價分別是多少元；(2)商場計劃購進(jìn)甲、乙兩種玩具共48件，其中甲種玩具的件數(shù)少于乙種玩具的件數(shù)，商場決定此次進(jìn)貨的總資金不超過1000元，求商場共有幾種進(jìn)貨方案；(3)在（2）的條件下，若甲種玩具每件的售價為40元，乙種玩具每件的售價為55元，商場為擴(kuò)大銷量，推出“買一贈一”活動，顧客從這兩種玩具中任購一件，就可以從兩種玩具任選一件作為贈品，這批玩具全部售出后，共獲利280元．直接寫出（2）問中商場的進(jìn)貨方案．【答案】(1)每件甲種玩具的進(jìn)價是15元，每件乙種玩具的進(jìn)價是25元；(2)4種(3)購進(jìn)甲種玩具22件，乙種玩具26件【詳解】（1）解：設(shè)每件甲種玩具的進(jìn)價是x元，則每件乙種玩具的進(jìn)價是元，根據(jù)題意可得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，

∴，答：每件甲種玩具的進(jìn)價是15元，每件乙種玩具的進(jìn)價是25元；（2）解：設(shè)購進(jìn)甲種玩具m件，則購進(jìn)乙種玩具件，根據(jù)題意得：，解得：，∵m為正整數(shù)，∴或21或22或23，∴商場共有4種進(jìn)貨方案；（3）解：設(shè)48件玩具“買一贈一”，有a件售價是40元，則有件售價是55元，∴，化簡整理可得a，由（2）知或21或22或23，且a為正整數(shù)，∴，此時，即商場的進(jìn)貨方案是購進(jìn)甲種玩具22件，乙種玩具26件．題型三、行程、工程問題例．甲，乙兩個服裝廠加工同種型號的防護(hù)服，甲廠每天加工的數(shù)量是乙廠每天加工數(shù)量的2倍，兩廠各加工300套防護(hù)服，甲廠比乙廠少用5天．(1)求甲乙兩廠每天各加工多少套防護(hù)服？(2)已知甲乙兩廠加工這種防護(hù)服每天的費(fèi)用分別是120元和90元，疫情期間，某醫(yī)院急需1800套這種防護(hù)服，甲廠單獨(dú)加工一段時間后另有別的任務(wù)，剩下的任務(wù)只能由乙廠單獨(dú)完成，如果總加工費(fèi)用不超過4000元，那么甲廠至少要加工多少天？【答案】(1)甲廠每天加工60套防護(hù)服，乙廠每天加工30套防護(hù)服(2)24天【詳解】（1）解：設(shè)乙廠每天加工套防護(hù)服，依題意有：，解得：．檢驗(yàn)：當(dāng)時，，

所以是原方程的根且符合題意，．答：甲廠每天加工60套防護(hù)服，乙廠每天加工30套防護(hù)服．（2）設(shè)甲廠至少要加工天，乙廠加工天，依題有，由①得，代入②得，解之得：，為整數(shù)，的最小值為24天．答：甲廠至少要加工24天．【變式訓(xùn)練1】兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨(dú)施工30天完成總工程的，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了15天，完成全部工程．(1)求乙隊單獨(dú)施工多少天完成全部工程？(2)若甲隊工作4天，乙隊工作3天共需支付工程勞務(wù)費(fèi)42000元，甲隊工作5天，乙隊工作6天共需支付工程勞務(wù)費(fèi)75000元，求甲、乙兩隊工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為多少元？(3)在（2）的條件下，若兩個工程隊不同時施工，在總勞務(wù)費(fèi)不超過28萬元的情況下，則最快______天能完成總工程．【答案】(1)30(2)甲、乙兩隊工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為3000元、10000元(3)70【詳解】（1）設(shè)乙隊單獨(dú)施工x天完成全部工程，∵甲隊單獨(dú)施工完成全部工程的天數(shù)是（天），∴，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的根，且符合題意，故乙隊單獨(dú)施工30天完成全部工程；（2）設(shè)甲、乙兩隊工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為m元、n元,

∴，解得，，故甲、乙兩隊工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為3000元、10000元；（3）設(shè)甲隊單獨(dú)施工a天，乙隊單獨(dú)施工b天，則∵，∴，∴，∴，∵，且，∴∴在總勞務(wù)費(fèi)不超過28萬元的情況下，則最快70天能完成總工程．故答案為：70．【變式訓(xùn)練3】2019年，在新泰市美麗鄉(xiāng)村建設(shè)中，甲、乙兩個工程隊分別承擔(dān)某處村級道路硬化和道路拓寬改造工程．已知道路硬化和道路拓寬改造工程的總里程數(shù)是8．6千米，其中道路硬化的里程數(shù)是道路拓寬里程數(shù)的2倍少1千米．（1）求道路硬化和道路拓寬里程數(shù)分別是多少千米；（2）甲、乙兩個工程隊同時開始施工，甲工程隊比乙工程隊平均每天多施工10米．由于工期需要，甲工程隊在完成所承擔(dān)的施工任務(wù)后，通過技術(shù)改進(jìn)使工作效率比原來提高了．設(shè)乙工程隊平均每天施工米，若甲、乙兩隊同時完成施工任務(wù)，求乙工程隊平均每天施工的米數(shù)和施工的天數(shù)．【答案】（1）道路硬化里程數(shù)為5.4千米，道路拓寬里程數(shù)為3.2千米；（2）乙工程隊平均每天施工20米，施工的天數(shù)為160天【詳解】解：（1）設(shè)道路拓寬里程數(shù)為千米，則道路硬化里程數(shù)為千米，依題意，得：，解得：，．

答：道路硬化里程數(shù)為5.4千米，道路拓寬里程數(shù)為3.2千米．（2）設(shè)乙工程隊平均每天施工米，則甲工程隊技術(shù)改進(jìn)前每天施工米，技術(shù)改進(jìn)后每天施工點(diǎn)米，依題意，得：乙工程隊施工天數(shù)為天，甲工程隊技術(shù)改造前施工天數(shù)為：天，技術(shù)改造后施工天數(shù)為：天．依題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，．答：乙工程隊平均每天施工20米，施工的天數(shù)為160天．【變式訓(xùn)練4】某化工廠要在規(guī)定時間內(nèi)搬運(yùn)1200噸化工原料．現(xiàn)有，兩種機(jī)器人可供選擇，已知型機(jī)器人比型機(jī)器人每小時多搬運(yùn)30噸型，機(jī)器人搬運(yùn)900噸所用的時間與型機(jī)器人搬運(yùn)600噸所用的時間相等．(1)求兩種機(jī)器人每小時分別搬運(yùn)多少噸化工原料．(2)該工廠原計劃同時使用這兩種機(jī)器人搬運(yùn)，工作一段時間后，型機(jī)器人又有了新的搬運(yùn)任務(wù)需離開，但