新教材2023版高中數學第1章導數及其應用1.3導數在研究函數中的應用1.3.4導數的應用舉例學生用書湘教版選擇性必修第二冊

1．3.4導數的應用舉例新知初探·課前預習——突出基礎性教材要點要點利用導數解決優(yōu)化問題(1)生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題?.批注?利用導數解決優(yōu)化問題的實質是求函數最值．(2)用導數解決優(yōu)化問題的基本思路是：基礎自測1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)用導數研究實際問題要先求定義域．()(2)將8分為兩個非負數之和，使其立方之和為最小，則分法為3和5.()(3)做一個容積為256m3的方底無蓋水箱，所用材料最省時，它的高為4m．()2．煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，如果第x小時，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油溫度的瞬時變化率的最小值是(A．8B．203C．－1D．－3．已知某生產廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產量x(單位：萬件)的函數關系式為y＝－13x3＋81x－234，則使該生產廠家獲取最大年利潤的年產量為(A．13萬件B．11萬件C．9萬件D．7萬件4．用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，若所制作容器的底面一邊比高長出0.5m，則當高為________m時，容器的容積最大．題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性利潤最大問題例1某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系y＝ax-3＋10(x－6)2式，其中3＜x＜6，a為常數．已知銷售價格為5元/(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．方法歸納利潤最大問題是生活中常見的一類問題，一般根據“利潤＝收入－成本”建立函數關系式，再利用導數求最大值．解此類問題需注意兩點：①價格要大于或等于成本，否則就會虧本；②銷量要大于0，否則不會獲利．鞏固訓練1某商場從生產廠家以每件20元的價格購進一批商品．設該商品零售價定為p元，銷售量為Q件，且Q與p有如下關系：Q＝8300－170p－p2，則最大毛利潤為(毛利潤＝銷售收入－進貨支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元用料、費用最少問題例2為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用15年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：C(x)＝k3x+5(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設f(x)為隔熱層建造費用與15(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值．方法歸納用料、費用最少問題是日常生活中常見的問題之一．解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象，然后正確書寫函數表達式，準確求導，結合實際作答．鞏固訓練2一艘船從A地到B地，其燃料費w與船速v的關系為w(v)＝1000v2v-8(18≤v≤30)，要使燃料費最低，則A．18B．20C．25D．30幾何中的最值問題例3將一塊2m×6m的矩形鋼板按如圖所示的方式劃線，要求①至⑦全為矩形，沿線裁去陰影部分，把剩余部分焊接成一個以⑦為底，⑤⑥為蓋的水箱，設水箱的高為xm，容積為ym3.(1)寫出y關于x的函數關系式；(2)當x取何值時，水箱的容積最大？方法歸納解決這類問題的關鍵是熟練掌握相關的面積、體積公式，能夠依據題意確定出自變量的取值范圍，建立準確的函數關系式，然后利用導數的方法加以解決．鞏固訓練3用長為18cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2∶1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？1．3.4導數的應用舉例新知初探·課前預習[教材要點]要點導數函數[基礎自測]1．(1)√(2)×(3)√2．解析：由題意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0≤x≤5，∴x＝1時，f′(x)的最小值為－1，即原油溫度的瞬時變化率的最小值是－1.答案：C3．解析：由題意得，y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．當0＜x＜9時，y′＞0；當x＞9時，y′＜0.故當x＝9時，y取得極大值，也是最大值．答案：C4．解析：由題意列出函數表達式，再用導數求最值，設高為xm，則體積V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)，V′＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0，解得x＝1或x＝－415(舍去)答案：1題型探究·課堂解透例1解析：(1)因為當x＝5時，y＝11，所以a2＋10＝11，所以a＝(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量為y＝2x-3＋10(x－所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f(x)＝(x－3)[2x-3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2，從而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3，4)4(4，6)f′(x)＋0－f(x)↗極大值↘由上表可得，x＝4是函數f(x)在區(qū)間(3，6)內的極大值點，也是最大值點．所以當x＝4時，函數f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．鞏固訓練1解析：由題意知：毛利潤等于銷售額減去成本，即L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝-3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此時，L(30)＝23000.因為在p＝30附近的左側L′(p)＞0，右側L′(p)＜0.所以L(30)是極大值，根據實際問題的意義知，答案：D例2解析：(1)隔熱層厚度xcm，依題意，每年能源消耗費用為C(x)＝k3x+5，由C(0)＝8，得k＝40因此C(x)＝403x+5，而建造費用為C1(x)＝8x則隔熱層建造費用與15年的能源消耗費用之和為15C(x)＋C1(x)＝15·403x+5＋8x＝6003x+5＋8所以f(x)＝6003x+5＋8x(0≤x≤10)(2)由(1)知，f′(x)＝8－18003x+5令f′(x)＝0，即18003x+52＝8，而0≤x≤10，解得x＝當0<x<103時，f′(x)<0，當103<x<10時，f′(x)>0，即f(x)在(0，103)上遞減，在(10則當x＝103時，f(x)取最小值f103＝60010+5＋8×10所以當隔熱層修建103cm厚時，總費用達到最小值為200鞏固訓練2解析：w′(v)＝2000vv-8當18<v<30時，w′(v)>0，所以w(v)在[18，30]上單調遞增，所以當v＝18時，w(v)取得最小值．答案：A例3解析：(1)由水箱的高為xm，得水箱底面的寬為(2－2x)m，長為6-2x2＝(3故水箱的容積y＝(2－2x)(3－x)x＝2x3－8x2＋6x(0<x<1)．(2)由(1)得y′＝6x2－16x＋6，令y′＝0，解得x＝4+73(舍去)或x＝所以y＝2x3－8x2＋6x(0<x<1)在(0，4-73)內單調遞增，在(4所以當x＝4-鞏固訓練3解析：設長方體的寬為x(m)，則長為2x(m)，高為：h＝18-12x4＝4.5－3x(m)(0<x<故長方體的體積為V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3(0<x<32)從而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)，令V′(x)＝