新教材2023版高中數(shù)學(xué)第1章數(shù)列1.1數(shù)列的概念第2課時(shí)數(shù)列的遞推公式與數(shù)列的單調(diào)性課件湘教版選擇性必修第一冊(cè)

第2課時(shí)數(shù)列的遞推公式與數(shù)列的單調(diào)性新知初探?課前預(yù)習(xí)題型探究?課堂解透最新課程標(biāo)準(zhǔn)會(huì)由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)，掌握數(shù)列單調(diào)性的判斷與應(yīng)用．新知初探?課前預(yù)習(xí)教

材

要

點(diǎn)要點(diǎn)一數(shù)列的遞推公式如果數(shù)列{an}的任一項(xiàng)an＋1與它的________之間的關(guān)系可用一個(gè)公式an＋1＝f(an)，n≥1來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫作數(shù)列{an}的遞推公式?；a1稱(chēng)為數(shù)列{an}的初始條件．前一項(xiàng)an要點(diǎn)二數(shù)列的單調(diào)性類(lèi)別定義遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都________它的前一項(xiàng)，即an＋1____an遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都________它的前一項(xiàng)，即an＋1____an擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)________它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)都________的數(shù)列大于>小于<大于相等批注?用遞推公式給出一個(gè)數(shù)列，必須給出：(1)“基礎(chǔ)”——數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))；(2)遞推關(guān)系——數(shù)列{an}的任一項(xiàng)an＋1與它的前一項(xiàng)an之間的關(guān)系，并且這個(gè)關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示．基

礎(chǔ)

自

測(cè)1.判斷正誤(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)根據(jù)通項(xiàng)公式可以求出數(shù)列的任意一項(xiàng)．(

)(2)有些數(shù)列可能不存在最大項(xiàng)．(

)(3)遞推公式是表示數(shù)列的一種方法．(

)(4)所有的數(shù)列都有遞推公式．(

)√√√×2．?dāng)?shù)列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，則a5＝(

)

A．－3B．－11C．－5D．19答案：D解析：a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19.3．若數(shù)列{an}滿足an＝2n，則數(shù)列{an}是(

)A．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列答案：A解析：an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，∴an＋1>an，即{an}是遞增數(shù)列．4．(多選)數(shù)列2，4，6，8，10，…的遞推公式是(

)A．a(chǎn)n＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋)B．a(chǎn)n＝2an－1(n≥2，n∈N＋)C．a(chǎn)1＝2，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋)D．a(chǎn)1＝2，an＋1＝an＋2(n∈N＋)答案：CD解析：A，B中沒(méi)有說(shuō)明第一項(xiàng)，無(wú)法遞推．

9

題型探究?課堂解透

答案：A

(2)[2022·湖南雅禮中學(xué)高二期中]如圖①至圖④，作一個(gè)正三角形，挖去一個(gè)“中心三角形”(即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形)，然后在剩下的每一個(gè)小三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”，以此類(lèi)推，如果我們用著色三角形代表挖去的部分，那么剩下的白三角形則稱(chēng)為謝爾賓斯基三角形，該概念由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出．下列4個(gè)圖形中，若著色三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{an}的前4項(xiàng)，則a6＝________．364解析：

依題意可知a1＝1，a2＝4，a3＝13，a4＝40，且an＋1＝3an＋1，所以a5＝3a4＋1＝3×40＋1＝121，a6＝3a5＋1＝3×121＋1＝364.

2

(2)將石子擺成如圖所示的梯形形狀，稱(chēng)數(shù)列5，9，14，20，…為“梯形數(shù)”．結(jié)合圖形的構(gòu)成可猜想a2021－a2020＝________．2023解析：

由題意可知，a1＝5，a2＝9，a3＝14，a4＝20，…，所以，a2－a1＝9－5＝4＝2＋2，a3－a2＝14－9＝5＝3＋2，a4－a3＝20－14＝6＝4＋2，…由此我們可以推斷：當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝n＋2，故a2021－a2020＝2021＋2＝2023.題型2數(shù)列遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系例2

(1)對(duì)于任意數(shù)列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N＋)都成立．試根據(jù)這一結(jié)論，完成問(wèn)題：已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通項(xiàng)an；解析：n≥2時(shí)，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋2＋…＋2(n－1)個(gè)2＝2(n－1)＋1＝2n－1.a1＝1也適合上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n－1.

方法歸納

由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式的兩種方法

答案：A

方法歸納

判斷數(shù)列單調(diào)性的四種方法鞏固訓(xùn)練3

下列數(shù)列是遞增數(shù)列的是(

)A．{1－3n}B．{3n－2n＋2}C．{2n－n}D．{(－3)n}答案：C解析：對(duì)于A，令an＝1－3n，則a1＝－2，a2＝－5，不合題意；對(duì)于B，令an＝3n－2n＋2，則a1＝－5，a2＝－7，不合題意；對(duì)于C，令an＝2n－n，則an＋1－an＝2n＋1－2n－1＝2n－1>0，符合題意．對(duì)于D，令an＝(－3)n，則a1＝－3，a3＝－27，不合題意．

易錯(cuò)辨析用函數(shù)思想解題時(shí)忽略數(shù)列的特征而致錯(cuò)例5已知數(shù)列{an