新教材2023版高中數(shù)學(xué)第1章數(shù)列數(shù)列習(xí)題課學(xué)生用書湘教版選擇性必修第一冊(cè)

數(shù)列習(xí)題課新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)要點(diǎn)一分組求和法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列．所以求此類數(shù)列的前n項(xiàng)和，即先分別求和，然后再合并，形如：(1){an＋bn}，其中{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列；(2)an＝f要點(diǎn)二錯(cuò)位相減求和法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的．要點(diǎn)三裂項(xiàng)相消求和法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．裂項(xiàng)相消求和經(jīng)常用到下列拆項(xiàng)公式：(1)1nn+1＝(2)12n-1(3)1n+n+1題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1分組求和法例1已知數(shù)列{an}構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列：a1，(a2－a1)，…，(an－an－1)，…此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為13(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.方法歸納分組轉(zhuǎn)化求和法的應(yīng)用條件和解題步驟(1)應(yīng)用條件一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列的通項(xiàng)公式相加組成．(2)解題步驟鞏固訓(xùn)練1在等差數(shù)列{an}中，a2＋a7＝-23，(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列{an＋bn}是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，求{bn}的前n項(xiàng)和Sn.題型2錯(cuò)位相減求和法例2已知等比數(shù)列{an}滿足：a1＝12，a1，a2，a3－18成等差數(shù)列，公比q∈(0，(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(2)設(shè)bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.方法歸納錯(cuò)位相減法的適用題目及注意事項(xiàng)(1)適用范圍：它主要適用于{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和．(2)注意事項(xiàng)：①利用“錯(cuò)位相減法”時(shí)，在寫出Sn與qSn的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)注意使兩式錯(cuò)位對(duì)齊，以便于作差，正確寫出1－q，Sn的表達(dá)式．②利用此法時(shí)要注意討論公比q是否等于1的情況．鞏固訓(xùn)練2[2022·湖南平江一中高二期末]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝a2＝12，數(shù)列a(1)求an；(2)求Sn.題型3裂項(xiàng)相消求和法例3設(shè)數(shù)列{an}滿足：an＋1＝1＋an，且a1＝3.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn為an與an＋1的等比中項(xiàng)，求數(shù)列1bn2的前n項(xiàng)和方法歸納對(duì)于通項(xiàng)公式是分式的一類數(shù)列，在求和時(shí)常用“裂項(xiàng)法”．可用待定系數(shù)法對(duì)通項(xiàng)公式進(jìn)行拆項(xiàng)，相消時(shí)應(yīng)注意消去項(xiàng)的規(guī)律，即消去哪些項(xiàng)，保留哪些項(xiàng)，常見的拆項(xiàng)公式有：(1)1nn+k＝1k(2)若{an}為等差數(shù)列，公差為d，則1ana鞏固訓(xùn)練3在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，公差d＝2，Sn為前n項(xiàng)和，求1S1+1S易錯(cuò)辨析對(duì)錯(cuò)位相減法掌握不到位致誤例4求和：Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1.解析：(1)當(dāng)x＝1時(shí)，Sn＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝nn+1(2)當(dāng)x＝0時(shí)，Sn＝1，(3)當(dāng)x≠1且x≠0時(shí)，Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，①∴xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，②①－②得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn＝1-xn1-x∴Sn＝1+n綜上Sn＝n【易錯(cuò)警示】出錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得(1)易忽略對(duì)x＝1的討論；(2)對(duì)錯(cuò)位相減掌握不到位致誤，往往得到：(1－x)Sn＝1-xn∴Sn＝1-(1)當(dāng)?shù)缺葦?shù)列為字母參數(shù)時(shí)，應(yīng)對(duì)其公比是否為1進(jìn)行討論．(2)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法時(shí)，一定要錯(cuò)位對(duì)齊，并注意觀察未合并項(xiàng)的正負(fù)號(hào)．?dāng)?shù)列習(xí)題課新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)三(1)1n-1n+1(2)題型探究·課堂解透例1解析：(1)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋13+132＋…當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1也適合上式，∴an＝32(2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝321-1＝32n－341-13n＝3鞏固訓(xùn)練1解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d.∵a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，∴d＝－3，∴a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－3n＋2.(2)∵數(shù)列{an＋bn}是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列．∴an＋bn＝qn－1，即－3n＋2＋bn＝qn－1，∴bn＝3n－2＋qn－1.∴Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)＝n3n-12＋(1＋q＋q2＋…＋qn故當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝n3n-12＋當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝n3n例2解析：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，a1＝12因?yàn)閍1，a2，a3－18成等差數(shù)列，所以2a2＝a1＋a3－18，即得4q2－8q＋3＝0，解得q＝12或q＝32，又因?yàn)閝∈(0，1)，所以所以an＝1212解析：(2)根據(jù)題意得bn＝nan＝n2Sn＝12+222+312Sn＝122+223作差得12Sn＝12+12Sn＝2－(n＋2)12鞏固訓(xùn)練2解析：(1)∵a1＝a2＝12，a11∴數(shù)列ann是公比為∴ann＝12n，∴a(2)∵Sn＝121+22∴12Sn＝122+2兩式相減得：12Sn＝12+122＝1－12n－n2n+1＝1∴Sn＝2－n+22例3解析：(1)由an＋1＝1＋an可得an＋1－an＝1，所以數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，又a1＝3，所以an＝3＋(n－1)×1＝n＋2.(2)因?yàn)閎n為an與an＋1的等比中項(xiàng)，所以bn2＝an·an＋所