誤差理論與測量平差課件

觀測誤差與傳播律第一節(jié)觀測誤差

當(dāng)對某量進(jìn)行重複觀測時(shí)，就會發(fā)現(xiàn)，這些觀測值之間會存在一些差異。例如，對現(xiàn)一段距離重複測量若干次，量得的長度通常是互有新式異。另一種情況是，如果已經(jīng)知道某幾個(gè)量之間應(yīng)該滿足某一理論關(guān)係，但當(dāng)對這幾個(gè)量進(jìn)行觀測後，也會發(fā)現(xiàn)實(shí)際觀測結(jié)果往往不能滿足應(yīng)有的理論關(guān)係。例如，從幾何上知道一平面三角形內(nèi)角之和應(yīng)等於180°，但如果對這三個(gè)內(nèi)角進(jìn)行觀測，則三內(nèi)角觀測值之和常常不等於180°，而有差異。在同一量的各觀測值之間，或在各觀測值與其理論上的應(yīng)有值之間存在差異的現(xiàn)角，在測量工作中是普通存在的。為什麼會產(chǎn)生這種差異呢？不難理解，這是由於觀測值中包含有觀測誤差的緣故。

觀測誤差的產(chǎn)生原因很多，概括起來有以下三方面：返回目錄一測量儀器

測量工作通常是利用測量儀器進(jìn)行的。由於每種儀器只具有一定限度的精密度，因而使觀測測值的精密度受到一定的限制，例如，在用只刻有釐米分劃的普通水準(zhǔn)尺進(jìn)行水準(zhǔn)測驗(yàn)量時(shí)，就難以保證在估讀釐米以下的尾數(shù)時(shí)完全正確無誤；同時(shí)，儀器本身也有一定的誤差，便如，水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸不平行於水準(zhǔn)軸，水準(zhǔn)尺的分劃誤差等等。因此，使用這種水準(zhǔn)儀和水準(zhǔn)尺進(jìn)行觀測，就會和水準(zhǔn)測量的結(jié)果產(chǎn)生誤差。同樣，經(jīng)緯儀、測距儀、GPS、全站儀等儀器的誤差也使測量結(jié)果產(chǎn)生誤差。二觀測者

由於觀測者的感覺器官的鑒別能力有一定的局限性，所以在儀器的安置、照準(zhǔn)、讀數(shù)等方面都會產(chǎn)生誤差。同時(shí)，觀測者的工作態(tài)度和技術(shù)水準(zhǔn)，也是對觀測成果品質(zhì)有直接影響的重要因素。返回目錄

三外界條件

觀測時(shí)所處的處界條件，如溫度、濕度、風(fēng)力、大氣折光等因素都會對測量結(jié)果直接產(chǎn)生影響；同時(shí)，隨著溫度的高低，濕度的大小，風(fēng)力的強(qiáng)弱以及大氣折光的不同，它們對測量結(jié)果的影響也隨之不同，因而在這樣的客觀環(huán)境下進(jìn)行觀測，就必然使觀測的結(jié)果產(chǎn)生誤差。上述測量儀器、觀測者、外界條件三方面的因素是引起誤差的主要來源。因此，我們把這三方面的因素綜合起來稱為觀測條件。不難想像，觀測條件的好、壞與觀測成果的品質(zhì)有著密切的聯(lián)繫。當(dāng)觀測條件好一些，觀測中所產(chǎn)生的誤差平均說來就可能相應(yīng)地小一些，因而觀測成果的品質(zhì)就會高一些。反之，觀測條件差一些，觀測成果的品質(zhì)就會低一些。如果觀測條件相同，觀測成果的品質(zhì)也就可以說是相同的。所以說，觀測成果的品質(zhì)高低也就客觀地反映了觀測條件的優(yōu)劣。但是，不管觀測條件如何，在整個(gè)觀測過程中，由於受到上述種種因素的影響，觀測的結(jié)果就會產(chǎn)生這樣或那樣的誤差。從這一意義上來說，在測量中產(chǎn)生誤差是不可避免的。當(dāng)然在客觀條件允許的限度內(nèi)，測量工作者可以而且返回目錄

必須確保觀測成果具有較高的品質(zhì)。但是，不管觀測條件如何，在整個(gè)觀測過程中，由於受到上述種種因素的影響，觀測的結(jié)果就會產(chǎn)生這樣或那樣的誤差。從這一意義上來說，在測量中產(chǎn)生誤差是不可避免的。當(dāng)然在客觀條件允許的限度內(nèi)，測量工作者可以而且必須確保觀測成果具有較高的品質(zhì)。

根據(jù)觀測誤差的來源與對觀測結(jié)果的影響性質(zhì)、可將觀測誤差分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差和粗差三種

一系統(tǒng)誤差

在相同的觀測條件下一系列的觀測，如果誤差在大小、符號上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者在觀測過程中按一定的規(guī)律變化，或者為某一常數(shù)，那麼，這種誤差就稱為系統(tǒng)誤差。例如，用具有某一尺長誤差的鋼尺量距時(shí)，由尺長誤差所引起的距離誤差與所測距離的長度成正比地增加，距離愈長，所積累的誤差也愈大；經(jīng)緯儀因校正或整置的不完善而使所測角度產(chǎn)生誤差；等等。這些都是由於儀器不完善或工作前未經(jīng)檢驗(yàn)校正而產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差。又如，用鋼尺量距時(shí)的溫度與檢定尺長時(shí)的溫度不一致，而使所測的距離產(chǎn)生誤差；返回目錄

測角時(shí)因大氣折光的影響而產(chǎn)生的角度誤差等等，這些都是由於外界條件所引起的系統(tǒng)誤差。此外，如某些觀測者在照準(zhǔn)目標(biāo)時(shí)，總是習(xí)慣於把望遠(yuǎn)鏡十字絲對準(zhǔn)目標(biāo)中央的某一側(cè)，也會使觀測結(jié)果帶有系統(tǒng)誤差。二偶然誤差

在相同的觀測條件下一系列的觀測，如果誤差在大小和符號上都表現(xiàn)出偶然性，即從單個(gè)誤差看，該列誤差的大小和符號沒有規(guī)律性，但就大量誤差的總體而言，具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差。例如，在用經(jīng)緯儀測角時(shí)，測角誤差是由照準(zhǔn)誤差、讀數(shù)誤差、外界條件變化所引起的誤差、儀器本身不完善而引起的誤碼差等綜合的結(jié)果。而其中每項(xiàng)誤差又是由許多偶然（隨機(jī)）因素所引起的小誤差的代數(shù)和。例如照準(zhǔn)誤差可能是由於腳架或覘標(biāo)的晃動或扭轉(zhuǎn)、風(fēng)力風(fēng)向的變化、目標(biāo)的背景、大氣折光和大氣透明度等等偶然因素影響而產(chǎn)生的小誤差的代數(shù)和。返回目錄

因此，測角誤差實(shí)際上是許許多多微小誤差項(xiàng)的總和，而每項(xiàng)微小誤差又隨著偶然因素影響的不斷變化，其數(shù)值忽大忽小，其符號或正或負(fù)，這樣，由它們所構(gòu)成的總和，就某個(gè)體而言，無論是數(shù)值的大小或符號的正負(fù)都是不能事先預(yù)知的，因此，把這種性質(zhì)的誤差稱為偶然誤差。根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)理論知，如果各個(gè)誤差項(xiàng)對其總和的影響都是均勻地小，即其中沒有一項(xiàng)比其他項(xiàng)的影響占絕對優(yōu)勢時(shí)，那麼它們的總和將是服從或近似地服從正態(tài)分佈的隨機(jī)變數(shù)。因此，偶然誤差就其總體而言，都具有一定統(tǒng)計(jì)規(guī)律，故有時(shí)又把偶然誤差稱為隨機(jī)誤差。三粗差

粗差是一種大量級的觀測誤差，它是測量上的失誤。在測量成果中，是不允許粗差存在的。粗差產(chǎn)生的原因較多，主要是作業(yè)員的疏忽大意、失職而引起的，如大數(shù)被讀錯(cuò)、讀數(shù)被記錄員記錯(cuò)、照準(zhǔn)了錯(cuò)誤的目標(biāo)、在航測象片上選錯(cuò)了控制點(diǎn)的影象等。返回目錄

在觀測數(shù)據(jù)中應(yīng)盡可能設(shè)法避免出現(xiàn)粗差。行之有效的發(fā)現(xiàn)粗差的方法有：進(jìn)行必要的重複現(xiàn)測；通過多餘觀測,採用必要而又嚴(yán)格的檢核、驗(yàn)算等方式均可發(fā)現(xiàn)粗差。國家的測繪機(jī)構(gòu)制定的各類測量規(guī)範(fàn)和細(xì)則，一般也能起到防止粗差出現(xiàn)和發(fā)現(xiàn)粗差的作用。含有粗差的觀測值都不能採用。因此，一但發(fā)現(xiàn)粗差，該觀測值必須捨棄或重測。儘管我們十分小心謹(jǐn)慎，粗差有時(shí)仍然在所難免。因此，如何在大量的觀測數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)和剔除粗差，或在數(shù)據(jù)處理中削弱含粗差的觀測值對平差計(jì)算成果的影響，乃是測繪界十分關(guān)注的課題之一。系統(tǒng)誤差與偶然誤差在觀測過程中總是同時(shí)產(chǎn)生的。當(dāng)觀測值中有顯著的系統(tǒng)誤差時(shí)，偶然誤差就居於次要地位，觀測誤差就呈現(xiàn)出系統(tǒng)的性質(zhì)。反之，則呈現(xiàn)出偶然的性質(zhì)。系統(tǒng)誤差對於觀測結(jié)果的影響一般具有累積的作用，它對成果品質(zhì)的影響也特別顯著。返回目錄

在實(shí)際工作中，應(yīng)該採用各種方法來消除系統(tǒng)誤差，或者減小其對觀測成果的影響，達(dá)到實(shí)際上可以忽略不計(jì)的程度。例如，在進(jìn)行水準(zhǔn)測量時(shí)，使前後視距相等，以消除由於視準(zhǔn)軸不平行於水準(zhǔn)軸對觀測高差所引起的系統(tǒng)誤差；對量距用的鋼尺預(yù)先進(jìn)行檢定，求出尺長誤差的大小，對所量的距離進(jìn)行尺長改正，以消除由於尺長誤差對量距所引起的系統(tǒng)誤差等等，都是消除系統(tǒng)誤差的方法。當(dāng)觀測值中已經(jīng)排除了系統(tǒng)誤差的影響，或者與偶然誤差相比已處於次要地位，則該觀測值中主要是存在著偶然誤差。這樣的觀測值，就稱為帶有偶然誤差的觀測值。這樣的觀測結(jié)果和偶然誤差便都是一些隨機(jī)變數(shù)，如何處理這些隨機(jī)變數(shù)，是測量平差這一學(xué)科所要研究的內(nèi)容。由於觀測結(jié)果不可避免地存在著偶然誤差的影響，因此，在實(shí)際工作中，為了提高成果的品質(zhì)，同時(shí)也為了檢查和及時(shí)發(fā)現(xiàn)觀測值中有無粗差存在，通常要使觀測值的個(gè)數(shù)多於未知量的個(gè)數(shù)，也就是要進(jìn)行多餘觀測。返回目錄

例如，對一條導(dǎo)線邊，丈量一次就可得出其長度，但實(shí)際上總要丈量兩次或兩次以上；一個(gè)平面三角形，只需要觀測其中的兩個(gè)內(nèi)角，即可決定它的形狀，但通常是觀測三個(gè)內(nèi)角。由於偶然誤差的存在，通過多餘觀測必然會發(fā)現(xiàn)在觀測結(jié)果之間不相一致，或不符合應(yīng)有關(guān)係而產(chǎn)生的不符值。因此，必須對這些帶有偶然誤差的觀測值進(jìn)行處理，使得消除不符值後的結(jié)果，可以認(rèn)為是觀測量的最可靠的結(jié)果。由於這些帶有偶然誤差的觀測值是一些隨機(jī)變數(shù)，因此，可以根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)的方法來求出觀測量的最可靠結(jié)果，這就是測量平差的一個(gè)主要任務(wù)。

測量平差的另一項(xiàng)任務(wù)，就是評定觀測值及其函數(shù)的最可靠結(jié)果的精度，也就是考核測量結(jié)果的品質(zhì)。人們把這一數(shù)據(jù)處理的整個(gè)過程叫做“測量平差”。概括起來講，測量平差有兩大任務(wù)：一是通過數(shù)據(jù)處理求待定量的最佳估值；二是評估觀測成果的品質(zhì)。返回目錄第二節(jié)偶然誤差的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

任何一個(gè)觀測量，客觀上總是存在著一個(gè)能代表其真正大小的數(shù)。這一數(shù)值就稱為該觀測量的真值。從概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)看，當(dāng)觀測量僅含偶然誤差時(shí)，其數(shù)學(xué)期望也就是它的真值。設(shè)進(jìn)行了n次觀測，其觀測值為L1、L2、…、Ln,假定觀測量的真值為、、…

，由於各觀測值都帶有一定的誤差，因此，每一觀測值Li與其真值或E（Li）之間必存在一差數(shù)，設(shè)為（1-1）

式中稱為真誤差，有時(shí)簡稱為誤差。返回目錄

若記則有（1-2）如果以被觀測量的數(shù)學(xué)期望表示其真值，則（1-3）測量平差中所要處理的觀測值是假定不包含系統(tǒng)誤差和粗差的，因此這裏的△僅僅是指偶然誤差。人們從無數(shù)的測量實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，在相同的觀測條件下，大量偶然誤差的分佈表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，那就是它服從正態(tài)分佈。下麵通過實(shí)例來說明這種規(guī)律性。返回目錄

在某測區(qū)，在相同的條件下，獨(dú)立地觀測了358個(gè)三角形的全部內(nèi)角，由於觀測值帶有誤差，故三角觀測值之和不等於其真值180°，根據(jù)（1-1）式，各個(gè)三角形內(nèi)角和的真誤差可由下式算出：

式中（L1+L2+L3）i表示各三角形內(nèi)角和的觀測值。現(xiàn)取誤差區(qū)間的間隔d△為0.22〃，將一組誤差按其正負(fù)號與誤差值的大小排列；統(tǒng)計(jì)誤差出現(xiàn)在各區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)，以及“誤差出現(xiàn)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)”這一事件的頻率（此處n=358），其結(jié)果列於表1-1中。返回目錄

誤差的區(qū)間〃△為負(fù)值△為正值備注個(gè)數(shù)頻率個(gè)數(shù)頻率0.00~0.200.20~0.400.40~0.600.60~0.800.80~1.001.00~1.201.20~1.401.40~1.601.60以上

4540332317136400.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.01100.6300.5600.4600.3200.2350.1800.0850.05504641332116135200.1280.1150.0920.0590.0450.0360.0140.00600.6400.5750.4600.2950.2250.1800.0700.0300d△=0.22〃等於區(qū)間左端值的誤差算入該區(qū)間內(nèi)和1810.5051770.495表1-1返回目錄

從表1-1中可以看出，誤差的分佈情況具有以下性質(zhì)：（1）誤差的絕對值有一定的限值；（2）絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差；（3）絕對值相等的正負(fù)誤差的個(gè)數(shù)相近。為了便於以後對誤差分佈互相比較，下麵對另一測區(qū)的421個(gè)三角形內(nèi)角和的一組真誤差，按上述方法作了統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果列於表1-2

表1-2中所列的421個(gè)真誤差，儘管其觀測條件不同於表1-1中的真誤差，但從表中可以看出；愈接近於零誤差的區(qū)間，其頻率愈大；隨著離開零誤差愈來愈遠(yuǎn)，其頻率亦逐漸遞減；且出現(xiàn)在正負(fù)誤差區(qū)間內(nèi)的頻率基本上相等。因而，表1-2的誤差分佈情況與表1-1內(nèi)誤差分佈的情況具有相同的性質(zhì)。返回目錄表1-2

誤差的區(qū)間〃△為負(fù)值△為正值備注個(gè)數(shù)頻率個(gè)數(shù)頻率0.00~0.200.20~0.400.40~0.600.60~0.800.80~1.001.00~1.201.20~1.401.40~1.601.60~1.801.80~2.002.00~2.202.20~2.402.40~2.602.60以上4034312520161497562100.0950.0810.0740.0590.0480.0380.0330.0210.0170.0120.0140.0050.00200.4750.4050.3700.2950.2400.1900.1650.1050.0850.0600.0700.0250.010037362927181713108743200.0880.0850.0690.0640.0430.0400.0310.0240.0190.0170.0090.0070.00500.4400.4250.3450.3200.2510.2000.1550.1200.0950.0850.0450.0350.0250d△=0.22〃等於區(qū)間左端值的誤差算入該區(qū)間內(nèi)和2100.4992110.501返回目錄

誤差分佈的情況，除了採用上述誤差分佈的形式表達(dá)外，還可以利用圖形來表達(dá)。例如，以橫坐標(biāo)表示誤差的大小，縱坐標(biāo)代表各區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率除以區(qū)間的間隔值，即（此處間隔值均取d△=0.22″)分別根據(jù)表1-1和圖1-1?？梢?，此時(shí)圖中每一誤差區(qū)間上的長方條面積就代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)的頻率。例如，圖1-1中畫出斜線的長方條面積，就是代表誤差出現(xiàn)在0.00〃~+0.20〃區(qū)間內(nèi)的頻率0.128。這種圖通常稱為直方圖，它形象地表示了誤差的分佈情況。

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由此可知，在相同觀測條件下所得到的一組獨(dú)立觀測驗(yàn)的誤差，只要誤差的總個(gè)n足夠多，那麼，誤差出現(xiàn)在各區(qū)間內(nèi)的頻率就總是穩(wěn)定在某一常數(shù)（理論頻率）附近，而且當(dāng)觀測個(gè)數(shù)愈多時(shí)，穩(wěn)定的程度也就愈大。例如，就表1-1的一組誤差而言，在觀測條件不變的情況下，如果再繼續(xù)觀測更多的三角形，則可預(yù)知，隨著觀測的個(gè)數(shù)愈來愈多，誤差出現(xiàn)在各區(qū)間內(nèi)的頻率，其變動的幅度也就愈來愈小，當(dāng)n→∞時(shí)，各頻率也就趨於一個(gè)完全確定的數(shù)值，這就是誤差出現(xiàn)在各區(qū)間的概率。這就是說，在一定的觀測條件下，對應(yīng)著一種確定的誤差分佈。在n→∞的情況下，由於誤差出現(xiàn)的頻率已趨於完全穩(wěn)定，如果此時(shí)把誤差區(qū)間間隔無限縮小，則可想像到，圖1-1及圖1-2中各長方條頂邊所形成的折線將分別變成如圖1-3所示的兩條光滑的曲線。這種曲線也就是誤差的概率分佈曲線，或稱為誤差分佈曲線。由此可見，偶然誤差的頻率分佈，隨著n的逐漸增大，都是以正態(tài)分佈為其極限。通常也稱偶然誤差的頻率分佈為其經(jīng)驗(yàn)分佈，而將正態(tài)分佈稱為它們的理論分佈。因此，在以後的理論研究中，都是以正態(tài)分開布作為描述偶然誤差分佈的數(shù)學(xué)模型，這不僅可以帶來工作上的便利，而且基本上也是符合實(shí)際情況的.

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通過以上講座我們還可以進(jìn)一步用概率的術(shù)語來概括偶然誤差的幾個(gè)特性：1．在一定的觀測條件下，誤差的絕對值有一定的限值，或者說，超出一定限值的誤差，其出現(xiàn)的概率為零；2．絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概率大；3．絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同；4．根據(jù)（1-3）式可知，偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，即

（1-4）換句話說，偶然誤差的理論平均值為零。對於一系列的觀測而言，不論其觀測條件是好是差，也不論是對同一個(gè)量還是對不同量進(jìn)行觀測，只要這些觀測是在相同的條件下獨(dú)立進(jìn)行的，則所產(chǎn)生的一組偶然誤差必然具有上述的四個(gè)特性。返回目錄

圖1-1和圖1-2中各長方條的縱坐標(biāo)為，其面積即為誤差出現(xiàn)在該區(qū)內(nèi)的頻率。如果將這個(gè)結(jié)果提到理論上來討論，則以理論分佈取代經(jīng)驗(yàn)分佈（1-3），此時(shí)，圖1-1和圖1-2中各長方條的縱坐標(biāo)就是△的密度函數(shù)f（△），而長方條的面積為f（△）d△,即代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)的概率，即

P（△）=f(△)d△(1-5)

顧及（1-4）式，可寫出△的概率密度式為

（1-6）式中為中誤差。當(dāng)上式中的參數(shù)確定後，即可畫出它所對應(yīng)誤差分佈曲線。由於E（△）=0，所以該曲線是以橫坐標(biāo)為0處的縱軸為對稱軸。當(dāng)不同時(shí)，曲線的位置不變，但分佈曲線的開頭將發(fā)生變化。例如，圖1-3中就是表示不相等時(shí)的兩條曲線。上述講座可知，偶然誤差△是服從N（0，）分佈的隨機(jī)變數(shù)。返回目錄第三節(jié)衡量精度的指標(biāo)

測量平差的主要任務(wù)之一，就是評定測量成果的精度。如何正確理解“精度”的含義以及怎樣衡量精度的高低？這是本節(jié)所要討論的主要內(nèi)容。

一方差和中誤差

二其他精度指標(biāo)

三權(quán)與協(xié)因數(shù)

四精度與準(zhǔn)確度返回目錄

為了闡述精度的含義，先分析上節(jié)中的兩個(gè)實(shí)例。圖1-1和圖1-2分別是在不同的觀測條件下所測得的兩組誤差的頻率分佈圖（直方圖），圖中每個(gè)長方條的面積就是誤差出現(xiàn)時(shí)於該區(qū)間內(nèi)的頻率。頻率的大小見表1-1及表1-2中的數(shù)值。不難理解，如果將表1-1中0.00〃~-0.20〃和0.00〃~+0.20〃這兩個(gè)區(qū)間的頻率相加，即得-0.20~+0.20〃區(qū)間內(nèi)的頻率為0.254。如果按此法進(jìn)行累計(jì)，則知誤差出現(xiàn)於-0.60〃~+0.60〃區(qū)間內(nèi)的頻率為0.665。這就是說，在表1-1的這組誤差中，出現(xiàn)於-0.60〃~+0.60〃區(qū)間以內(nèi)的誤差占誤差總數(shù)的66.5%；而出現(xiàn)在這一區(qū)間以外的誤差，即絕對值大於0.6〃誤差，其頻率為1-0.665=0.335,即占誤差總數(shù)的33.5%。如果對表1-2的那組誤差也如此累計(jì)，即知出現(xiàn)在-0.60〃~+0.60〃區(qū)間內(nèi)的頻率為0.492，而出現(xiàn)於這一區(qū)間以外的頻率為1-0.492=0.508。這就是說，出現(xiàn)於-0.60〃~+0.60〃這一區(qū)間之內(nèi)和區(qū)間之外的誤差，各占誤差總數(shù)的49.2%和50.8%。上述數(shù)字說明了，表1-1中的誤差更集中於零附近，因此可以說這一組誤差分佈得為密集，或者說它的離散度??；相對而言，可以說表1-2中的誤差分佈得較為離散或者說它的離散度大。返回目錄

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從直方圖來看，誤差分佈較為密集的圖1-1，其圖形在縱軸附近的頂峰則較高，且由各長方條所構(gòu)成的階梯比較陡峭；而誤差分佈較為分散的圖1-2，在縱軸附近的頂峰則較低，且其階梯較為平緩。這個(gè)性質(zhì)同樣反映在誤差分佈曲線（圖1-3）的形態(tài)上，即誤差分佈曲線（I）較高而陡峭，誤差分佈曲線（Ⅱ）則較而平緩。在一定的觀測條件下進(jìn)行的一組觀測，它對應(yīng)著一種確定的誤差分佈。不難理解，如果分佈較為密集，即離散度較小時(shí)，則表示該組觀測品質(zhì)較好，也就是說，這一級觀測精度較高；反之，如果分佈較為離散，即離散較大時(shí)，則表示該組觀測品質(zhì)較差，也就是說，這一組觀測精度較低。

因此，所謂精度，就是指誤差分佈的密集世界形勢離散的程度，也就是指離散度的大小。假如兩組觀測成果的誤差分佈相同，便是兩組觀測成果的精度相同；反之，若誤差分佈不同，則精度也就不同。在相同的觀測條件下所進(jìn)行的一組觀測，由於它們對應(yīng)著同一種誤差分佈，因此，對於這一組中的每一個(gè)觀測值，都稱為是同精度觀測值。返回目錄

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例如，表1-1中所列的358個(gè)觀測結(jié)果是在相同觀測條件下測得的，各個(gè)結(jié)果的真誤差彼此並不相等，有的甚至相差很大（例如有的出現(xiàn)於0.00〃~-0.20〃區(qū)間，有的出現(xiàn)於0.40〃~-1.60〃區(qū)間），但是，由於它們所對應(yīng)的誤差分佈相同，因此，這些結(jié)果彼此是同精度的。將上節(jié)表1-1及表1-2中數(shù)值相比較可知，表1-2中的誤差分佈比表1-1中的誤差分佈較為離散，因此，表1-2中的421個(gè)觀測值，其精度均低於表1-1中的觀測值。為了衡量觀測值的精度高低，當(dāng)然可能按上節(jié)的方法，把在一組相同條件下得到的誤差，用組成誤差分佈表、繪製直方圖或畫出誤差分佈曲線的方法來比較。但在實(shí)際工作中，這樣做比較麻煩，有是甚至很困難，而且人們還需要對精度有一個(gè)數(shù)字概念。這種具體的數(shù)字應(yīng)該能夠反映誤差分佈的密集或離散的程度，即應(yīng)能夠反映其離散度的大小，因此稱它為衡量精度的指標(biāo)。

衡量精度的指標(biāo)有很多種，下麵介紹幾種常用的精度指標(biāo)。返回目錄

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一、方差和中誤差由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)知，隨機(jī)變數(shù)X的方差定義為（1-7）式中，f（x）X概率分佈密度函數(shù)。X的方差也可記為D（X）或Dx。觀測值L和觀測值的真誤差△均為隨機(jī)變數(shù)，因此，它們的方差應(yīng)是：

顧及則

（1-8）可見，任一觀測值的方差與觀測值誤差的方差恒等。誤差△的概率密度函數(shù)為式中是誤差分佈的方差。返回目錄

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由方差的定義知（1-9）式中就是中誤差（1-10）不同的將對應(yīng)著不同形狀的分佈曲線，愈小，曲線愈為陡峭，愈大，則曲線愈為平緩。正態(tài)分佈曲線具有兩個(gè)拐點(diǎn)，它們在橫軸上的座標(biāo)為為變數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。對於偶然誤差而言，由於其數(shù)學(xué)期望E（△）=0，所以拐點(diǎn)在橫軸上的座標(biāo)應(yīng)為（1-11）由此可見，的大小可以反映精度的高低。故常用中誤差作為衡量精度的指標(biāo)。如果在相同的條件下得到了一組獨(dú)立的觀測誤差，可由（1-9）式，並根據(jù)定積分的定義可以寫出

或返回目錄

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即根據(jù)（1-12）式的第一式或（1-9）式定義的方差，是真誤差平方（）的數(shù)學(xué)期望，也就是的理論平均值。在分佈律為已知的情況下，它是一個(gè)確定的常數(shù)?；蛘哒f，（1-12）式中的方差和中誤差，分別是和的極限值，它們都是理論上的數(shù)值。但是，實(shí)際上觀測個(gè)數(shù)n總是有限的，由有限個(gè)觀測值的真誤差只能求得方差和中誤差的估值。方差和中誤差的估值將用符號表示，即

（1-13）返回目錄

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當(dāng)真值或理論值未知時(shí)，可用算術(shù)平均值作為真值的估值，計(jì)算公式為

（1-13）a

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，Xi稱為子樣值稱為子樣均值。有了子樣均值現(xiàn)計(jì)算子樣方差，並以此作為觀測值方差的估值，其計(jì)算式為

（1-13）b

上式分母採用0-1而不是n，以此保證子樣方差的無偏性。返回目錄

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二、其他精度指標(biāo)

1.偶然誤差

在一定的觀測條件下，一組獨(dú)立的偶然誤差絕對值的數(shù)學(xué)期望稱為平均誤差。設(shè)以θ表示平均誤差，則有，同樣，如果在相同條件下得到了一組獨(dú)立的觀測誤差，上式也可寫為（1-14）

即平均誤差是一組獨(dú)立的偶然誤差絕對值的算術(shù)平均值之極限值。因?yàn)榉祷啬夸?/p>

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所以（1-15）

（1-16）上式是平均誤差θ與中誤差σ的理論關(guān)係式，由此式可以看到，不同大小的θ，對應(yīng)著不同的σ，也就對應(yīng)著不同的誤差分佈曲線。因此，也可以用平均誤差θ作為衡量精度的指標(biāo)。由於觀測值的個(gè)數(shù)n總是一個(gè)有限值，因此在實(shí)用上也只能用θ的估值來衡量精度，並用表示θ的估值，但仍簡稱為平均誤差。則（1-17）返回目錄

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2．或然誤差

隨機(jī)變數(shù)X落入?yún)^(qū)間（a，b）內(nèi)的概率為對於偶然誤差△來說，誤差△落入?yún)^(qū)間（a,b）的概率為（1-18）

或然誤差ρ是這樣定義的：誤差出現(xiàn)在（-ρ，+ρ）之間的概率等於1/2，即（1-19）如圖1-4所示，圖中的誤差分佈曲線與橫軸所包圍的面積為1，則在曲線下（-ρ，+ρ）間的面積為1/2。

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將△的概率密度代入（1-19）式，並作變數(shù)代換，令則得由概率積分表可查得，當(dāng)概率為1/2時(shí)，積分限為0.6745,即得（1-20）上式是或然誤差ρ與中誤差σ的理論關(guān)係。由此式也可以看到不同的ρ也對應(yīng)著不同的誤差分佈曲線，因此，或然誤差ρ也可以作為衡量精度的指標(biāo)。實(shí)用上，因?yàn)橛^測值個(gè)數(shù)n是有限值，因此也只能得到ρ的估值，但仍簡稱為或然誤差。它是這樣求得的：將在相同觀測條件下得到的一組誤差，按絕對值的大小排列，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，取位於中間的一個(gè)誤差值作為，返回目錄

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當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則取中間兩個(gè)誤差值的平均值作為。在實(shí)用上，通常都是先求出中誤差的估值，然後按（1-20）式求出或然誤差。3．極限誤差

中誤差不是代表個(gè)別誤差的大小，而是代表誤差分佈的離散度的大小。由中誤差的定義式可知，它是代表一組同精度觀測誤差平方的平均值的平方根極限值，中誤差愈小，即表示在該組觀測中，絕對值較小的誤差愈多。按正態(tài)分佈表查得，在大量同精度觀測的一組誤差中，誤差落在（-σ，+σ），（-2σ，+3σ）和（-3σ，+3σ）的概率分別為（1-21）

這就是說，絕對值大於中誤差，其出現(xiàn)的概率為31.7%；而絕對值大於二倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率為4.5%；特別是絕對值大於三倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率公有0.3%，返回目錄

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這已經(jīng)是概率接近於零的小概率事件，或者說這是實(shí)際上的不可能事件。因此，通常取三倍中誤差作為偶然誤差的極限值△限，並稱為極限誤差。即△限=3σ（1-22）實(shí)踐中，也有採用2σ作為極限誤差的。實(shí)用上則以中誤差的估值代替，即以或作為極限誤差。同時(shí)，（1-21）式也反映了中誤差與真誤差間的概率關(guān)係。在測量工作中，如果某誤差超過了極限誤差，那就可以認(rèn)為它是錯(cuò)誤，相應(yīng)的觀測值應(yīng)舍去不用。4．相對誤差

對於某些觀測結(jié)果，有時(shí)單靠中誤差還不能完全表達(dá)觀測結(jié)果的好壞。例如，分別測量了1000m及80m的兩段距離觀測值的中誤差均為±2cm，雖然兩者的中誤差相同，但就單位長度而言，兩者精度並不相同。顯然前者的相對精度比後者要高。此時(shí)，須採用另一種辦法來衡量精度，通常採用相對中誤差，它是中誤差與觀測值之比。如上述兩段距離，前者的相對誤差為，而後者則為。返回目錄

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相對中誤差是個(gè)無名數(shù)，在測量中一般將分子化為1，即用表示。對於真誤差與極限誤差，有時(shí)也用相對誤差來表示。例如，經(jīng)緯儀導(dǎo)線測量時(shí)，規(guī)範(fàn)中所規(guī)定的相對閉合差不能超過，它就是相對極限誤差；而在實(shí)測中所產(chǎn)生的相對閉合差，則是相對真誤差。與相對誤差相對應(yīng)，真誤差、中誤差、極限誤差等均稱為絕對誤差。三、權(quán)與協(xié)因數(shù)

方差是表徵精度的一個(gè)絕對的數(shù)字指標(biāo)。為了比較各觀測值之間的相對精度，可以用方差間的比例關(guān)係來衡量。這種表示各觀測值方差之間比例關(guān)係的數(shù)字特徵之權(quán)。所以，權(quán)是表徵精度的相對的數(shù)字指標(biāo)。在測量實(shí)際工作中，平差計(jì)算之前精度的絕對指標(biāo)（方差）往往是不知道的，而精度的相對的數(shù)字指標(biāo)（權(quán)）卻可以根據(jù)事先給定的條件予以確定，然後根據(jù)平差的結(jié)果估算出表徵精度的絕對的數(shù)字指標(biāo)（方差）。因此，權(quán)在平差計(jì)算中將起著很重要的作用。返回目錄

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1．權(quán)的定義

設(shè)有觀測值，它們的方差為如選定任一常數(shù)，則定義（1-23）並稱為觀測值的權(quán)。由權(quán)的定義式（1-23）可以寫出各觀測值的權(quán)之間的比例關(guān)係為（1-24）可見，對於一組觀測值，其權(quán)之比等於相應(yīng)方差的倒數(shù)之比，這就表明，方差（或中誤差）愈小，其權(quán)愈大；或者說，精度愈高，其權(quán)愈大。因此，權(quán)可以作為比較觀測值之間的精度高低的一種指標(biāo)。就普遍情況而言，（1-23）式中的方差，可以是同一個(gè)量的觀測值的方差，也可以是不同量的觀測值的方差。就是說，用權(quán)來比較各觀測值之間的精度高代，不限於是對同一量的觀測值，同樣也適用於對不同量的觀測值。返回目錄

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在式（1-23）中，是可以任意定的常數(shù)，例如在如圖的水準(zhǔn)網(wǎng)中，已知各條路線的距離為

S1=1.5kmS2=2.5kmS3=2.0kmS4=4.0kmS5=3.0km

在該水準(zhǔn)網(wǎng)中，如果我們並不知道每公里觀測中誤差的具體數(shù)值，而只知道每公里觀測高差的精度相同，例如，水準(zhǔn)網(wǎng)中的所有水準(zhǔn)路線都是按同一等級水準(zhǔn)測量規(guī)定的技術(shù)要求進(jìn)行觀測的，那麼，一般就可認(rèn)為每公里觀測高差的精度是相同的，此時(shí)若假定每公里觀測高差差的中誤差為，則根據(jù)協(xié)方差傳播律可知，各線路觀測高差的中誤差為0

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如令，則得可以看出，在上述事先給定的條件之下（即每公里觀測高差的精度相同，各線路的距離不等），由於，其中是一個(gè)定值，Si為第i條線路的公里數(shù)，當(dāng)Si愈小，則愈小，而其對應(yīng)的權(quán)則愈大，反之亦然。所以，通過權(quán)的大小可以反映各觀測高差的精度高低。若另選則得這一組權(quán)雖然由於所取的值不同，其大小與前一組不同，但它們同樣能反映各觀測高差間的精度高低。由以上例子可知，對於一組已知中誤差的觀測值而言：（1）選定了一個(gè)值，即有一組對應(yīng)的權(quán)。或者說有一組權(quán)，必有一個(gè)對應(yīng)的值。返回目錄

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（2）一組觀測值的權(quán)，其大小是隨的不同而異，但不論選用何值，權(quán)之間的比例關(guān)係始終不變。如果設(shè)觀測值對於選定的和的權(quán)分別為和則有例如，前述的兩組權(quán)之比為

（3）為了使權(quán)能起到比較精度高低的作用，在同一問題中只能選定一個(gè)值，不能同時(shí)選用幾個(gè)不同的值，否則就破壞了權(quán)之間的比例關(guān)係。（4）只要事先給定了一定的條件，例如，已知每公里觀測高差的精度相同和各水準(zhǔn)線路的公里數(shù)，則不一定要知道每公里觀測高差精度的具體數(shù)值，就要以確定出權(quán)的數(shù)值。

由以上討論可知，方差用來反映觀測值的絕對精度，而權(quán)僅是用來比較各觀測值相互之間精度高低的比例數(shù)。因而，權(quán)的意義，不在於它們本身數(shù)值的大小，而重要的是它們之間所存在的比例關(guān)係。返回目錄

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2．單位權(quán)中誤差

在上述的水準(zhǔn)網(wǎng)的前一組權(quán)中，因令，實(shí)際上就是以h5的精度作為標(biāo)準(zhǔn)，其他觀測高差的精度都是和它進(jìn)行比較。因此，h5的權(quán)p5=1而其他的觀測高差的權(quán)，則是以p5作為單位而確定出來的。同樣，在後一組權(quán)中，因令故，其他觀測，高差的權(quán)，就是以作為單位而確定出來的。由此可見，凡是中誤差等於的觀測值，其權(quán)必然等於1；或者說，權(quán)為1的觀測值的中誤差必然等於。因此，通常稱為單位權(quán)中誤差，而稱為單位權(quán)方差或方差因數(shù)，把權(quán)等於1的觀測值，稱為單位權(quán)觀測值。例如，在例中，前一組權(quán)中的p5=1,此時(shí)令所以就是單位權(quán)中誤差，就是單位權(quán)觀測值；而後一組權(quán)中的此時(shí)令，所以就是單位權(quán)中誤差，就是單位權(quán)觀測值。因?yàn)榭梢允侨我膺x定的某一常數(shù)，故所選定的也可能不等於某一個(gè)具體觀測值的中誤差。返回目錄

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例如，對於上述水準(zhǔn)網(wǎng)，若選定，則可求得一組權(quán)為這時(shí)，不再是5個(gè)觀測值中某一個(gè)的中誤差。因而，也就不出現(xiàn)數(shù)值為1的權(quán)。所以為了實(shí)際的需要或計(jì)算上的方便，可以選取某一假定的觀測值作為單位權(quán)觀測值，以這個(gè)假定觀測值的中誤差作為單位權(quán)中誤差。如這裏選它是代表路線長度為6公里的觀測高差的中誤差，因此，路線長度為6公里的觀測高差就是單位權(quán)觀測值，它的中誤差就是單位權(quán)中誤差。在確定一組同類元素的觀測值的權(quán)時(shí)，所選取的單位權(quán)中誤差的單位，一般是與觀測值中誤差的單位相同的，由於權(quán)是單位權(quán)中誤差平方與觀測值中誤差平方之比，所以，權(quán)一般是一組無量綱的數(shù)值，也就是說，在這種情況下權(quán)是沒有單位的。但如果需要確定權(quán)的觀測值（或它們的函數(shù)）包含有兩種以上的瑣類型元素時(shí)，情況就不同了。例如，要確定其權(quán)的觀測值（或它們的函數(shù)）包含有角度和長度，它們的中誤差的單位分別為“秒”和“毫米”。返回目錄

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若選取的單位權(quán)中誤差的單位是秒，即與角度觀測值之中誤差單位相同，那麼，各個(gè)角度觀測值的權(quán)是無量綱（或無單位）的，而長度觀測值的權(quán)的量綱則為“秒2/mm2”。這種情況在平差計(jì)算中是常常會遇到的。3．協(xié)因數(shù)

由權(quán)的定義知道，觀測值的權(quán)與它的方差成反比。設(shè)有觀測值Li和Lj，它們的方差分別為和，我們令（1-25）或?qū)憺椋?-26）稱Qii和Qjj分別為Li和Lj的協(xié)因數(shù)或權(quán)倒數(shù)。在式（1-25）和（1-26）中，仍然是單位權(quán)中誤差。返回目錄

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四、精度與準(zhǔn)確度

所謂觀測值的精度，是指在一定觀測條件下，一組觀測值密集與離散的程度，方差就是觀測值的精度指標(biāo)之一。由方差定義式（1-7）可知，精度實(shí)際上反映了該組觀測值與其理論平均值（即數(shù)學(xué)期望）接近或離散的程度。當(dāng)觀測值的個(gè)數(shù)n充分大時(shí)，也可以說，精度是以觀測值自身的平均值為標(biāo)準(zhǔn)的。觀測條件好，觀測值越密集，則該組觀測值的精度愈高。

所謂準(zhǔn)確度，是指觀測值的數(shù)學(xué)期望E（L）與其真值接近的程度。由於觀測值與其真值之間存在如下的關(guān)係對上式求期望得返回目錄

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即（1-27）可見，只有當(dāng)觀測值中不含系統(tǒng)誤差和粗差，即只含偶然誤差的情況下，等於零，故有（1-28）

反之，當(dāng)觀測組中含有系統(tǒng)誤差或粗差或兩者均有的情況下，就不等於零，此時(shí)，觀測值的數(shù)學(xué)期望將偏離其真值。返回目錄

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第四節(jié)協(xié)方差陣、協(xié)因數(shù)陣和權(quán)陣

第三節(jié)中，我們討論了如何描述單個(gè)觀測量的精度指標(biāo)並且著重討論了觀測值的方差。但在測量數(shù)據(jù)處理實(shí)踐中，通常碰到的是由n個(gè)觀測值所組成的n維觀測值向量。為描述

n維觀測值向量L的精度，必須引進(jìn)協(xié)方差陣以及協(xié)因數(shù)陣與權(quán)陣的概念。一、協(xié)方差陣

設(shè)有觀測值X和Y，則它們的協(xié)方差被定義為，（1-29）式中和分別為X和Y的真誤差，即

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故(1-29)式可寫為（1-30）從（1-29）和（1-30）兩式可以看出，協(xié)方差是用數(shù)學(xué)期望來定義的。其中是觀測值的真誤差，是觀測值的真誤差，而協(xié)方差則是這兩種真誤差所有可能取值的乘積的理論平均值，即（1-31）因?qū)嵱蒙蟦總是有限值，所以也只能求得它的估計(jì)記為

（1-32）當(dāng)X和Y的協(xié)方差時(shí)，表示這兩個(gè)（或兩組）觀測值的誤差之間互不影響，或者說，它們的誤差是不相關(guān)的，並稱這些觀測值為不相關(guān)的觀測值；如果則表示它們的誤差是相關(guān)的，稱這些觀測值為相關(guān)觀測值。返回目錄

由於在測量上所涉及的觀測值和觀測誤差都是服從正態(tài)分佈的隨機(jī)變數(shù)，對於正態(tài)隨機(jī)變數(shù)而言，“不相關(guān)”與“獨(dú)立”是等價(jià)的，所以把不相關(guān)觀測值也稱為獨(dú)立觀測值，同樣反相關(guān)觀測值也稱為不獨(dú)立觀測值。獨(dú)立觀測值之間的協(xié)方差這一性質(zhì)，可以這樣來證明：由於與相互獨(dú)立，所以顧及（1-4）式得。在測量工作中，直接觀測得到的高差、距離、方向等，都是獨(dú)立觀測值，而經(jīng)過數(shù)據(jù)處理才得到的觀測量，如GPS基線向量的三個(gè)分量就是不獨(dú)立觀測值，或稱為相關(guān)觀測值，又如各種控制網(wǎng)根據(jù)直接觀測值求得的各點(diǎn)的座標(biāo)也是相關(guān)觀測值。假定有n個(gè)不同精度的相關(guān)觀測值，它們的數(shù)學(xué)期望和方差為，它們兩個(gè)之間的協(xié)方差為，用矩陣表示為返回目錄

（1-33）

式中為觀測值向量，或簡稱為觀測值；為X的數(shù)學(xué)期望；而稱Dxx的方差協(xié)方差陣，簡稱為協(xié)方差陣。如果有觀測值，它們的數(shù)學(xué)期望分別為。若記返回目錄

則Z的方差陣Dzz為其中DXX和DYY分別為X和Y的協(xié)方差陣，而

（1-34）且有稱DXY為觀測值向量X關(guān)於Y的互協(xié)方差陣。當(dāng)X和Y的維數(shù)n=r=1時(shí)（即X、Y都是一個(gè)觀測值），互協(xié)方差陣就是

X關(guān)於Y的協(xié)方差。若DXY=0，則稱X與Y是相互獨(dú)立的觀測向量。返回目錄

關(guān)於協(xié)方差的估算總是仍可依照方差的估算方法進(jìn)行。即當(dāng)真值已知，用（1-32）式可估算協(xié)方差.當(dāng)真值未知時(shí)，則可採用下式值估算：（1-35）式中，、分別為x、y的子樣均值。二、協(xié)因數(shù)陣

第三節(jié)中我們已經(jīng)定義了一個(gè)觀測值的協(xié)因數(shù)，即觀測值的權(quán)倒數(shù)，其運(yùn)算式為：有了協(xié)方差的概念後，即可定義兩個(gè)隨機(jī)變數(shù)之間的互協(xié)因數(shù)，其運(yùn)算式為：（1-36）返回目錄

現(xiàn)將n維隨機(jī)向量的方差的定義（1-33），同乘以一個(gè)純量因數(shù)，並顧及以上兩式，則得：

（1-37）通常，將由協(xié)因數(shù)和互協(xié)因數(shù)按照一定順序排列成的矩陣稱為協(xié)因數(shù)陣，記作，即

（1-38）

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對照（1-36）和（1-25）兩式可知，在協(xié)因數(shù)陣中，主對角線元素實(shí)為隨機(jī)變數(shù)的協(xié)因數(shù)，即權(quán)倒數(shù)，而非主對角元素實(shí)為隨機(jī)變數(shù)關(guān)於隨機(jī)變數(shù)的互協(xié)因數(shù)，且有。由（1-36）式知，互協(xié)因數(shù)與協(xié)方差一樣，也是兩個(gè)隨機(jī)變數(shù)相關(guān)程度的標(biāo)誌。當(dāng)時(shí)，則互不相關(guān)。由（1-37）式即得任一隨機(jī)向量的協(xié)因數(shù)陣與協(xié)方差陣之間的關(guān)係式為（1-39）

上式表明：任一隨機(jī)向量的協(xié)方差陣恒等於它的協(xié)因數(shù)陣與單位權(quán)方差因數(shù)的乘積。返回目錄

同樣，如果有觀測值，若當(dāng)，則Z的協(xié)因數(shù)陣Qzz為

（1-40）式中，QXX、QYY分別為X，Y向量的協(xié)因數(shù)陣，QXY中的元素就是Xi關(guān)於Yi的相關(guān)協(xié)因數(shù)，而QXY稱為互協(xié)因QXX和QYY互為轉(zhuǎn)量。當(dāng)QXY=0，則表示X、Y這兩個(gè)向量組互不相關(guān)。換言之，欲證明兩個(gè)向量組是互不相關(guān)的，只需證明這兩量間的互協(xié)因數(shù)陣為零即可。返回目錄

三、權(quán)陣

由（1-25）式知，一個(gè)觀測值Li的權(quán)Pi與其協(xié)因數(shù)

Qii互為倒數(shù)，即有（1-41）a

或?qū)憺椋?-41）b

將上述概念推廣，即可定義n維觀測值向量的權(quán)陣為（1-42）a

即，觀測值向量X的權(quán)陣是其協(xié)因數(shù)陣的逆陣?；蛘哒f，協(xié)因數(shù)陣和權(quán)陣互為逆矩陣。因此，下式成立（1-42）b

將上式代入（1-39）式，即得觀測值向量X的權(quán)陣與其協(xié)方差陣之間的關(guān)係式為（1-43）返回目錄

由於DXX是對稱矩陣，因此，PXX也是對稱矩陣。若記權(quán)陣為：

（1-44）

則有。設(shè)有獨(dú)立觀測值，其方差為，權(quán)為Pi，單位權(quán)方差為，現(xiàn)組成向量和矩陣返回目錄

則由（1-23）式知，L的協(xié)因數(shù)陣為

（1-45）則有（1-46）可見，PLL是由獨(dú)立觀測值Li的權(quán)pi構(gòu)成的對角陣，且PLL與權(quán)逆陣（協(xié)因數(shù)陣）QLL互為逆陣，通常稱PLL為L的權(quán)陣。類似地，對相關(guān)的觀測向量X，如令

（1-47）返回目錄

這時(shí)，PXX與QXX均不是對角矩陣，它們分別為

（1-48）由（1-47）知

（1-49）進(jìn)一步展開得：（1-50）（1-51）可見，當(dāng)觀測值向量中的觀測值相關(guān)時(shí)，其權(quán)陣0中的主對角線元素Pii不是觀測值Li的權(quán)Pi。返回目錄

第五節(jié)廣義傳播律

在實(shí)際工作中，往往會遇到某些量的大小並不是直接測定的，而是由觀測值通過一定的函數(shù)關(guān)係間接計(jì)算出來的，即常常遇到的某些量是觀測值的函數(shù)。這類例子很多，例如，在一個(gè)三角形中，觀測了三內(nèi)角L1、L2、L3，其閉合差ω和將閉合差平均分配之後所行的各角平差值為

又如，在側(cè)方交會中（如圖1-7），已知A、B兩點(diǎn)的座標(biāo)xA、yA和xB、yB，它們之間的距離為S0和座標(biāo)方位角為a0,由交會觀測角L1、L2通過以下公式求交會點(diǎn)的座標(biāo)：返回目錄

現(xiàn)在提出這樣一個(gè)問題：觀測值的函數(shù)的中誤差值的中誤差之間，存在著怎樣的關(guān)係？觀測值函數(shù)的協(xié)因數(shù)與觀測值的協(xié)因素之間，存大著怎樣的關(guān)係？本節(jié)將導(dǎo)出這些關(guān)係式，我們把這些關(guān)係式稱為廣義傳播律。一、協(xié)方差傳播律1．觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣

設(shè)有觀測值，其數(shù)學(xué)期望，協(xié)方差陣為返回目錄

即

（1-52）

其中為Xi

的方差，為Xi與Xj的協(xié)方差，又設(shè)有X的線性函數(shù)為（1-53）式中（1-53）式的純量形式為

（1-54）返回目錄

現(xiàn)在來求Z的方差DZZ。對（1-53）取數(shù)學(xué)期望，得（1-55）根據(jù)方差的定義可知，Z的方差為

將（1-53）和（1-55）代入上式，得所以(1-56)將上式展開成純量形式，得

（1-57）返回目錄

當(dāng)向量中的各分量兩兩獨(dú)立時(shí)，它們之間的協(xié)方差。此時(shí)上式為（1-58）通常將（1-56）、（1-57）和（1-58）諸式稱為協(xié)方差傳播律。其中（1-58）式是（1-57）式的特例。2．多個(gè)觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣

設(shè)有觀測值，它的數(shù)學(xué)期望與協(xié)方差陣，如（1-52）式，若有x的m個(gè)線性函數(shù)

（1-59）返回目錄

下麵來求函數(shù)Z1、Z2、…Zm、的方差和它們之間的協(xié)方差。若令則（1-59）式可寫為（1-60）也就是要求Z的協(xié)方差陣DZZ。因?yàn)閆的數(shù)學(xué)期望為