2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第4講 函數(shù)三要素-原卷版 41

第4講函數(shù)三要素通關(guān)一、函數(shù)符號的理解對應(yīng)法則是函數(shù)概念的核心，的含義是：等于在法則下的對應(yīng)值，而是對應(yīng)得以實(shí)現(xiàn)的方法和途徑，是聯(lián)系與的紐帶，因此是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征，甚至用什么字母表示自變量、因變量和對應(yīng)法則，是無關(guān)緊要的.的含義與又不同，前者表示自變量時(shí)所得的函數(shù)值，它是一個(gè)常量，后者是的函數(shù)，在通常情況下，是一個(gè)變量，是的一個(gè)特殊值.通關(guān)二、函數(shù)的值域 （1）觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到；（2）利用常見函數(shù)的值域：一次函數(shù)的值域?yàn)?；二次函?shù)利用配方法，結(jié)合定義域求出值域；反比例函數(shù)的值域?yàn)?；指?shù)函數(shù)的值域是；對數(shù)函數(shù)的值域是；正、余弦函數(shù)的值域是；正切函數(shù)的值域是；（3）單調(diào)性法：先利用函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求函數(shù)的值域；（4）分離常數(shù)法：即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域；（5）換元法：對于一些無理函數(shù)（如），通過換元把它們轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)，然后通過求有理函數(shù)的值域，間接地求解原函數(shù)的值域；（6）不等式法;利用幾個(gè)重要不等式及推論來求得最值，進(jìn)而求得值域，如：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；（7）判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于的一元二次方程，利用判別式求值域，形如或的函數(shù)適用，注意的取值范圍；（8）有界性法：充分利用三角函數(shù)或一些代數(shù)表達(dá)式的有界性，求出值域，因?yàn)槌３霈F(xiàn)反解出的表達(dá)式的過程，也稱為反解有界性法；（9）配方法：它是求“二次函數(shù)型函數(shù)”值域的基本方法，形如的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法；（10）數(shù)形結(jié)合法：若函數(shù)的解析式的幾何意義較明顯，如距離、斜率等，可用數(shù)形結(jié)合法；（11）導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域時(shí)，一種是利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性求值域；另一種是利用導(dǎo)數(shù)與極值、最值的關(guān)系求函數(shù)的值域.【結(jié)論第講】1．是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù).1．是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù).2.是分式時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù)的集合.3.是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)的集合.4．對數(shù)函數(shù)中真數(shù)大于0，底數(shù)需大于0且不等于1.5．指數(shù)函數(shù)的底數(shù)含有變量時(shí)，底數(shù)需大于0且不等于1.6．正切函數(shù)定義域?yàn)?7函數(shù)的定義域?yàn)?8若是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算合成的函數(shù)，則其定義域一般是各個(gè)基本初等函數(shù)定義域的交集.【例1】函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【變式】函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．結(jié)論二、抽象函數(shù)定義域的求解1.若已知函數(shù)1.若已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則復(fù)合函數(shù)的定義域由不等式解得的解集即為的定義域.2.若已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則由可確定的范圍，所以的值域即為的定義域.【例2】設(shè)，則的定義域?yàn)椋ǎ〢． B．C． D．【變式】已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域?yàn)開_________.函數(shù)概念含有三個(gè)要素，即定義域A、值域B、和對應(yīng)法則，其中核心是對應(yīng)法則函數(shù)概念含有三個(gè)要素，即定義域A、值域B、和對應(yīng)法則，其中核心是對應(yīng)法則，它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征，只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)，換言之就是：（1）定義域不同，兩個(gè)函數(shù)也就不同.（2）對應(yīng)法則不同，兩個(gè)函數(shù)也就不同.（3）即使定義域和值域都分別相同的兩個(gè)函數(shù)，它們也不一定是同一函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對應(yīng)法則.【例3】下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）A．與 B．與 C．與 D．與【變式】下列各對函數(shù)中,圖像完全相同的是().A． B． C. D．結(jié)論四、函數(shù)表達(dá)式1.配湊法;是將右端的代數(shù)式配湊成關(guān)于的形式,進(jìn)而求出的解析式;2.換元法:主要解決已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式求解函數(shù)的解析式的問題.令,解出,即用表示,然后代入中即可求得,從而求得.3.待定系數(shù)法:有些題目給出函數(shù)特征,求函數(shù)的解析式，可用待定系數(shù)法,比如函數(shù)是二次函數(shù),可設(shè)為,其中是待定系數(shù),根據(jù)題設(shè)條件,列出方程組,解出即可.4.函數(shù)方程法:主要解決已知函數(shù)的抽象關(guān)系式求解函數(shù)解析式的問題，將作為一個(gè)未知數(shù)來考慮,建立方程(組),消去另外的未知數(shù)便得到的表達(dá)式.【例】4 已知二次函數(shù),則=__________.【變式】已知滿足,則=__________.結(jié)論五、換元法求函數(shù)的值域?qū)⒑瘮?shù)解析式中關(guān)于的部分表達(dá)式視為一個(gè)整體，并用新元素代替,將解析式化歸為熟悉的函數(shù)，進(jìn)而解出值城,1.在換元的過程中,因?yàn)樽詈笫且眯略鉀Q值城,所以一旦換元,后面緊跟新元的取值范圍.2.換元的作用有兩個(gè):①通過換元可將函數(shù)解析式簡化,例如當(dāng)解析式中含有根式時(shí),通過將根式視為一個(gè)整體,換元后即可“消滅”根式,達(dá)到簡化解析式的目的.②化歸:可將不熟悉的函數(shù)轉(zhuǎn)化為會(huì)求值域的函數(shù)進(jìn)行處理.3.換元的過程本質(zhì)上是對研究對象進(jìn)行