2024年高考數(shù)學優(yōu)等生培優(yōu)第8講 函數(shù)的周期性-解析版46

第8講函數(shù)的周期性通關一、周期概念理解1.定義:設的定義城為,若對,存在一個非零常數(shù),有,則稱函數(shù)是一個周期函數(shù),稱為的一個周期.2.若是一個周期函數(shù),則,那么,即也是的一個周期,進而可得也是的一個周期.3.最小正周期:若為的一個周期,也是的一個周期,則在某些周期函數(shù)中,往往存在周期中最小的正數(shù),稱為最小正周期.然而并非所有的周期函數(shù)都有最小正周期,比如常值函數(shù)就沒有最小正周期.通關二、常見周期性結(jié)論函數(shù)周期性的一些結(jié)論序號函數(shù)式滿足關系()周期(1)(2)(3)(4)(5)或(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)結(jié)論一、型的周期為.也是函數(shù)的周期.【例1】定義在上的函數(shù)滿足:,當時,;當時,,則（）A．336 B．337 C．338 D．339【答案】C【解析】因為,當時,;當時,,所以,所以,因為,所以的周期為6,所以.故選C.【變式】函數(shù)的定義域為,且,當時,;當時,,則（）A．671 B．673 C．1343 D．1345【答案】D【解析】因為,所以,所以函數(shù)是周期為3的周期函數(shù).又當時,;當時,,所以,所以.故選D.結(jié)論二、型的周期為.【例2】已知在上是奇函數(shù),且滿足,當時,,則（）A． B． C． D．0【答案】A【解析】因為,所以的周期為10,因此.故選A. 【變式】設函數(shù)是定義在上的周期函數(shù),且,若,,則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為,所以,即,所以f(x)是周期為3的函數(shù)，所以f(2017)=f(1)=，又f(1)>-2，所以>-2,所以＜0,所以m(m+1)(m-3)<0,所以m<-1或0<m<3.故選B.結(jié)論三、f(x+a)=f(x±b)型f(x+a)=f(x-b)?y=f(x)的周期為T=a+b.f(x+a)=f(x+b)?y=f(x)的周期為T=b-a.【例3】已知函數(shù)f(x)的定義域為R,當x<0時f(x)=x3-1,當-1≤x≤1時，f(-x)＝-f(x),當x>時，f(x-)=f(x+)，則f(6)=（）. A.2 B.0 C.-1 D.-2【答案】A【解析】因為當x>時，f(x-)=f(x+)?T=1，所以f(6)=f(1)=-f(-1)＝-(-1-1)=2.故選A.【變式】已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，滿足f(x)+f(-x)=0，f(x-1)=f(x+1)，當x∈(0,1)時，f(x)=-x2+x，則函數(shù)f(x)的最小值為（） A. B. C. D.【答案】B【解析】由f(x?1)=f(x+1)可得f(x)是周期為2的周期函數(shù)，所以只需要求出一個周期內(nèi)的最值即可。由f(x)+f(?x)=0可得f(x)為奇函數(shù)，所以考慮區(qū)間(?1,1)，在x∈(0,1)時，f(x)=?(x?)2+，所以f(x)max=f()=，而由于f(x)為奇函數(shù)，所以在x∈(?1,0)時，f(x)min=f(?)=?f()=-，所以f()=即為f(x)在(-1,1)上的最小值，從而也是f(x)在R上的最小值.故選B.結(jié)論四、f(a+x)=?f(x?b)型若函數(shù)y=f(x)定義域為R，且滿足條件f(a+x)=-f(x?b)，則y=f(x)是以T=2(a+b)為周期的周期函數(shù)?！纠?】設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(x+1)=-f(x?1)，若f(?1)>1，f(5)=a2?2a?4，則實數(shù)a的取值范圍是（）. A.(-1,3) B.(-∞,-1)∪(3，+∞) C.(-3，1) D.(-∞,-3)∪(1，+∞)【答案】A【解析】由f(x+1)=-f(x?1)可得f(x+2)=?f(x)，則f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，故函數(shù)f(x)的周期為4，則f(5)=f(1)=a2-2a-4.又因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(?1)>1，所以f(1)<-1，所以a2?2a-4<?1，解得?1<a<3.所以實數(shù)a的取值范圍是(-1,3)，故選A?！咀兪健恳阎x在R上的奇函數(shù)f(x)，對任意x都滿足f(x+2)=f(4?x)，且當x∈［0，3]時，f(x)=log2(x+1)，則f(2019)=____________【答案】2【解析】由f(x)為奇函數(shù)且f(x+2)=f(4-x)，得f(6+x)=f(-x)=-f(x),所以f（12+x)=-f(6+x)=-[-f(x)]=f(x),則f（x)的周期T=12,所以f(2019)=f(12*168+3)=f(3).因為當x∈[0,3]時，f（x)=log2(x+1),所以f(2019)=f(3)＝log24=2.結(jié)論五、f(x)+f(x+a)=k型f(x)+f(x+a)=k(k為常數(shù)）?f(x)的周期為T=2a.【例5】已知函數(shù)f（x)是R上的偶函數(shù)，且滿足f（x+1)+f(x)=3.當x∈[-1,0]時，f（x)=2+x,則f(-2007.5)的值為（） A.0.5 B.1.5 C.-1.5 D.1【答案】B【解析】由f(x+1)+f(x)=3可得f(x)+f(x-1)=3,兩式相減可得f（x+1)=f(x-1),所以f（x)的周期T=2,再由f（x)是偶函數(shù)可得f(-2007.5)=f(0.5)=f(-0.5)=1.5.故選B.【變式】已知函數(shù)f（x)對任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的圖像關于點（1,0)對稱且f（2)=4,則f(22)=____________【答案］-4【解析】因為y=f(x-1)的圖像關于點（1,0)對稱，所以y=f(x)的圖像關于點（0,0)對稱，即函數(shù)f（x)為奇函數(shù).由f(x＋6)+f(x)=2f(3)得f(x+12)+f(x+6)=2f(3),所以f（x+12)=f(x),T=12,因此f（22)=f(-2)=-f(2)=-4.結(jié)論六、=型f(x+α)=?y=f(x)的周期為T=2a.【例6】函數(shù)f（x)對于任意實數(shù)x滿足條件f(x+2)=,若f（1)=-5,則f(f（5))=（） A.-5 B.5 C. D.【答案】D【解析】由題意得f(x)=f(x+4),則f(5)=f(1)=-5,那么f(f(5))=f(-5)=f(-1)==-故選D.【變式】已知函數(shù)y=f(x)滿足f(x+1)=和f(2-x)=f(x+1),且當x∈［,1]時,f(x)=2x+2,則f(2018)=（） A.0 B.2 C.4 D.5【答案】C【解析】函數(shù)y=f(x)滿足f(x+1)=和f(2-x)=f(x+1),可知函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，且關于x=對稱。又由當x∈[,1]時，f(x)=2x+2，所以f(2018)=f（504*4+2)=f(2)=f(1)=2*1+2=4,故選C.結(jié)論七、=型=?y=f(x)的周期為T=2a.【例7】設偶函數(shù)f（x)對任意x∈R都有f(x)=,且當x∈[-3,-2]時，f(x)=4x,則f(119.5)=（）. A.10 B.-10 C. D.【答案】C【解析】因為函數(shù)f(x)對任意x∈R都有f(x)=,所以f(x+3)=，則f(x+6)=f(x),即函數(shù)f(x)的周期為6,所以f(119.5)=f(20*6-0.5)=f(-0.5)==，又因為偶函數(shù)f（x),當x∈[-3,-2]時，有f(x)=4x,所以f(119.5)====.故選C?！咀兪健吭O偶函數(shù)f(x)對任意x∈R,都有f(x+3)=,且當x∈[-3,-2]時，f(x)=2x,則f(113.5)的值是_______________【答案】【解析】因為f(x+6)=f[(x+3)+3]=＝=f(x),所以f(x)的周期T=6，f(113.5)=f(18*6+5.5)=f(5.5)===.結(jié)論八、f(x)·f(x+a)=k型f(x)·f(x+a)=k(k為常數(shù)）?f(x)的周期為T=2a.【例8】設定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)·f(x+2)=13.若f(x)=2,則f(2015)＝（） A. B. C.13 D.【答案】B【解析】由函數(shù)的關系式可得f(x)f(x+2)=13，f(x+2)f(x+4)=13,所以f(2015)＝f(504*4-1)=f(-1).關系式f(x)f(x+2)=13中，令x=-1可得f(-1)f(1)＝2f(-1)=13,所以f（-1)=,所以f（2015)=.故選B.【變式】已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，并滿足f(x)f(x+2)=-2.當1<x<2時，f(x)=x3+sin,則f(5.5)=（）. A. B. C. D.【答案】C【解析】由f(x)f(x+2)=-2可知f(x)≠0,所以f(x)f(x+2)=f(x+2)f(x+4)=-2,所以f(x+4)=f(x),即函數(shù)的周期是4,因為f(5.5)=f(5.5-4)=f(1.5),且當1<x<2時，f(x)=x3+sin，所以f(1.5)=+=+=+=.故選C.結(jié)論九、f(x+a)=型f(x+a)=?y=f(x)的周期為T=2a.【例】9定義在R上的函數(shù)f（x)對任意x∈R,都有f（x＋2)=，f(2)=,則f(2016)等于（） A. B. C. D.【答案】D【解析】由f(x+2)=及所求f(2016)可聯(lián)想到周期性，所以考慮f(x+4)===f(x),所以f（x)是周期為4的周期函數(shù)，故f(2016)=f(4),而由已知可得f(4)＝=,所以f（2016)=,故選D.【變式】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x+2)=，當x∈(0，4)時，f(x)=x2-1,則f(2010)=____________【答案】3【解析】因為定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x+2)=,所以f(x+4)===f(x)，故函數(shù)的周期是4,所以f(2010)=f(2).又x∈(0,4)時，f(x)=x2-1，所以f(2010)=f(2)=22-1=3.結(jié)論十、f(x+a)=型f(x+a)=?y=f(x)的周期為T=4a.【例10】已知f(x)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，且f(x+2)=,f(1)=,則f(2015)=____________【答案】【解析】f(x+4)===?f(x+8)==f(x)?T=8，f(2015)=f(251*8+7)=f(7)=f(-1)?f(-1+2)=?f(-1)=?f(2015)=f(-1)=.【變式】已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f（x+2)[1-f(x)]=1+f(x)，f(1)=2018,則f（2017)的值為____________【答案】2018【解析】緊扣已知條件，并多次使用，發(fā)現(xiàn)f（x）是周期函數(shù)，顯然f（x)≠1,于是f（x+2)=，f(x+4)===.所以f(x+8)==f(x),故f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，從而f(2017)=f(8*252+1)=f(1)=2018.結(jié)論十一、兩線型若函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=a與x=b(a≠b)對稱，則y=f(x)是以T=2(b-a)為周期的周期函數(shù)。推論：偶函數(shù)y=f(x)滿足f（a+x)=f(a-x)?y=f(x)的周期T=2a.【例11】設函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖像關于直線x=0及直線x=1對稱，且x∈[0，1]時，f（x)=x2,則f()=（） A. B. C. D.【答案】B【解析】因為函數(shù)y=f(x)關于直線x=0對稱，所以f(x)=f(-x)。又函數(shù)f(x)關于直線x=1對稱，所以f(1-x)=f(1+x).則f(x)=f(-x)=f(1-x-1)=f(1+x+1)=f(x+2),可知f（x)是周期為2的周期函數(shù)，所以f（)=f（)=.故選B.【變式】已知定義域為R的函數(shù)y=f(x)在［0,7]上只有1和6兩個零點，且y=f(x+2)與y=f(x+7)都是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)在［0,2013]上的零點個數(shù)為（） A.404 B.804 C.806 D.402【答案】C【解析】因為f(x+2)，f(x+7)為偶函數(shù)，所以f(x+2)=f(-x+2)，f(x+7)=f(-x+7)，所以f(x)關于x=2,x=7軸對稱，所以f(x)為周期函數(shù)，且T=2*（7-2）=10，所以將[0,2013]劃分為[0,10]∪[10,20]∪…∪[2000,2010]∪[2010,2013].因為f(x)關于x=2，x=7軸對稱，所以f(x)=f(4-x)，f(x)=f(14-x).因為f(1)=f(6)=0，f(8)=f(14-8)=f(6)=0，f(3)=f(4-3)=f(1)=0,所以在[0，10]中只含有四個零點，而[0,10]∪[10,20]∪…∪[2000,2010]共201組，所以N=201*4=804.在[2010，2013]中，含有零點f(2011)=f(1)=0，f(2013)=f(3)=0共兩個。所以一共有806個零點。故選C。結(jié)論十二、一點一線型若函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱且關于(b,0)中心對稱(a≠b),則y=f(x)是以T=4（b-a）為周期的周期函數(shù)。推論：奇函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)?y=f(x)的周期T=4a.【例12】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(2-x)=f(x),若f(1)=3,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=（）. A.-3 B.0 C.3 D.2018【答案】C【解析】因為f(x)為（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)且f(0)=0,又因為f(2-x)=f(x),所以f(x)=-f(x-2)=-[-f(x-4)]=f(x-4),所以f(x)是周期為4的周期函數(shù)，又f(1)=3,f(2)=f(2-2)=f(0)=0,所以f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-3,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=f(1)+f(2)=3.故選C?！咀兪健科婧瘮?shù)f(x)的定義域為R，若f(x+2)為偶函數(shù)，且f(1)=1,則f(8)+f(9)=【答案】1【解析】因為f(0)=0，f(-x)=-f(x),f(x+2)=f(-x+2),所以f(x+4)=f(-x)=-f(x),所以f(x+8)=f(x),T=8,故f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1.結(jié)論十三、兩點型若函數(shù)y=f(x)的