2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第8講 函數(shù)的周期性-原卷版47

第8講函數(shù)的周期性通關(guān)一、周期概念理解1.定義:設(shè)的定義城為,若對,存在一個非零常數(shù),有,則稱函數(shù)是一個周期函數(shù),稱為的一個周期.2.若是一個周期函數(shù),則,那么,即也是的一個周期,進而可得也是的一個周期.3.最小正周期:若為的一個周期,也是的一個周期,則在某些周期函數(shù)中,往往存在周期中最小的正數(shù),稱為最小正周期.然而并非所有的周期函數(shù)都有最小正周期,比如常值函數(shù)就沒有最小正周期.通關(guān)二、常見周期性結(jié)論函數(shù)周期性的一些結(jié)論序號函數(shù)式滿足關(guān)系()周期(1)(2)(3)(4)(5)或(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)結(jié)論一、型的周期為.也是函數(shù)的周期.【例1】定義在上的函數(shù)滿足:,當時,;當時,,則（）A．336 B．337 C．338 D．339【變式】函數(shù)的定義域為,且,當時,;當時,,則（）A．671 B．673 C．1343 D．1345結(jié)論二、型的周期為.【例2】已知在上是奇函數(shù),且滿足,當時,,則（）A． B． C． D．0【變式】設(shè)函數(shù)是定義在上的周期函數(shù),且,若,,則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．結(jié)論三、f(x+a)=f(x±b)型f(x+a)=f(x-b)?y=f(x)的周期為T=a+b.f(x+a)=f(x+b)?y=f(x)的周期為T=b-a.【例3】已知函數(shù)f(x)的定義域為R,當x<0時f(x)=x3-1,當-1≤x≤1時，f(-x)＝-f(x),當x>時，f(x-)=f(x+)，則f(6)=（）. A.2 B.0 C.-1 D.-2【變式】已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，滿足f(x)+f(-x)=0，f(x-1)=f(x+1)，當x∈(0,1)時，f(x)=-x2+x，則函數(shù)f(x)的最小值為（） A. B. C. D.結(jié)論四、f(a+x)=?f(x?b)型若函數(shù)y=f(x)定義域為R，且滿足條件f(a+x)=-f(x?b)，則y=f(x)是以T=2(a+b)為周期的周期函數(shù)?！纠?】設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(x+1)=-f(x?1)，若f(?1)>1，f(5)=a2?2a?4，則實數(shù)a的取值范圍是（）. A.(-1,3) B.(-∞,-1)∪(3，+∞) C.(-3，1) D.(-∞,-3)∪(1，+∞)【變式】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，對任意x都滿足f(x+2)=f(4?x)，且當x∈［0，3]時，f(x)=log2(x+1)，則f(2019)=____________結(jié)論五、f(x)+f(x+a)=k型f(x)+f(x+a)=k(k為常數(shù)）?f(x)的周期為T=2a.【例5】已知函數(shù)f（x)是R上的偶函數(shù)，且滿足f（x+1)+f(x)=3.當x∈[-1,0]時，f（x)=2+x,則f(-2007.5)的值為（） A.0.5 B.1.5 C.-1.5 D.1【變式】已知函數(shù)f（x)對任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的圖像關(guān)于點（1,0)對稱且f（2)=4,則f(22)=____________結(jié)論六、=型f(x+α)=?y=f(x)的周期為T=2a.【例6】函數(shù)f（x)對于任意實數(shù)x滿足條件f(x+2)=,若f（1)=-5,則f(f（5))=（） A.-5 B.5 C. D.【變式】已知函數(shù)y=f(x)滿足f(x+1)=和f(2-x)=f(x+1),且當x∈［,1]時,f(x)=2x+2,則f(2018)=（） A.0 B.2 C.4 D.5結(jié)論七、=型=?y=f(x)的周期為T=2a.【例7】設(shè)偶函數(shù)f（x)對任意x∈R都有f(x)=,且當x∈[-3,-2]時，f(x)=4x,則f(119.5)=（）. A.10 B.-10 C. D.【變式】設(shè)偶函數(shù)f(x)對任意x∈R,都有f(x+3)=,且當x∈[-3,-2]時，f(x)=2x,則f(113.5)的值是_______________結(jié)論八、f(x)·f(x+a)=k型f(x)·f(x+a)=k(k為常數(shù)）?f(x)的周期為T=2a.【例8】設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)·f(x+2)=13.若f(x)=2,則f(2015)＝（） A. B. C.13 D.【變式】已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，并滿足f(x)f(x+2)=-2.當1<x<2時，f(x)=x3+sin,則f(5.5)=（）. A. B. C. D.結(jié)論九、f(x+a)=型f(x+a)=?y=f(x)的周期為T=2a.【例】9定義在R上的函數(shù)f（x)對任意x∈R,都有f（x＋2)=，f(2)=,則f(2016)等于（） A. B. C. D.【變式】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x+2)=，當x∈(0，4)時，f(x)=x2-1,則f(2010)=____________結(jié)論十、f(x+a)=型f(x+a)=?y=f(x)的周期為T=4a.【例10】已知f(x)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，且f(x+2)=,f(1)=,則f(2015)=____________【變式】已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f（x+2)[1-f(x)]=1+f(x)，f(1)=2018,則f（2017)的值為____________結(jié)論十一、兩線型若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a與x=b(a≠b)對稱，則y=f(x)是以T=2(b-a)為周期的周期函數(shù)。推論：偶函數(shù)y=f(x)滿足f（a+x)=f(a-x)?y=f(x)的周期T=2a.【例11】設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖像關(guān)于直線x=0及直線x=1對稱，且x∈[0，1]時，f（x)=x2,則f()=（） A. B. C. D.【變式】已知定義域為R的函數(shù)y=f(x)在［0,7]上只有1和6兩個零點，且y=f(x+2)與y=f(x+7)都是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)在［0,2013]上的零點個數(shù)為（） A.404 B.804 C.806 D.402結(jié)論十二、一點一線型若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱且關(guān)于(b,0)中心對稱(a≠b),則y=f(x)是以T=4（b-a）為周期的周期函數(shù)。推論：奇函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)?y=f(x)的周期T=4a.【例12】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(2-x)=f(x),若f(1)=3,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=（）. A.-3 B.0 C.3 D.2018【變式】奇函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x+2)為偶函數(shù)，且f(1)=1,則f(8)+f(9)=結(jié)論十三、兩點型若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點（a,0）與點（b,0）(a≠b)對稱，則y=f(x)是以T=2（b-a）為周期的周期函數(shù)。推論：奇函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=-f(a-x)?y=f(x)的周期T=2a.【例13】函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x+1)與f(