2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第21講 角的定義與分類-解析版62

第21講角的定義與分類通關(guān)一、象限角與軸線角的表示第一象限角的集合為；第二象限角的集合為；第三象限角的集合為；第四象限角的集合為.終邊與x軸非負(fù)半軸重合的角的集合為終邊與x軸非正半軸重合的角的集合為終邊與x軸重合的角的集合為終邊與y軸非負(fù)半軸重合的角的集合為終邊與y軸非正半軸重合的角的集合為終邊與y軸重合的角的集合為終邊與坐標(biāo)軸重合的角的集合為通關(guān)二、弧度制1．角的弧度：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫作1弧度的角．規(guī)定:正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0，，l是以角作為圓心角時(shí)所對圓弧的長，r為半徑．2.弧度制：把弧度作為單位來度量角的單位制叫作弧度制，比值與所取的大小無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)．3．角度與弧度的換算：，．4．常見特殊角的角度數(shù)與弧度數(shù)對照表：角度數(shù)弧度數(shù)通關(guān)三、三角函數(shù)線各象限內(nèi)的三角函數(shù)線當(dāng)角的終邊與x軸重合時(shí)，正弦線、正切線都變成一個點(diǎn)，此時(shí)角的正弦值和正切值都為0；當(dāng)角的終邊與y軸重合時(shí)，余弦線變成一個點(diǎn)，此時(shí)角的余弦值為0，正切值不存在.結(jié)論一、求角所在象限己知角的終邊所在的象限，求或（）的終邊所在的象限的方法是：將的范圍用不等式（含有）表示，然后兩邊同除以n或乘以n，再對k進(jìn)行討論，得到或（）所在的象限.【例1】若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角.【解析】因?yàn)棣潦堑诙笙藿牵?)，則：(1)()，所以可能是第三象限角、第四象限角或終邊在y軸非正半軸上的角．(2)()，當(dāng)()時(shí)，n（n∈Z），此時(shí)是第一象限角；當(dāng)時(shí)，(n∈Z)，此時(shí)，是第二象限角；當(dāng)(n∈Z)，此時(shí)是第四象限角.綜上，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角.【變式】若是第一象限角,求(1)是第幾象限角?(2)不在第幾象限?【解析】是第一象限角，故滿足的集合為，(1)，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，為第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，為第三象限角．故為第一象限角或第三象限角.(2)，當(dāng)時(shí)，為第一象限角；當(dāng)時(shí)，為第二象限角；當(dāng)時(shí)，為第三象限角．故不在第四象限.結(jié)論二、終邊相同的角相等的角終邊一定相同，但終邊相同的角卻不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)個，它們之間相差360°的整數(shù)倍.所有與角終邊相同的角,可構(gòu)成一個集合.【例2】(1)若角和的終邊關(guān)于軸對稱,則角和之間的關(guān)系為_________.(2)若角與的終邊關(guān)于軸對稱,則角和之間的關(guān)系為_________.【答案】(1)(2)【解析】(1)角的終邊必在軸上，.(2)角的終邊必在軸上，.【變式】下列說法正確的是().A.小于的角是銳角B.鈍角是第二象限角C.第二象限的角大于第一象限的角D.若角與角的終邊相同，則【答案】【解析】對于選項(xiàng)，負(fù)角不是銳角，比如“”的角，故錯誤;對于選項(xiàng),鈍角范圍是“”，是第二象限角，故正確；對于C選項(xiàng)，第二象限角取“”第一象限角取“,故錯誤;對于選項(xiàng),當(dāng)角與角的終邊相同,則,.故錯誤.綜上,故選.結(jié)論三、扇形的弧長與面積扇形的弧長公式,其中的單位是弧度,與的單位要統(tǒng)一.角度制下的弧長公式為(其中為扇形圓心角的角度數(shù)).扇形的面積公式.角度制下的扇形面積公式為:(其中為扇形圓心角的角度數(shù)).【例3】已知扇形周長為10cm,面積為6,則扇形中心角對應(yīng)的弧度數(shù)為_______.【答案】3或【解析】設(shè)扇形中心角對應(yīng)的強(qiáng)瓜度數(shù)為()，弧長為l，半徑為r，由題意得，所以或，所以或.【變式】已知扇形的周長為40cm,當(dāng)扇形面積最大時(shí)，扇形中心角所對應(yīng)的弧度數(shù)是________.【答案】2【解析】設(shè)扇形中心角對應(yīng)的弧度數(shù)為,半徑為,弧長為,面積為,.所以.當(dāng)10cm時(shí),扇形的面積最大,此時(shí).結(jié)論四、三角函數(shù)線設(shè)角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸非負(fù)半軸重合,終邊與單位圓相交于點(diǎn),過作PM垂直于軸于.由三角函數(shù)的定義知,點(diǎn)的坐標(biāo)為,即,其中,單位圓與軸的正半軸交于點(diǎn),單位圓在點(diǎn)的切線與的終邊或其反向延長線相交于點(diǎn),則.我們把有向線段OM,MP,AT分別叫作的余弦線、正弦線、正切線.各象限內(nèi)的三角函數(shù)線如下：【例4】已知:,求證:.【解析】證明構(gòu)造單位圓,如圖所示.設(shè)角與單位圓交于,則,如圖所示,連結(jié)AP.扇形POA的面積=,的面積因?yàn)?即，所以.【變式】已知為銳角