2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第37講 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和與第38講 數(shù)列通項(xiàng)公式題型全歸納-解析版90

第37講等比數(shù)列的前n項(xiàng)和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式推導(dǎo)過程：利用等比數(shù)列性質(zhì)由等比數(shù)列定義，有.根據(jù)等比性質(zhì)，有，所以當(dāng)時(shí)，或.錯(cuò)位相減法等比數(shù)列的前項(xiàng)和.①當(dāng)時(shí)，，；②當(dāng)時(shí)，由得，，所以，所以或，即.要點(diǎn)詮釋：錯(cuò)位相減法是一種非常常見和重要的舒蕾求和方法，適用于一個(gè)等差舒蕾和等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積組成的數(shù)列求和問題，要求理解并掌握此法.在求等比數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)，要注意區(qū)分和.當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列的兩個(gè)求和公式涉及，，，，五個(gè)量，已知其中任意三個(gè)變量，通過解方程組，便可求出其余兩個(gè)量.結(jié)論一、等比數(shù)列前項(xiàng)和（當(dāng)時(shí)）變形公式（系數(shù)互為相反數(shù)）；（一次線性關(guān)系）.【例1】已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則的值為（）.A.4 B.2 C.-2 D.-4【答案】C【解析】解法一：根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，則，故，解得.故選C.解法二：由得結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)結(jié)構(gòu)特征（系數(shù)互為相反數(shù)），得，解得.故選C.【變式】設(shè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）. B. C. D.【答案】D【解析】解法一：，，代入選項(xiàng)驗(yàn)證.故選D.解法二：根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和結(jié)構(gòu)特征，，.故選D.結(jié)論二、項(xiàng)數(shù)相同的和構(gòu)造等比數(shù)列等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則也成等比數(shù)列，且公比.評(píng)注：（1）第一個(gè)項(xiàng)和，第二個(gè)項(xiàng)和，……，即每項(xiàng)和為一段.當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，不是等比數(shù)列.【例】2已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則.【答案】140【解析】解法一：由，，易得公比，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，即，解得，又，所以，.解法二：根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，可得，即，解得，所以.解法三：根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，可知成等比數(shù)列，則，即，解得.【變式】設(shè)等比數(shù)列前項(xiàng)和為，若，，則（）.A.31 B.32 C.63 D.64【答案】C【解析】，，，所以成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列可得，解得.故選C.結(jié)論三、等比數(shù)列前項(xiàng)和關(guān)系特征等比數(shù)列前項(xiàng)和為，則.【例3】設(shè)等比數(shù)列前項(xiàng)和為，則.，則公比.【答案】【解析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式得，代入得，所以，化簡(jiǎn)整理得解得.【變式】等比數(shù)列前項(xiàng)和為，已知成等比數(shù)列，則等比數(shù)列的公比為.【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，易知.由題意可得，所以①；又根據(jù)等比數(shù)列分段求和公式得②；由4②-①得.又，所以，解得.結(jié)論四、等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和性質(zhì)在等比數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2時(shí)，；當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，或，.【例4】一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)和為85，偶數(shù)項(xiàng)和為170，求此數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù).【解析】由題意知，.因?yàn)?，所?【變式】等比數(shù)列共有奇數(shù)項(xiàng)，所有奇數(shù)項(xiàng)和，所有偶數(shù)項(xiàng)和，末項(xiàng)是192，則首項(xiàng)的值為（）.【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列共有項(xiàng)，則，則，，代入，解得.故選C.結(jié)論五、等比數(shù)列前項(xiàng)積的運(yùn)算技巧設(shè)等比數(shù)列前項(xiàng)積，則，……，成等比數(shù)列.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.【例5】已知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時(shí)，（）. B. C. D.【答案】C【解析】由已知可得，原式.故選C.【變式】設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，是其公比，是其前項(xiàng)積，且，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）. B. C. D.與均為的最大值【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列，是其前項(xiàng)積，所以，由，，，所以，所以B選項(xiàng)正確；因?yàn)樗?，所以，所以A正確；，可知，又，所以單調(diào)遞減，在或時(shí)取最小值，所以在或時(shí)取最大值，所以D選項(xiàng)正確.故選C.第38講數(shù)列通項(xiàng)公式題型全歸納通關(guān)一、“疊加法”求通項(xiàng)在求等差數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)，由這個(gè)式子疊加得，當(dāng)時(shí)也成立.由此可得形如的遞推式均可采用“疊加法”求得.上式中“”通常是可以化簡(jiǎn)的，即數(shù)列“可求和”.通關(guān)二、“疊乘法”求通項(xiàng)在求等比數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)，由這個(gè)式子疊乘得，當(dāng)時(shí)也成立.由此可得形如的遞推式均可采用“疊乘法”求得.上式中“”通常是可以化簡(jiǎn)的，即數(shù)列“可求積”.題型一：可以轉(zhuǎn)化為.從而數(shù)列為等比數(shù)列，故可由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解.題型二：，兩邊同除以“”可以轉(zhuǎn)化為.當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列，故可由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解.當(dāng)時(shí)，數(shù)列符合題型一，故可由題型一中的方法求解.通關(guān)三、“倒數(shù)法”求通項(xiàng)形如，兩邊同除以轉(zhuǎn)化為①當(dāng)時(shí)，“倒數(shù)數(shù)列”為等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解.當(dāng)時(shí)，“倒數(shù)數(shù)列”符合方法二中的題型一，故可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.(2)形如，取倒數(shù)得.當(dāng)時(shí)，“倒數(shù)數(shù)列”為等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解.當(dāng)時(shí)，“倒數(shù)數(shù)列”符合方法二中得題型一，故可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.通關(guān)四、“待定系數(shù)法”求通項(xiàng)，令，則，整理得.令，則.此時(shí)，，即數(shù)列為等比數(shù)列，故可由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解，從而也可求解.【結(jié)論第講】結(jié)論一、把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，再利用疊加法(逐差相加法)求解.【例1】已知數(shù)列中，，，則_____.【答案】【解析】已知，所以.……累加后，得.故.【變式】數(shù)列滿足：，且，求.【答案】【解析】，，…，，疊加可得，所以.結(jié)論二、把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，再利用疊乘法(逐商相乘法)求解.【例2】數(shù)列中，，，則_____.【答案】【解析】因?yàn)樵跀?shù)列中，，所以，所以，，，…，，所以.【變式】已知數(shù)列滿足，且，則_____；_____.【答案】【解析】由得，又，所以.由得，所以，，，…，，所以.結(jié)論三、（其中均為常數(shù)，）先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.【例3】已知數(shù)列滿足，且，則_____.【答案】【解析】已知，且，構(gòu)造，即.因?yàn)?，所?由得，令，，，是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以.又因?yàn)?，所?【變式】已知數(shù)列中，，，則_____.【答案】【解析】解法一：設(shè)，解得，即原式化為.設(shè)，則數(shù)列為等比數(shù)列，且，所以.解法二：因?yàn)?，，?得：.設(shè)，則數(shù)列為等比數(shù)列，所以，所以，所以.解法三：，，，…，，所以.結(jié)論四、（其中均為常數(shù)，）1.一般地，要先將遞推公式兩邊同除以，得，引入輔助數(shù)列（其中），得，再用待定系數(shù)法解決；2.也可以將原遞推公式兩邊同除以，得，引入輔助數(shù)列（其中），得，再利用疊加法（逐差相加法）求解.【例4】已知數(shù)列中，，，則_____.【答案】【解析】解法一：將兩邊分別乘以，得.令，則，根據(jù)待定系數(shù)法，得.所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.所以，即.于是.解法二：將兩邊分別乘以，得.令，則，所以，，…，.將以上各式疊加，得.又，所以，即.故.【變式】已知數(shù)列滿足，，則_____.【答案】【解析】由題意知，兩邊同乘以得，即數(shù)列為等差數(shù)列，所以.所以，當(dāng)時(shí)也成立.所以.結(jié)論五、（）這種類型的題目一般是利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，然后與已知遞推公式比較，解出，從而得到是公比為的等比數(shù)列.【例】設(shè)數(shù)列滿足，，則_____.【答案】【解析】設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為，化簡(jiǎn)后與原遞推式比較，得，解得.令（*），則，又，故，代入（*）得.【變式】已知數(shù)列滿足，，則_____.【答案】【解析】由題意知.令，則，整理得.令，則.此時(shí)，，即數(shù)列為等比數(shù)列，所以.所以，時(shí)也成立.所以.結(jié)論六、（）這種類型的題目一般是將等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為型，再利用待定系數(shù)法求解.【例6】已知數(shù)列中，，，則_____.【答案】【解析】將兩邊取對(duì)數(shù)，得.令，則.由此得，記，則.所以數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.所以.所以，即，所以.【變式】已知在數(shù)列中，，且，則數(shù)列的通項(xiàng)_____.【答案】【解析】由題意知，因?yàn)?，所以將兩邊取以為底的?duì)數(shù)，得，故是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，所以.結(jié)論七、（且）這種類型的題目一般是將等式兩邊取倒數(shù)后，再進(jìn)一步處理.若，則有，此時(shí)為等差數(shù)列.若，則有，此時(shí)可轉(zhuǎn)化為結(jié)論三來(lái)處理.【例7】在數(shù)列中，已知，，則_____.【答案】【解析】將等式兩邊取倒數(shù)得到，，是公差為的等差數(shù)列，.根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法得到，故.【變式】已知數(shù)列滿足，，則_____.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，即，又，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，故.結(jié)論八、將原遞推公式改寫成，兩式相減即得，然后將分奇數(shù)、偶數(shù)分類討論即可.【例8】已知數(shù)列中，，.則_____.【答案】【解析】因?yàn)椋裕?，即?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都是公差為的等差數(shù)列.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，故；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，因?yàn)?，（為偶?shù)），故.綜上，.【變式】在數(shù)列中，，，則_____.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，即?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都是公差為的等差數(shù)列.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，因?yàn)?，所以（是偶?shù)），所以.綜上，.結(jié)論九、將原遞推公式改寫成，兩式作商可得，然后將分奇數(shù)、偶數(shù)分類討論即可.【例9】已知數(shù)列中，，，則_____.【答案】【解析】因?yàn)椋?，故，即?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都是公比