9.2.1向量的加減法 2023-2024學年高中數(shù)學蘇教版必修第二冊

高中數(shù)學蘇教版必修第二冊第9章平面向量9.2向量運算9.2.1向量的加減法第1課時向量的加法課標闡釋1.理解向量加法的概念以及向量加法的幾何意義.(數(shù)學抽象、直觀想象)2.掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則,會進行向量的加法運算.(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)3.掌握向量加法的交換律和結(jié)合律,會用它們進行計算.(數(shù)學運算、邏輯推理)思維脈絡(luò)【激趣誘思】我們是否可以根據(jù)飛機從甲地飛往乙地的方向與距離以及從乙地飛往丙地的方向與距離來確定甲地到丙地的方向與距離呢?【知識梳理】

一、向量的加法(即求兩個向量和的運算)(1)運算法則:(2)任一向量與其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=0.(3)規(guī)定:對于零向量和任一向量a滿足a+0=0+a=a.名師點析

向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別:(1)三角形法則中強調(diào)“首尾相接”,平行四邊形法則中強調(diào)的是“共起點”;(2)三角形法則適用于所有的兩個非零向量求和,而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個非零向量求和.聯(lián)系:三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半,當兩個向量不共線時,兩種加法法則在本質(zhì)上是一致的.微練習

答案

(1)C

(2)0微思考

二、向量加法的運算律向量加法的運算律與實數(shù)加法的運算律相同,可類比記憶.(1)交換律:a+b=b+a.(2)結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c).名師點析

|a+b|與|a|,|b|之間的關(guān)系對任意兩個向量a,b,有|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當a,b方向相同時等號成立.微練習已知非零向量a,b,c,則向量(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(b+a),c+(a+b)中,與向量a+b+c相等的個數(shù)為(

)A.2

B.3

C.4

D.5答案

D解析

由向量加法的交換律與結(jié)合律可知,所給的5個向量都與a+b+c相等.探究一向量加法法則的應用例1(1)如圖①,用向量加法的三角形法則作出向量a+b;(2)如圖②,用向量加法的平行四邊形法則作出向量a+b.圖①

圖②

反思感悟

用向量加法的三角形法則求和向量,關(guān)鍵是抓住“首尾相連”,和向量是第一個向量的起點指向第二個向量的終點.用向量加法的平行四邊形法則應注意“共起點”.兩種方法中,第一個向量的起點可任意選取.變式訓練1如圖,已知向量a,b,c,求作向量a+b+c.探究二向量的加法及運算律例2化簡:反思感悟

向量加法運算律的意義和應用原則(1)意義:向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據(jù),實現(xiàn)恰當利用向量加法法則運算的目的.實際上,由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律,故多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行.(2)應用原則:利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律,使各向量“首尾相連”,通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序.探究三向量加法在實際問題中的應用例3在靜水中船的速度為20m/min,水流的速度為10m/min.如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達對岸,求船行進的方向.解

作出圖形,如圖.船速v船與岸的方向成α角,由圖可知v水+v船=v實際,結(jié)合已知條件,四邊形ABCD為平行四邊形.在Rt△ACD中,所以α=60°,從而船與水流方向成120°的角.故船行進的方向是與水流的方向成120°的角的方向.反思感悟

應用向量解決平面幾何問題的基本步驟(1)表示:用向量表示有關(guān)量,將所要解答的問題轉(zhuǎn)化為向量問題.(2)運算:應用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則,將有關(guān)向量進行運算,解答向量問題.(3)還原:根據(jù)向量的運算結(jié)果,結(jié)合向量共線、相等等概念回答原問題.延伸探究

1若例3條件不變,則經(jīng)過3h,該船的實際航程是多少千米?延伸探究

2若例3條件不變,改為若船沿垂直于水流的方向航行,求船實際行進的方向與河岸的夾角的正切值.解

變式訓練3一架救援直升機從A地沿北偏東60°方向飛行了40km到達B地,再由B地沿正北方向飛行40km到達C地,求此時直升機與A地的相對位置.

素養(yǎng)形成方法點睛

(1)本題主要考查向量加法的多邊形法則和零向量.由于正n邊形繞圓心O旋轉(zhuǎn)

角度時,雖然各向量方向都改變了,但模沒有改變,正n邊形的位置不變,其和向量也沒有改變,由此判斷和向量為0.(2)零向量的方向是任意的,且零向量的模為0.

當堂檢測答案

C答案

B答案

A高中數(shù)學蘇教版必修第二冊第9章平面向量9.2向量運算9.2.1向量的加減法第2課時向量的減法課標闡釋1.借助實例和平面向量的幾何表示,理解向量減法的意義.(幾何直觀、數(shù)學抽象)2.能熟練地進行向量的加減綜合運算.(數(shù)學運算)思維脈絡(luò)【激趣誘思】一架飛機由北京飛往上海,然后再由上海返回北京,我們把北京記作A點,上海記作B點,那么這輛飛機的位移是多少?怎樣用向量來表示呢?【知識梳理】

向量的減法(1)定義:若b+x=a,則向量x叫作a與b的差,記為

a-b.求兩個

向量差的運算

,叫作向量的減法.(2)幾何意義:當向量a,b起點相同時,a-b表示為從b的終點指向a的終點的向量.

也可以理解成從減向量的終點指向被減向量的終點(4)減去一個向量等于加上這個向量的相反向量.名師點析

(1)若向量a,b為非零不共線向量,則a,b與a-b圍成三角形,故稱這種作兩向量差的方法為向量減法的三角形法則.(2)求兩個向量的差就是要把兩個向量的始點放在一起,它們的差是以減向量的終點為始點,以被減向量的終點為終點的向量,可簡記為“共始點,連終點,指向被減”.微判斷

(1)兩個向量的差仍是一個向量.(

)(2)向量a與向量b的差與向量b與向量a的差互為相反向量.(

)√√微練習

答案

(1)C

(2)B微思考||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|中,等號何時成立?提示

①當向量a,b不共線時,||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|;②當向量a,b共線且同向時,前一個等號成立;當向量a,b共線且反向時,后一個等號成立.探究一向量減法法則的運用例1如圖所示,已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d.解

變式訓練1如圖,已知向量a,b,c不共線,求作向量a+b-c.反思感悟

求作兩個向量的差向量時,若兩個向量有共同起點,直接連接兩個向量的終點,并指向被減向量,就得到兩個向量的差向量;若兩個向量的起點不重合,先通過平移使它們的起點重合,再作出差向量.探究二向量的加法與減法運算反思感悟

1.向量減法運算的常用方法

2.向量加減法化簡的兩種形式(1)首尾相連且為和;(2)起點相同且為差.做題時要注意觀察是否有這兩種形式,同時要注意逆向應用.探究三向量減法的應用反思感悟

用向量表示其他向量的方法(1)解決此類問題要充分利用平面幾何知識,靈活運用平行四邊形法則和三角形法則.(2)表示向量時要考慮以下問題:它是某個平行四邊形的對角線嗎?是否可以找到由起點到終點的恰當途徑?它的起點和終點是否是兩個有共同起點的向量的終點?(3)必要時可以直接用向量求和的多邊形法則.延伸探究

2本例中的條件“點B是平行四邊形ACDE外一點”若換為“點B是平行四邊形ACDE內(nèi)一點”,其他條件不變,其結(jié)論又如何呢?

素養(yǎng)形成利用已知向量表示未知向量典例

如圖,解答下列各題:方法點睛

利用已知向量表示其他向量的一個關(guān)鍵及三點注意(1)一個關(guān)鍵關(guān)鍵是確定已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化渠道.(2)三點注意①注意相等向量、相反向量、共線向量以及構(gòu)成三角形三向量之間的關(guān)系;②注意應用向量加法、減法的幾何意義以及它們的運算律;③注意在封閉圖形中利用多邊形法則.

當堂檢測1.若非零向量a,b互為相反向量,則下列說法錯誤的是(

)A.a∥b