矩陣和行列式基礎(chǔ)

行列式和矩陣－－－《線性代數(shù)》1線性代數(shù)起源于處理線性關(guān)系問題，它是代數(shù)學的一個分支，形成于20世紀，但歷史卻非常久遠，部分內(nèi)容在東漢初年成書的《九章算術(shù)》里已有雛形論述，不過直到18—19世紀期間，隨著研究線性方程組和變量線性變換問題的深入，才先后產(chǎn)生了行列式和矩陣的概念，為處理線性問題提供了強有力的理論工具，并推動了線性代數(shù)的發(fā)展。線性代數(shù)主要內(nèi)容：行列式、矩陣、n維向量、線性方程組、標準形與二次型，其中行列式與矩陣是其基本理論。2行列式歷史上，最早使用行列式概念的是17世紀德國數(shù)學家萊布尼茲，后來瑞士數(shù)學家克萊姆於1750年發(fā)表了著名的用行列式解線性方程組的克萊姆法則，首先將行列式的理論脫離開線性方程組的是數(shù)學家范德蒙，1772年他對行列式做出連貫的邏輯闡述，法國數(shù)學家柯西于1841年首先創(chuàng)立了現(xiàn)代的行列式概念和符號，包括行列式一詞的使用，但他的某些思想和方法是來自高斯的。在行列式理論的形成與發(fā)展的過程中做出過重大貢獻的還有拉格朗日、維爾斯特拉斯、西勒維斯特和凱萊等數(shù)學家。3行列式概念問題：求解二元一次方程組用消元法得4二階行列式D的計算可用對角線法幫助記憶：主對角線上元素的乘積-次對角線上元素的乘積。5求解二元一次方程組－－－用二階行列式建立的克萊姆法則：6例7行列式的性質(zhì)8性質(zhì)2對調(diào)行列式的任意兩行（列），所得的行列式的絕對值不變，但符號相反。推論若行列式中有兩行（列）元素完全相同，則行列式為零。性質(zhì)3某一行所有元素的公因子可提到行列式符號的外面。推論若行列式中有兩行元素對應成比例，則行列式為零。性質(zhì)4若行列式某行的元素是兩數(shù)之和，則行列式可拆成兩個行列式的和。

性質(zhì)5行列式某一行元素加上另一行對應元素的k

倍，則行列式的值不變。

9行列式的計算10定理(行列式按行(列)展開定理)：行列式D等于它的任一行(列)各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即推論行列式某行(列)元素與另一行(列)對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0，即11注：以元素中0最多的行或列展開12克萊姆法則13若線性方程組(1)的常數(shù)項不全為0時，稱(1)為非齊次線性方程組；系數(shù)行列式D≠0，則方程組(1)有唯一解。D=0,且Dj不全為零，則方程組（1）無解D=0且Dj＝0，則方程組（1)有無窮多組解14若線性方程組(1)的常數(shù)項全為0時，稱(1)為齊次線性方程組，這時Dj＝0；若系數(shù)行列式D≠0，則方程組(1)有唯一的零解。若D=0，方程組（1)可能有非零解15矩陣矩陣是線性代數(shù)的一個最基本的概念，也是數(shù)學的最基本的一個工具。它在二十世紀得到飛速發(fā)展，成為在物理學、生物學、地理學、經(jīng)濟學等中有大量應用的數(shù)學分支，現(xiàn)在矩陣比行列式在數(shù)學中占有更重要的位置。矩陣這個詞是英國數(shù)學家西勒維斯特在1850年首先使用的，但歷史非常久遠，可追溯到東漢初年（公元一世紀）成書的《九章算術(shù)》，其方程章第一題的方程實質(zhì)上就是一個矩陣，所用的解法就是矩陣的初等變換。16矩陣的運算是線性代數(shù)的基本內(nèi)容。1849年英國數(shù)學家凱萊介紹了可逆方陣對乘法成群。凱萊——畢業(yè)于劍橋三一學院，他與西勒維斯特長期合作作了大量的開創(chuàng)性的工作創(chuàng)立了矩陣論；與維爾斯特拉斯一起創(chuàng)立了代數(shù)型理論，奠定了代數(shù)不變量的理論基礎(chǔ)；他對幾何學的統(tǒng)一也有重大貢獻，一生發(fā)表近千篇論文。17一、矩陣概念18注矩陣和行列式不一樣！??！

矩陣是一個數(shù)表，而行列式是一個實數(shù)！19實矩陣——元素均為實數(shù)的矩陣。復矩陣——元素中有復數(shù)的矩陣。注我們只研究實矩陣，如不特別申明，今后所提到的矩陣均為實矩陣。方陣——行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣稱為n階矩陣，或強調(diào)稱為n階方陣，常記為An20二、矩陣運算1.加法即對應元素相加21定義3實數(shù)k（k≠0）與矩陣A的數(shù)乘記作Ak或kA運算規(guī)律A+B=B+A(交換律)(A+B)+C=A+(B+C)（結(jié)合律）A+(-A)=OA+O=Ak(λA)=kλAk(A+B)=kA+kB(k+λ)A=kA+λA222.乘法乘法不適合交換律乘法不適合消去律23乘法不滿足交換律24矩陣的轉(zhuǎn)置25方陣行列式定義6方陣A的元素位置不變構(gòu)成的行列式稱為方陣A的行列式，記為|A|或detA.26三、逆矩陣定義7對于n階方陣A，若存在n階方陣B，使得AB=BA=E，則稱矩陣A是可逆的，稱矩陣B是A的逆矩陣。記作B=A-127唯一性：若A可逆，則A的逆陣是唯一的。因為若B,C都是A的逆陣，即AB=BA=E,AC=CA=E,則B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C所以逆矩陣是唯一