浙江省紹興市春暉中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

春暉中學(xué)20232024學(xué)年第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期中試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線，則該直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用斜率與傾斜角的關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】設(shè)該直線傾斜角為，由題意可知，故.故選：A2.圓與圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.外離【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑所以，則，故兩圓相交.故選：B.3.過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)式方程直接求解即可.【詳解】解：∵直線過(guò)兩點(diǎn)和，∴直線的兩點(diǎn)式方程為＝，整理得.故選：C.4.平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由點(diǎn)到平面距離的向量法計(jì)算．【詳解】，所以點(diǎn)到平面的距離為．故選：C．5.“”是“直線與圓相交”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先求出直線與圓相交的充要條件，結(jié)合四種條件的定義可得答案.詳解】直線與圓相交，顯然，推不出，而可推出，故是必要不充分條件.故選：B.6.已知雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓：的上、下頂點(diǎn)相同，且經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)雙曲線方程為，由題意算出即可.【詳解】橢圓：，上、下頂點(diǎn)分別為，，上、下焦點(diǎn)分別為，.因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)與的上、下頂點(diǎn)相同，且經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)，設(shè)雙曲線方程為，則有，，，所以雙曲線的方程為.故選：C7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的周長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線的離心率列方程，由此求得，結(jié)合雙曲線的定義求得，由此求得的周長(zhǎng).【詳解】由題意可得，，即有，可得，，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，可得，又，可得，則的周長(zhǎng)為，故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的離心率和定義，屬于基礎(chǔ)題.8.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若為正三角形，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)是正三角形，此時(shí)軸，結(jié)合橢圓定義，求得三邊長(zhǎng)，再由，求得a，b間的關(guān)系，從而求得離心率.【詳解】因?yàn)槭钦切?，所以，軸.設(shè)，則，，故，解得，從而.將代入橢圓方程可得，因此，得，故橢圓離心率，故選：D.二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線，直線，則下列結(jié)論正確的是（）A.在軸上的截距為 B.過(guò)定點(diǎn)C.若，則或 D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)直線截距的定義可判定A，由直線方程可求定點(diǎn)判定B，利用兩直線的位置關(guān)系可判定C、D.【詳解】由易知，故A正確；由，故B正確；若兩直線平行，則有且，解得，故C錯(cuò)誤；若兩直線垂直，則有，故D正確.故選：ABD10.關(guān)于曲線C：，下列說(shuō)法正確的是（）A.若曲線C表示圓，則B.若，曲線C表示兩條直線C.若，過(guò)點(diǎn)與曲線C相切的直線有兩條D.若，則直線被曲線C截得弦長(zhǎng)等于【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)圓的一般方程的特點(diǎn)，結(jié)合圓的性質(zhì)和圓的弦長(zhǎng)公式逐一判斷即可.【詳解】A：，所以當(dāng)曲線C表示圓時(shí)，有，所以本選項(xiàng)說(shuō)法正確；B：當(dāng)時(shí)，由A可知：且，所以當(dāng)時(shí)，曲線C表示點(diǎn)，因此本選項(xiàng)說(shuō)法不正確；C：當(dāng)時(shí)，由A可知：，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外面，所以過(guò)點(diǎn)與曲線C相切的直線有兩條，因此本選項(xiàng)說(shuō)法正確；D：當(dāng)時(shí)，由A可知：，圓心到直線距離為：，所以弦長(zhǎng)為：，因此本選項(xiàng)說(shuō)法正確，故選：ACD11.設(shè)橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（）A.離心率 B.C.面積的最大值為 D.直線與以線段為直徑的圓相切【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義、性質(zhì)及直線與圓的位置關(guān)系一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】由橢圓方程可知橢圓離心率為，故A錯(cuò)誤；由橢圓定義可知，故B正確；當(dāng)P在上下頂點(diǎn)時(shí)的面積可取得最大值為，故C正確；以為直徑的圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，而圓心到直線的距離，即與直線相切，故D正確.故選：BCD12.矩形ABCD中，，，沿對(duì)角線AC將矩形折成一個(gè)大小為的二面角，若，則下列結(jié)論正確的有（）A.四面體ABCD的體積為B.點(diǎn)B與D之間的距離為C.異面直線AC與BD所成角為45°D.直線AD與平面ABC所成角的正弦值為【答案】ACD【解析】【分析】分別作，垂足為E，F(xiàn)，利用向量法求出，可判斷B，由題可得平面，然后利用棱錐的體積公式可得可判斷A，利用向量法求出判斷C，根據(jù)等積法結(jié)合條件可得直線AD與平面ABC所成角的正弦值判斷D.【詳解】分別作，垂足為E，F(xiàn)，則，由已知可得，，因?yàn)椋?，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，即，同理，又，平面，則平面，所以四面體ABCD的體積為，故A正確；由題可得，，，則，則，得，所以異面直線與所成的角為，故C正確；設(shè)點(diǎn)到平面為，則，所以，所以，設(shè)直線AD與平面ABC所成角為，則，故D正確.故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為_(kāi)_______．【答案】9【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，結(jié)合基本不等式即可求得的最大值.【詳解】∵在橢圓上∴∴根據(jù)基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：9.14.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，根據(jù)直線，又中點(diǎn)在直線上，列方程求解，即可得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】解：設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則可得，又直線的斜率為所以，即①又中點(diǎn)在直線上，所以，即②聯(lián)立①②解得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.15.已知，，，若，，，四點(diǎn)共面，則______．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)，，，四點(diǎn)共面，由求解.【詳解】解：因?yàn)?，，，且，，，四點(diǎn)共面，所以，則，解得，故答案為：516.若對(duì)于一個(gè)實(shí)常數(shù)，恰有三組實(shí)數(shù)對(duì)滿(mǎn)足關(guān)系式，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離和代數(shù)式的幾何意義求解即可.【詳解】由，若，則需與矛盾，所以，由，得點(diǎn)到直線的距離為，由，得點(diǎn)在圓上，根據(jù)題意恰有三組實(shí)數(shù)對(duì)滿(mǎn)足關(guān)系式，等價(jià)于圓上恰有三個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足到直線的距離為，圓心到直線的距離為，則需圓的半徑，過(guò)作直線于，交圓于，則，則要使圓上恰有三個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足到直線的距離為，有.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知直線的方程為，若直線在軸上的截距為，且.（1）求直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）已知不過(guò)原點(diǎn)的直線經(jīng)過(guò)直線與直線的交點(diǎn)，且在軸上截距是在軸上的截距的倍，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用直線的位置關(guān)系及點(diǎn)斜式先求得，聯(lián)立方程計(jì)算交點(diǎn)即可；（2）利用截距式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)直線和直線的斜率分別為，由題意知，∵，∴．又因?yàn)橹本€在軸上的截距為，所以直線過(guò)點(diǎn).所以直線的方程為，即:.聯(lián)立，得，即交點(diǎn)為.【小問(wèn)2詳解】因直線不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)其在軸上的截距為，方程為，因?yàn)檫^(guò)，所以，解得，所以直線的方程.18.已知空間向量，.（1）若與共線，求實(shí)數(shù)的值；（2）若與所成角是銳角，求實(shí)數(shù)的范圍．【答案】（1）（2）{且}．【解析】【分析】（1）利用空間向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算即可；（2）利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由已知可得，．因?yàn)榕c共線，所以，解得．【小問(wèn)2詳解】由(1)知，．所以，∴．又當(dāng)時(shí)，與共線，所以實(shí)數(shù)的范圍為{且}．19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程（2）若直線l過(guò)點(diǎn)且與軌跡C相切，求直線l的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，再用兩點(diǎn)間距離公式列式化簡(jiǎn)作答.（2）討論直線的斜率，設(shè)出直線l的方程，由圓心到直線的距離等于圓的半徑求解作答.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，由，得，化簡(jiǎn)得，所以P點(diǎn)的軌跡的方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，軌跡：表示圓心為，半徑為2的圓，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，方程為，圓心到直線l的距離為2，與相切；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)，即，于是，解得，因此直線的方程為，即，所以直線l的方程為或.20.如下圖，在四棱錐中，平面平面，平面平面，又.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）設(shè)，，，平面與平面夾角的余弦值為，求BC的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)判定線面垂直即證平面即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算面面角即可.【小問(wèn)1詳解】如圖，在平面中取一點(diǎn)E，并過(guò)點(diǎn)E分別作直線，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．同理因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即點(diǎn)P到平面的距離為.【小問(wèn)2詳解】如圖所示，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，∴，，，．設(shè)平面的法向量為，則，令，得．同理，設(shè)平面的法向量為，有，令，即．由題意知，解得，所以的長(zhǎng)為．21.已知雙曲線：：(，)與有相同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)?，且線段的中點(diǎn)在圓上，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）根據(jù)共漸近線設(shè)雙曲線的方程，然后代入點(diǎn)計(jì)算；（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得關(guān)于的一元二次方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，然后表示出的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程計(jì)算.【詳解】（1）由題意，設(shè)雙曲線的方程為，又因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)，，所以雙曲線的方程為：（2）由得設(shè)，則，，所以則中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入圓得，所以.22.已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，．（1）求橢圓方程；（2）設(shè)與軸不垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)（、在軸的兩側(cè)），記直線，，，的斜率分別為，，，．（i）求的值；（ii）若，求面積的取值范圍．【答案】22.23.（i）；（ii）【解析】【分析】（1）結(jié)合離心率與焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離計(jì)算即可得；（2）（i）設(shè)出直線，聯(lián)立后消去得與有關(guān)的韋達(dá)定理后求解即可得；（ii）借助（i）中的結(jié)論，將面積用未知數(shù)表達(dá)后結(jié)合換元法借助函數(shù)性質(zhì)求最最值即可得.【小問(wèn)1詳解】由于橢圓的離心率為，故，又，所以，，，所以橢圓的方程為.