湖北省武漢市江岸區(qū)2024屆高三上學(xué)期1月調(diào)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1湖北省武漢市江岸區(qū)2024屆高三上學(xué)期1月調(diào)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，即，解得，所以，又，所以．故選：B．2.已知是關(guān)于的方程（p，）的一個(gè)根，則（）A.0 B. C.2 D.1〖答案〗C〖解析〗是關(guān)于的方程的一個(gè)根，把代入方程，有，則有，所以.故選：C3.已知向量，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，，所以，，則，，故．故選：A．4.函數(shù)在區(qū)間上遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗二次函數(shù)的對稱軸為：，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上遞增，所以有，故選：A5.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗必要性顯然成立；下面來證明充分性，若，所以當(dāng)時(shí)，，所以，化簡得①，所以當(dāng)時(shí)，②，①②得，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列，充分性得證，所以“”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件.故選：C.6.成語“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外”，意思是在小小的軍帳之內(nèi)作出正確的部署，決定了千里之外戰(zhàn)場上的勝利，說的是運(yùn)籌的重要性.“帷幄”是古代打仗必備的帳篷，又稱“幄帳”，如圖是一種幄帳示意圖，帳頂采用“五脊四坡式”，四條斜脊的長度相等，一條正脊平行于底面.若各斜坡面與底面所成二面角的正切值均為，底面矩形的長與寬之比為，則正脊與斜脊長度的比值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，多面體中，取的中點(diǎn)，做交于，做底面于點(diǎn)，則點(diǎn)在上，且點(diǎn)到的距離相等，即，做于點(diǎn)，連接，，則平面，所以，所以坡面與底面所成二面角為，又，則平面，所以，坡面與底面所成二面角為，所以正切值，不妨設(shè)，，可得斜脊，因?yàn)榫匦螌?，所以長為8，這樣正脊，所以正脊與斜脊長度的比值為即.故選：B.7.已知A，B為雙曲線上不同兩點(diǎn)，下列點(diǎn)中可為線段的中點(diǎn)的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)的中點(diǎn)，所以，易知，由點(diǎn)差法可得，若，此時(shí)，與雙曲線聯(lián)立，即與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；若，則此時(shí)，與雙曲線聯(lián)立，即與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故B正確；若，則此時(shí)，與雙曲線聯(lián)立，即與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；若，則此時(shí)，與雙曲線聯(lián)立，顯然無解，即與雙曲線沒有交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：B.8.已知在中，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，故且，故，且，故，故，而，故，故，故故選：A.二、選擇題9.如圖，正方體的棱長為1，則下列四個(gè)命題正確的是（）A.正方體的內(nèi)切球的半徑為B.兩條異面直線和所成的角為C.直線BC與平面所成的角等于D.點(diǎn)D到面的距離為〖答案〗BC〖解析〗對于A中，正方體的內(nèi)切球的半徑即為正方體的棱長的一半，所以內(nèi)切球的半徑，所以A錯(cuò)誤.對于B中，如圖所示，連接，因?yàn)榍?，則四邊形為平行四邊形，所以，所以異面直線和所成的角的大小即為直線和所成的角的大小，又因?yàn)?，則為正三角形，即，所以B正確；對于C中，如圖所示，連接，在正方形中，.因?yàn)槠矫妫矫?，所?又因?yàn)?，平面，平面，所以平面，所以直線與平面所成的角為，所以C正確；對于D中，如圖所示，設(shè)點(diǎn)D到面的距離為，因?yàn)闉檎切危?又因?yàn)?，根?jù)等體積轉(zhuǎn)換可知：，即，即，解得，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知圓和圓，則（）A.兩圓可能無公共點(diǎn)B.若兩圓相切，則C.直線可能為兩圓的公切線D.當(dāng)時(shí)，若為兩圓的公切線，則或〖答案〗ACD〖解析〗由圓的圓心為，圓的圓心為，則圓和圓的圓心距為，對于A，當(dāng)，即時(shí)，兩圓可能相離，即無公共點(diǎn)，故A正確；對于B，當(dāng)兩圓外切時(shí)，，得；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，得，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，直線可能為兩圓的公切線，故C正確；對于D，結(jié)合選項(xiàng)B可得，當(dāng)時(shí)，兩圓外切，則有，解得或，故D正確．故選：ACD．11.設(shè)A，B是一次隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，，，則（）A.A，B相互獨(dú)立 B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由題意可知，事件互斥，且，所以，即，故A正確；則，故B正確；由條件概率公式可知：，故C錯(cuò)誤；，即，故D正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)，，，則（）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)B.存在某個(gè)，使得函數(shù)與零點(diǎn)個(gè)數(shù)不相同C.存在，使得與有相同的零點(diǎn)D.若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，有兩個(gè)零點(diǎn)，，一定有〖答案〗ACD〖解析〗由，令，令，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，對于A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則，又易知，且時(shí)，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知函數(shù)在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，故A正確；對于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)無零點(diǎn)，又易得，則，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與的零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，故B錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，由A、B項(xiàng)結(jié)論可知：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，同時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則根據(jù)單調(diào)遞增可知，存在唯一滿足成立，有，若C正確，則只能有，即，由題意易知：，令，則時(shí)，，時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且時(shí)，，時(shí)，，所以，滿足，即存在，使得與有相同的零點(diǎn)，故C正確；對于D項(xiàng)，由C項(xiàng)結(jié)論可知，此時(shí)，則由，故D正確.綜上：ACD正確.故選：ACD.三、填空題13.已知如下的兩組數(shù)據(jù)：第一組：10、11、12、15、14、13第二組：12、14、13、15、a、16若兩組數(shù)據(jù)的方差相等，則實(shí)數(shù)的值為_________.〖答案〗11或17〖解析〗第一組的平均數(shù)，第二組的平均數(shù)，則第一組的方差為，則第二組的方差為，解得或17.故〖答案〗為：11或17.14.若函數(shù)，在上恰有兩個(gè)最大值點(diǎn)和四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是______________．〖答案〗〖解析〗由三角恒等變換可得，時(shí)，有，若要滿足題意則需：.故〖答案〗為：15.“十字貫穿體”是由兩個(gè)完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個(gè)四棱柱分別有兩條相對的側(cè)棱交于兩點(diǎn)，另外兩條相對的側(cè)棱交于一點(diǎn)（該點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)）．若某“十字貫穿體”由兩個(gè)底面邊長為2，高為的正四棱柱構(gòu)成，如圖所示，則該“十字貫穿體”的體積為_______．〖答案〗〖解析〗如圖，兩個(gè)正四棱柱的重疊部分為多面體，取的中點(diǎn)，則多面體可以分成8個(gè)全等三棱錐，則則該“十字貫穿體”的體積為:故〖答案〗為：.16.如圖，橢圓：和：有相同的焦點(diǎn)，，離心率分別為，，為橢圓的上頂點(diǎn)，，，，三點(diǎn)共線且垂足在橢圓上，則的最大值是______.〖答案〗〖解析〗由圖知，則，設(shè)，則，則，由于，所以.故〖答案〗為：四、解答題17.在中，角所對的邊分別是．已知．（1）求；（2）為邊上一點(diǎn)，，且，求．解：（1）已知，由，有，所以，兩邊同乘以abc得：．由正弦定理得：．由，，所以，．（2）取、為平面向量的基底．因?yàn)镈在BC邊上，且，所以．因?yàn)?，所以，則即，得，所以，．不妨設(shè)，．在中，由余弦定理：，所以．由余弦定理：．18.如圖，已知四邊形為平行四邊形，為的中點(diǎn)，，.將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，使平面平面.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危蔀榈闹悬c(diǎn)，，，則為等邊三角形，所以.則，所以等腰三角形，可得，，即，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，則平面，且平面，所以.（2）解：作，過作，由面面得面則兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為由知可取，同理得平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面與平面的夾角為.則.面與面夾角余弦值為.19.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）函數(shù)，，則，當(dāng)，即時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，令，解得，+0↗極大值↘綜上所述，當(dāng)是，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）等價(jià)于，令，當(dāng)時(shí)，，所以不恒成立，不合題意.當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，由（1）可知，所以，對有解，所以對有解，因此原命題轉(zhuǎn)化為存在，使得.令，，則，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，，故在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，故在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.20.若數(shù)列滿足：存在等比數(shù)列，使得集合元素個(gè)數(shù)不大于，則稱數(shù)列具有性質(zhì).如數(shù)列，存在等比數(shù)列，使得集合，則數(shù)列具有性質(zhì).若數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為.證明：（1）數(shù)列為等比數(shù)列；（2）數(shù)列具有性質(zhì).證明：（1）設(shè)，則，.因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，且；（2）由（1），，所以，取數(shù)列，則是等比數(shù)列，并且，因此集合，所以數(shù)列具有性質(zhì).21.已知一個(gè)盒子中裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球，這些球除顏色外全部相同.每次從盒子中隨機(jī)取出1個(gè)球，并換入1個(gè)黑球，記以上取球換球活動為1次操作.設(shè)次操作后盒子中所剩黑球的個(gè)數(shù)為.（1）當(dāng)時(shí)，求的分布列；（2）當(dāng)時(shí)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1），即3次摸換球后的可能取值為1，2，3.當(dāng)，即3次摸球都摸到黑球，當(dāng)，即3次摸球中有且僅有2次摸到黑球，1次白球，當(dāng)，即3次摸球中有且僅有1次摸到黑球，2次白球，.分布列為122（2）時(shí)，即次摸球換球后，黑球個(gè)數(shù)可能取值為1，2，3同（1）當(dāng)，即次摸球都摸到黑球，當(dāng)，即次摸球有且僅有“”次摸到黑球，1次摸到白球，.當(dāng)，，，22.已知拋物線焦點(diǎn)為F，M為拋物線上一點(diǎn)，且