遼寧省部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1遼寧省部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D2.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，當且僅當時，等號成立，所以，而，則.故選：A.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗若，則.當，時，，但，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.若為奇函數(shù)，則（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗因為是R上的奇函數(shù)，則，，因此，整理得，所以故選：D.5.如圖，在由九個相同的正方形組成的九宮格中，（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由圖可知，，則.故選：B.6.在等比數(shù)列中，已知，，則（）A. B.42 C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)的公比為，則，解得，所以，解得，所以.故選：C.7.已知圓錐的底面半徑為4，母線長為5，其頂點和底面圓周均在同一個球的球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為圓錐的底面半徑為4，母線長為5，所以圓錐的高，故球心在圓錐外部.設(shè)球心到圓錐底面圓心的距離為，如圖所示：則，解得，則球的半徑，表面積.故選：C.8.已知實數(shù)，滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題可知，則，則，則，解得，檢驗各選項可知只有B選項成立.故選：B.二、選擇題9.如圖，在四面體中，兩兩垂直，，則（）A.向量在向量上的投影向量為B.向量在向量上的投影向量為C.向量D.向量〖答案〗AD〖解析〗如圖所示，取，連接，則.因為兩兩垂直，，所以在上的投影為點，在上的投影為點，所以向量在向量上的投影向量為，故A正確，B錯誤；，故C錯誤，D正確.故選：AD.10.下列函數(shù)中，存在兩個極值點的是（）A. B.C D.〖答案〗BC〖解析〗由，得恒成立，則無極值，A不正確.由，得，當時，，當時，，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，有兩個極值點，B正確.由，得，當時，，當時，，則在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有兩個極值點，C正確.由，得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，有且只有一個極值點，D不正確.故選：BC.11.若函數(shù)在上恰有10個零點，則的值可能為（）A.50 B.54 C.51 D.58〖答案〗BD〖解析〗當時，，令，得，要使在上恰有10個零點，則需滿足，解得.故選：BD.12.已知函數(shù)的值域為，，，，則下列函數(shù)的最大值為的是（）A.B.C.D.〖答案〗AC〖解析〗因為，所以，當?shù)娜≈捣秶鸀闀r，的取值范圍為，所以的最大值與的最大值相等，均為，A正確.因為，所以的最大值為，B錯誤.因為，所以，當?shù)娜≈捣秶鸀闀r，的取值范圍為，所以的最大值與的最大值相等，均為，所以的最大值為，C正確.，因為，，，所以，所以的最大值一定不是，D錯誤.故選：AC.三、填空題13.已知，均為單位向量，且，則______.〖答案〗〖解析〗因為，均為單位向量，且，所以，所以故〖答案〗為：14.如圖，在直三棱柱中，，，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為______.〖答案〗〖解析〗取的中點，連接，，.因為是的中點，所以.又，，三棱柱為直三棱柱，所以，，，，故異面直線與所成角的余弦值為.故〖答案〗為：.15.若，當時，，則實數(shù)的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗由題意等價于，即等價于，即等價于.令，則原問題可轉(zhuǎn)化為，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，，則，又，，所以，所以實數(shù)的取值范圍是，故〖答案〗為：16.某景區(qū)的平面圖如圖所示，其中，為兩條公路，，為景點，，，現(xiàn)需要修建一條經(jīng)過景點的觀光路線，，分別為，上的點，則面積的最小值為______.〖答案〗200〖解析〗設(shè)，，由，可得，即.由，解得，當且僅當，時，等號成立，此時取得最小值.故面積的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題17.記為等差數(shù)列的前項和，已知，.（1）求的通項公式；（2）求的最小值.（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，可得，解得，所以數(shù)列的通項公式為.（2）解：由（1）知，可得數(shù)列為遞增數(shù)列，且，所以當時，；當時，；當時，，所以，當或時，取得最小值，即，所以，故的最小值為.18.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知.（1）求；（2）若，，，成等比數(shù)列，求.解：（1）因為，所以，又，所以，即，又，所以，（2）因為，，成等比數(shù)列，所以，又，所以，故.19.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求在上的最值.解：（1）因為，所以，則，，故曲線在點處的切線方程為（2）因為，所以當時，，當時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當，為在區(qū)間的極大值且為最大值，又，，，所以在上的最大值為，最小值為.20.如圖，在四棱錐中，，，與均為正三角形.（1）證明：平面.（2）證明：平面.（3）設(shè)平面平面，平面平面，若直線與確定的平面為平面，線段的中點為，求點到平面的距離.（1）證明：因為，所以，，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）證明：取的中點，連接，則四邊形為正方形.過作平面，垂足為.連接，，，.由和均為正三角形，得，所以，即點為正方形對角線的交點，則.因為平面，且平面，所以，又，且平面平面,所以平面，因為平面，所以.因為是的中點，是的中點，所以，因此.因為，所以，又，平面，平面，所以平面.（3）解：設(shè)，連接，則直線為直線，因為，平面，平面，所以平面，因為平面，且平面平面，所以.由（1）知，，，兩兩垂直，以為坐標原點，的方向為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，得.又，所以點到平面的距離.21.已知數(shù)列滿足.（1）求的通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為，證明：.（1）解：當時，當時，由，得，則，則，又，所以.（2）證明：由（1）可知，，當時，.當時，，則，所以.綜上，.22.已知，是函數(shù)的兩個零點，且.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：.（1）解：令，則.令，則.因為在上單調(diào)遞增，且當時，，所以當時，，則在上單調(diào)遞減；當時，，則在上單