成都市高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)（理）試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精成都市2017級高中畢業(yè)班第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)（理科)第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1。復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則的虛部為（)A。 B. C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】，分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知，，故的虛部為。故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查學(xué)生的基本運算能力,是一道基礎(chǔ)題。2.設(shè)全集集合，則（）A. B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再與集合N求交集.【詳解】由已知，，又,所以。故選：A.【點睛】本題考查集合的基本運算，涉及到補集、交集運算，是一道容易題.3.某中學(xué)有高中生人,初中生人為了解該校學(xué)生自主鍛煉的時間，采用分層抽樣的方法從高生和初中生中抽取一個容量為的樣本。若樣本中高中生恰有人，則的值為（）A。 B。 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比計算即可?！驹斀狻坑深}意，,解得。故選:B.【點睛】本題考查簡單隨機抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比，本題是一道基礎(chǔ)題.4.曲線在點處的切線方程為（）A. B。C. D.【答案】D【解析】【分析】只需利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算曲線在點處的導(dǎo)數(shù)值即可。【詳解】由已知，，故切線的斜率為，所以切線方程為，即.故選：D?！军c睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要注意在某點處的切線與過某點的切線的區(qū)別，是一道基礎(chǔ)題。5.已知銳角滿足則（）A。 B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】利用代入計算即可【詳解】由已知，，因為銳角，所以，，即.故選：C.【點睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運算能力,是一道基礎(chǔ)題。6。函數(shù)在的圖象大致為（)A。 B。C. D.【答案】B【解析】【分析】由可排除選項C、D；再由可排除選項A?！驹斀狻恳驗椋蕿槠婧瘮?shù)，排除C、D；又，排除A.故選：B.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式選出函數(shù)圖象的問題，在做這類題時，一般要利用函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、特殊點的函數(shù)值等，是一道基礎(chǔ)題。7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的值為(）A。 B。 C. D.【答案】B【解析】【分析】列出每一次循環(huán)，直到計數(shù)變量滿足退出循環(huán)。【詳解】第一次循環(huán)：;第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：，退出循環(huán),輸出的為。故選：B.【點睛】本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果,要注意在哪一步退出循環(huán),是一道容易題.8.已知函數(shù)則函數(shù)的圖象的對稱軸方程為（）A。 B.C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】,將看成一個整體，結(jié)合的對稱性即可得到答案.【詳解】由已知，,令，得。故選：C?！军c睛】本題考查余弦型函數(shù)的對稱性的問題，在處理余弦型函數(shù)的性質(zhì)時,一般采用整體法，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道容易題.9.如圖，雙曲線的左，右焦點分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點.若則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】易得，過B作x軸的垂線，垂足為T，在中，利用即可得到的方程.【詳解】由已知，得，過B作x軸的垂線，垂足為T，故，又所以，即，所以雙曲線的離心率。故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率問題，在作雙曲線離心率問題時,最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式，本題屬于容易題.10。在正方體中,點、分別為、的中點，過點作平面使平面，平面若直線平面，則的值為（）A。 B. C. D。【答案】B【解析】【分析】作出圖形，設(shè)平面分別交、于點、，連接、、，取的中點，連接、，連接交于點，推導(dǎo)出，由線面平行的性質(zhì)定理可得出，可得出點為的中點,同理可得出點為的中點，結(jié)合中位線的性質(zhì)可求得的值?！驹斀狻咳缦聢D所示:設(shè)平面分別交、于點、，連接、、，取的中點，連接、，連接交于點，四邊形為正方形，、分別為、的中點，則且，四邊形為平行四邊形，且,且，且，則四邊形為平行四邊形，，平面，則存在直線平面，使得,若平面，則平面，又平面，則平面，此時，平面為平面，直線不可能與平面平行，所以，平面，，平面，平面，平面平面，，，所以，四邊形為平行四邊形,可得,為的中點，同理可證為的中點,,，因此，。故選：B.【點睛】本題考查線段長度比值的計算,涉及線面平行性質(zhì)的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是找出平面與正方體各棱的交點位置，考查推理能力與計算能力,屬于中等題.11。已知為圓的一條直徑，點的坐標(biāo)滿足不等式組則的取值范圍為(）A. B.C。 D.【答案】D【解析】【分析】首先將轉(zhuǎn)化為，只需求出的取值范圍即可,而表示可行域內(nèi)的點與圓心距離,數(shù)形結(jié)合即可得到答案。【詳解】作出可行域如圖所示設(shè)圓心為，則，過作直線的垂線，垂足為B，顯然，又易得，所以，，故.故選：D。【點睛】本題考查與線性規(guī)劃相關(guān)的取值范圍問題,涉及到向量的線性運算、數(shù)量積、點到直線的距離等知識，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，是一道中檔題。12.已知函數(shù)，。若存在,使得成立，則的最大值為（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】由題意可知，，由可得出，，利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,進而可得出，由此可得出，可得出,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值即可得解.【詳解】，，由于，則,同理可知，，函數(shù)的定義域為，對恒成立,所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，同理可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，,則,，則，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時,，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時,，此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以，。故選：C。【點睛】本題考查代數(shù)式最值的計算，涉及指對同構(gòu)思想的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，有一定的難度.第Ⅱ卷（共90分)二、填空題（每題5分,滿分20分，將答案填在答題紙上）13.的展開式中的系數(shù)為________________．【答案】【解析】【分析】在二項展開式的通項中令的指數(shù)為，求出參數(shù)值，然后代入通項可得出結(jié)果?！驹斀狻康恼归_式的通項為，令，因此，的展開式中的系數(shù)為。故答案為：?！军c睛】本題考查二項展開式中指定項系數(shù)的求解，涉及二項展開式通項的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.在中，內(nèi)角的對邊分別為,已知，則的面積為___________．【答案】【解析】【分析】由余弦定理先算出c，再利用面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理,得，即,解得,故的面積。故答案為：【點睛】本題考查利用余弦定理求解三角形的面積，考查學(xué)生的計算能力，是一道基礎(chǔ)題.15。已知各棱長都相等的直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）所有頂點都在球的表面上.若球的表面積為則該三棱柱的側(cè)面積為___________．【答案】【解析】【分析】只要算出直三棱柱的棱長即可，在中，利用即可得到關(guān)于x的方程,解方程即可解決。【詳解】由已知，，解得，如圖所示,設(shè)底面等邊三角形中心為，直三棱柱的棱長為x，則，，故,即,解得，故三棱柱的側(cè)面積為。故答案為：。【點睛】本題考查特殊柱體的外接球問題，考查學(xué)生的空間想象能力，是一道中檔題。16.經(jīng)過橢圓中心的直線與橢圓相交于、兩點(點在第一象限），過點作軸的垂線，垂足為點。設(shè)直線與橢圓的另一個交點為。則的值是________________．【答案】【解析】【分析】作出圖形，設(shè)點,則、,設(shè)點，利用點差法得出，利用斜率公式得出,進而可得出,可得出，由此可求得的值?！驹斀狻吭O(shè)點,則、，設(shè)點,則，兩式相減得，即,即，由斜率公式得，,,故,因此，.故答案為：.【點睛】本題考查橢圓中角的余弦值的求解,涉及了點差法與斜率公式的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題。三、解答題（本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)17。已知是遞增的等比數(shù)列，，且、、成等差數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，，求數(shù)列的前項和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）?！窘馕觥俊痉治觥浚á瘢┰O(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題中條件求出的值，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可得出數(shù)列的通項公式；(Ⅱ）求得，然后利用裂項相消法可求得?！驹斀狻?Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為,由題意及，知.、、成等差數(shù)列成等差數(shù)列，,,即,解得或(舍去）,.數(shù)列的通項公式為；（Ⅱ)，.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項的求解，同時也考查了裂項求和法，考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.18.如圖，在四棱錐中，是邊長為的正方形的中心，平面,為的中點。（Ⅰ）求證：平面平面；(Ⅱ）若,求二面角的余弦值.【答案】(Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ)?！窘馕觥俊痉治觥浚á?由正方形的性質(zhì)得出，由平面得出，進而可推導(dǎo)出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（Ⅱ）取的中點，連接、，以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】(Ⅰ）是正方形，，平面，平面，、平面，且，平面,又平面,平面平面;（Ⅱ)取的中點,連接、，是正方形，易知、、兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，以、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，在中，，，，、、、，設(shè)平面的一個法向量，,，由，得，令，則，，。設(shè)平面的一個法向量,，,由，得，取,得，，得.,二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為?！军c睛】本題考查面面垂直的證明,同時也考查了利用空間向量法求解二面角,考查推理能力與計算能力，屬于中等題。19.某動漫影視制作公司長期堅持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動漫題材,創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動漫影視作品,獲得市場和廣大觀眾的一致好評，同時也為公司贏得豐厚的利潤.該公司年至年的年利潤關(guān)于年份代號的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表（已知該公司的年利潤與年份代號線性相關(guān)).年份年份代號年利潤（單位：億元）(Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測該公司年（年份代號記為）的年利潤；（Ⅱ）當(dāng)統(tǒng)計表中某年年利潤的實際值大于由（Ⅰ）中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時，稱該年為級利潤年，否則稱為級利潤年。將(Ⅰ）中預(yù)測的該公司年的年利潤視作該年利潤的實際值，現(xiàn)從年至年這年中隨機抽取年，求恰有年為級利潤年的概率。參考公式：，.【答案】（Ⅰ），該公司年年利潤的預(yù)測值為億元；（Ⅱ)。【解析】【分析】（Ⅰ)求出和的值,將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求得和的值,進而可求得關(guān)于的線性回歸方程，然后將代入回歸直線方程，可得出該公司年年利潤的估計值;(Ⅱ)利用（Ⅰ）中的回歸直線方程計算出從年至年這年被評為級利潤年的年數(shù)，然后利用組合計數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率可得出所求事件的概率?！驹斀狻?Ⅰ)根據(jù)表中數(shù)據(jù),計算可得,，，又，，，關(guān)于的線性回歸方程為.將代入回歸方程得(億元），該公司年的年利潤的預(yù)測值為億元.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知年至年的年利潤的估計值分別為、、、、、、、（單位：億元），其中實際利潤大于相應(yīng)估計值的有年。故這年中被評為級利潤年的有年，評為級利潤年的有年。記“從年至年這年的年利潤中隨機抽取年，恰有年為級利潤年”的概率為，?！军c睛】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程，同時也考查了古典概型概率的計算，涉及組合計數(shù)原理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.20。已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，且.（Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點，與圓相交于、兩點,求的取值范圍?！敬鸢浮浚á瘢?；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用勾股定理結(jié)合條件求得和，利用橢圓的定義求得的值，進而可得出，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；（Ⅱ）設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與弦長公式求出，利用幾何法求得直線截圓所得弦長，可得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,利用不等式的性質(zhì)可求得的取值范圍?！驹斀狻?Ⅰ）在橢圓上，，，，,,，又，，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）設(shè)點、,聯(lián)立消去，得，，則，,設(shè)圓的圓心到直線的距離為，則.，，，，的取值范圍為?！军c睛】本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了橢圓中弦長之積的取值范圍的求解，涉及韋達(dá)定理與弦長公式的應(yīng)用,考查計算能力，屬于中等題。21.已知函數(shù)，其中。（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（Ⅱ)設(shè).若在上恒成立，求實數(shù)的最大值.【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ)?！窘馕觥俊痉治觥浚á瘢┣蟪龊瘮?shù)的定義域以及導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間;（Ⅱ）由題意可知在上恒成立，分和兩種情況討論，在時，構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明出在上恒成立;在時，經(jīng)過分析得出,然后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明出在上恒成立，由此得出，進而可得出實數(shù)的最大值.【詳解】（Ⅰ)函數(shù)的定義域為.當(dāng)時，.令，解得（舍去)，。當(dāng)時,，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增。因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為;(Ⅱ)由題意,可知在上恒成立.(i）若，，，,構(gòu)造函數(shù)，，則，，，.又，在上恒成立。所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時，在上恒成立.(ii）若,構(gòu)造函數(shù)，。，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增。恒成立，即，，即。由題意，知在上恒成立。在上恒成立。由（Ⅰ)可知，又，當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，,不合題意,,即.此時構(gòu)造函數(shù)，.,，，，恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，恒成立。綜上,實數(shù)的最大值為【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問題，本題的難點在于不斷構(gòu)造新函數(shù)來求解，考查推理能力與運算求解能力，屬于難題。請考生在第22,23題中任選擇一題作答，如果多做,則按所做的第一題記分.作答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的標(biāo)號涂黑。22。在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求直線的直角