專題導(dǎo)數(shù)同構(gòu)法講義-高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

同構(gòu)專題知識梳理1.指對形式同時出現(xiàn)，可能需要利用指對同構(gòu)來解決問題2.當遇到冪函數(shù)乘以或常數(shù)乘以時我們可以用對數(shù)恒等式變換，這時搭配、就能找到同構(gòu)。這種同構(gòu)就稱為朗博同構(gòu)。常用的方法有：、、、、3.為了實現(xiàn)不等式兩邊“結(jié)構(gòu)”相同的目的，需時時對指對式進行“改頭換面”，常用的恒等變形的方法有：x=elnx(x>0)，①xex=②xex=③x2ex④exx2有時也需要對兩邊同時加、乘某式等.4.與為常見同構(gòu)式：，；與為常見同構(gòu)式：，.精選例題習(xí)題題型：構(gòu)造1.已知，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為（）A． B． C．0 D．1【答案】A【解析】設(shè)，顯然是增函數(shù)，不等式變形為，即，所以．所以，令，則，當時，，單調(diào)遞增，時，，遞減，所以，不等式恒成立，則．即的最小值是．故選：A．2.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是.【答案】【解析】由移項得：（說明：將變量移至一邊的原則進行變形）即，兩邊同時加（x－1）得（說明：系數(shù)升指數(shù)、按左右結(jié)構(gòu)相同的原則進行變形）即設(shè)，則，所以單增所以，即設(shè)，則，所以在單減，在單增，所以，所以.3.已知函數(shù)（），若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】∵∴兩邊加上得設(shè)，則其單增∴，即令，則∵的定義域是∴當時，，單增；當時，，單減∴當時，取得極大值即為最大值，且∴，∴即為所求.題型：構(gòu)造1.設(shè)實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為，不等式成立，即成立，即，進而轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可得，當，，單調(diào)遞增，則不等式恒成立等價于恒成立，即恒成立，進而轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，可得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以當，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，即實數(shù)m的取值范圍是.2.設(shè)實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的最大值是（）.【答案】【解析】變形為，構(gòu)造函數(shù)，等價轉(zhuǎn)化為，即，只需，答案為.題型：構(gòu)造1.設(shè)a，b都是正數(shù)，若aea+1+bA.ab＞e；B.b＞ea+1；C.ab＜e；D.b＜ea+1.【答案】B【解析】由已知aea+1+b為了實現(xiàn)“一邊一個變量”，兩邊同時除以e得ae為了實現(xiàn)“兩邊結(jié)構(gòu)相同”，對左邊“降階”得a故ea設(shè)fx=∵a＞0，∴e∵blnb?1＞0，b＞0當x＞1時，f'∴ea＜be，即ea+12．若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】不等式，在恒成立，即在恒成立，設(shè)，則，因為，令，解得，所以當，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，因為當時，恒成立，所以恒成立，所以，設(shè)，則，當時，，單調(diào)遞減，所以所以，即的取值范圍為.故答案為：題型：構(gòu)造1.已知函數(shù)（），若對于任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.A．；B．；C．；D．.【答案】A【解析】，即兩邊同時除以得兩邊同時除以得，即設(shè)函數(shù)，易得在單增所以，易知，故設(shè)，易得所以，故，選A.2.6.（2022·江蘇天一中學(xué)）已知關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_________．【答案】（，）【解析】關(guān)于的不等式在上恒成立，則，設(shè)，∴∵，∴在上單調(diào)遞增，∴即，設(shè)，∴，令，得，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，∴，∴故答案為：（，）.題型：構(gòu)造f(x)=x1．已知，不等式對任意的實數(shù)恒成立，則實數(shù)a的最小值為：_______．【答案】【解析】，∴，構(gòu)造函數(shù)，顯然在上單調(diào)遞增，故等價于，即任意的實數(shù)恒成立，．令，則，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，得．2．已知不等式對任意恒成立，則正實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】不等式可變形為.因為且，所以.令，則.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.不等式等價于，所以.因為，所以.設(shè)，則.當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以，所以.故正實數(shù)的取值范圍是.題型：其它構(gòu)造1.已知關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，構(gòu)造函數(shù)，則，，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，得，，在上恒成立，設(shè)，，當時，，單調(diào)增，當時，，單調(diào)減，，所以故選:A.2.（2022年10月浙江十校聯(lián)考16）若對任意都有（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）恒成立,則實數(shù)的最小值為為________________.【答案】【解析】可變形為,令,則原不等式變形為：恒成立單調(diào)遞增,即有恒成立對兩邊取對數(shù)得,即恒成立令,由知時單調(diào)遞增；時單調(diào)遞減,故,所以.故填：題型：多種不同的構(gòu)造法1.設(shè)實數(shù)λ>0，若對任意的x∈(0，+∞)，不等式eλx?lnx【答案】[【解析】方法一：由eλx?lnxλ≥0得e設(shè)f(t)=tet，則又f'∴當t<?1時，f'(t)<0，f(t)單調(diào)遞減；當t>?1時，①當x≥1e時，t1=λx>0，t2即f(λx)≥f(lnx)，所以λx≥lnx對任意的x∈(0，+∞)設(shè)gx=lnxx，x>0，則g'x=1?lnxx2，則當0<x<e②當0<x<1e時，由f0=0?e0=0，結(jié)合函數(shù)f(t)綜上可得λ≥1e，∴實數(shù)λ的取值范圍是方法二：由eλx?lnxλ≥0得e當x∈(0，1]時，總有λxeλx>0只需考慮x>1的情形，亦即λ設(shè)f(t)=tet(t>0)，則ft由fλx≥flnx得，λ設(shè)ggxmax=ge方法三：由eλx?lnxλ≥0得eλx≥lnx當x∈(0，1]時，總有λxeλx>0只需考慮x>1的情形，亦即e設(shè)f(t)=tlnt(t>1)，則f'ft由feλx≥fx得，e設(shè)ggxmax=ge方法四：由eλx?lnxλ≥0得eλx≥lnx當x∈(0，1]時，總有λxeλx>0只需考慮x>1的情形，得λ設(shè)ft=t+lnt(t>1)，則ft由fλx≥flnx得，λx≥lnx，即設(shè)ggxmax=ge2.對于任意實數(shù)，不等式恒成立，則的取值范圍是