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新疆昌吉市瑪納斯縣第一中學(xué)2024屆高考數(shù)學(xué)二模試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),,若對(duì)任意的,存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,使得,則的最大值是()A.3 B.2 C.4 D.52.已知,是兩條不重合的直線(xiàn),是一個(gè)平面,則下列命題中正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則3.方程的實(shí)數(shù)根叫作函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,如果函數(shù)的“新駐點(diǎn)”為,那么滿(mǎn)足()A. B. C. D.4.某中學(xué)2019年的高考考生人數(shù)是2016年高考考生人數(shù)的1.2倍,為了更好地對(duì)比該??忌纳龑W(xué)情況,統(tǒng)計(jì)了該校2016年和2019年的高考情況,得到如圖柱狀圖:則下列結(jié)論正確的是().A.與2016年相比,2019年不上線(xiàn)的人數(shù)有所增加B.與2016年相比,2019年一本達(dá)線(xiàn)人數(shù)減少C.與2016年相比,2019年二本達(dá)線(xiàn)人數(shù)增加了0.3倍D.2016年與2019年藝體達(dá)線(xiàn)人數(shù)相同5.下列判斷錯(cuò)誤的是()A.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則B.已知直線(xiàn)平面,直線(xiàn)平面,則“”是“”的充分不必要條件C.若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布:,則D.是的充分不必要條件6.函數(shù)的定義域?yàn)椋?,則()A. B. C. D.7.如圖,正方形網(wǎng)格紙中的實(shí)線(xiàn)圖形是一個(gè)多面體的三視圖,則該多面體各表面所在平面互相垂直的有()A.2對(duì) B.3對(duì)C.4對(duì) D.5對(duì)8.函數(shù)的部分圖像如圖所示,若,點(diǎn)的坐標(biāo)為,若將函數(shù)向右平移個(gè)單位后函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),則的最小值為()A. B. C. D.9.已知是球的球面上兩點(diǎn),,為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為()A. B. C. D.10.若樣本的平均數(shù)是10,方差為2,則對(duì)于樣本,下列結(jié)論正確的是()A.平均數(shù)為20,方差為4 B.平均數(shù)為11,方差為4C.平均數(shù)為21,方差為8 D.平均數(shù)為20,方差為811.如圖所示程序框圖,若判斷框內(nèi)為“”,則輸出()A.2 B.10 C.34 D.9812.觀察下列各式:,,,,,,,,根據(jù)以上規(guī)律,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知為拋物線(xiàn):的焦點(diǎn),過(guò)作兩條互相垂直的直線(xiàn),,直線(xiàn)與交于、兩點(diǎn),直線(xiàn)與交于、兩點(diǎn),則的最小值為_(kāi)_________.14.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則_________.15.已知復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)的值是__.16.正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為,為中點(diǎn),則三棱錐的體積為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知在三棱臺(tái)中,,,.(1)求證:;(2)過(guò)的平面分別交,于點(diǎn),,且分割三棱臺(tái)所得兩部分幾何體的體積比為,幾何體為棱柱,求的長(zhǎng).提示:臺(tái)體的體積公式(,分別為棱臺(tái)的上、下底面面積,為棱臺(tái)的高).18.(12分)已知曲線(xiàn)的參數(shù)方程為為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸并取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程,并說(shuō)明其表示什么軌跡;(2)若直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為,求曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離.19.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間.(2)設(shè)直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn),若的斜率存在最小值-2,求的值,并求取得最小斜率時(shí)切線(xiàn)的方程.(3)已知分別在,處取得極值,求證:.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,圓C的參數(shù)方程(為參數(shù)),以O(shè)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;(2)直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程是,射線(xiàn)與圓C的交點(diǎn)為O、P,與直線(xiàn)l的交點(diǎn)為Q,求線(xiàn)段的長(zhǎng).21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,取相同長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)的普通方程;(2)設(shè)射線(xiàn)與曲線(xiàn)交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn),與曲線(xiàn)交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn),求線(xiàn)段的長(zhǎng).22.(10分)已知,且滿(mǎn)足,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,對(duì)于恒成立,然后構(gòu)造函數(shù),然后求出的范圍,進(jìn)一步得到的最大值.【詳解】,,對(duì)任意的,存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,使得,易得,即恒成立,,對(duì)于恒成立,設(shè),則,令,在恒成立,,故存在,使得,即,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.,將代入得:,,且,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,零點(diǎn)存在定理和不等式恒成立問(wèn)題,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.2、D【解析】
利用空間位置關(guān)系的判斷及性質(zhì)定理進(jìn)行判斷.【詳解】解:選項(xiàng)A中直線(xiàn),還可能相交或異面,選項(xiàng)B中,還可能異面,選項(xiàng)C,由條件可得或.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)與平面平行、垂直的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識(shí);考查空間想象能力、推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
由題設(shè)中所給的定義,方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可求出的大致范圍【詳解】解:由題意方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,對(duì)于函數(shù),由于,,設(shè),該函數(shù)在為增函數(shù),,,在上有零點(diǎn),故函數(shù)的“新駐點(diǎn)”為,那么故選:.【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)新定義的題,理解定義,分別建立方程解出存在范圍是解題的關(guān)鍵,本題考查了推理判斷的能力,屬于基礎(chǔ)題..4、A【解析】
設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x,則2019年高考人數(shù)為,通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算逐一驗(yàn)證選項(xiàng)A、B、C、D.【詳解】設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x,則2019年高考人數(shù)為,2016年高考不上線(xiàn)人數(shù)為,2019年不上線(xiàn)人數(shù)為,故A正確;2016年高考一本人數(shù),2019年高考一本人數(shù),故B錯(cuò)誤;2019年二本達(dá)線(xiàn)人數(shù),2016年二本達(dá)線(xiàn)人數(shù),增加了倍,故C錯(cuò)誤;2016年藝體達(dá)線(xiàn)人數(shù),2019年藝體達(dá)線(xiàn)人數(shù),故D錯(cuò)誤.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查柱狀圖的應(yīng)用,考查學(xué)生識(shí)圖的能力,是一道較為簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)類(lèi)的題目.5、D【解析】
根據(jù)正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識(shí),依次對(duì)四個(gè)選項(xiàng)加以分析判斷,進(jìn)而可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng),若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,根據(jù)正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性,有,故選項(xiàng)正確,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng),已知直線(xiàn)平面,直線(xiàn)平面,則當(dāng)時(shí)一定有,充分性成立,而當(dāng)時(shí),不一定有,故必要性不成立,所以“”是“”的充分不必要條件,故選項(xiàng)正確,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng),若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布:,則,故選項(xiàng)正確,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng),,僅當(dāng)時(shí)有,當(dāng)時(shí),不成立,故充分性不成立;若,僅當(dāng)時(shí)有,當(dāng)時(shí),不成立,故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要條件,故選項(xiàng)不正確,符合題意.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識(shí),考查理解辨析能力與運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
根據(jù)函數(shù)定義域得集合,解對(duì)數(shù)不等式得到集合,然后直接利用交集運(yùn)算求解.【詳解】解:由函數(shù)得,解得,即;又,解得,即,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了交集及其運(yùn)算,考查了函數(shù)定義域的求法,是基礎(chǔ)題.7、C【解析】
畫(huà)出該幾何體的直觀圖,易證平面平面,平面平面,平面平面,平面平面,從而可選出答案.【詳解】該幾何體是一個(gè)四棱錐,直觀圖如下圖所示,易知平面平面,作PO⊥AD于O,則有PO⊥平面ABCD,PO⊥CD,又AD⊥CD,所以,CD⊥平面PAD,所以平面平面,同理可證:平面平面,由三視圖可知:PO=AO=OD,所以,AP⊥PD,又AP⊥CD,所以,AP⊥平面PCD,所以,平面平面,所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對(duì).【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的三視圖,考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征,考查了面面垂直的證明,屬于中檔題.8、B【解析】
根據(jù)圖象以及題中所給的條件,求出和,即可求得的解析式,再通過(guò)平移變換函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),求得的最小值.【詳解】由于,函數(shù)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的高度差為,所以函數(shù)的半個(gè)周期,所以,又,,則有,可得,所以,將函數(shù)向右平移個(gè)單位后函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),即平移后為偶函數(shù),所以的最小值為1,故選:B.【點(diǎn)睛】該題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決該題的關(guān)鍵,要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變換關(guān)系,屬于簡(jiǎn)單題目.9、C【解析】
如圖所示,當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí),三棱錐的體積最大,設(shè)球的半徑為,此時(shí),故,則球的表面積為,故選C.考點(diǎn):外接球表面積和椎體的體積.10、D【解析】
由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系,可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系,方差的關(guān)系,進(jìn)而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10,方差為2,所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.【點(diǎn)睛】樣本的平均數(shù)是,方差為,則的平均數(shù)為,方差為.11、C【解析】
由題意,逐步分析循環(huán)中各變量的值的變化情況,即可得解.【詳解】由題意運(yùn)行程序可得:,,,;,,,;,,,;不成立,此時(shí)輸出.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖,只需在理解程序框圖的前提下細(xì)心計(jì)算即可,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
每個(gè)式子的值依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,然后歸納出數(shù)列的遞推關(guān)系后再計(jì)算.【詳解】以及數(shù)列的應(yīng)用根據(jù)題設(shè)條件,設(shè)數(shù)字,,,,,,,構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,可得數(shù)列滿(mǎn)足,則,,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理,解題關(guān)鍵是通過(guò)數(shù)列的項(xiàng)歸納出遞推關(guān)系,從而可確定數(shù)列的一些項(xiàng).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、16.【解析】由題意可知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),準(zhǔn)線(xiàn)為設(shè)直線(xiàn)的解析式為∵直線(xiàn)互相垂直∴的斜率為與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立,消去得設(shè)點(diǎn)由跟與系數(shù)的關(guān)系得,同理∵根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì),拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離∴,同理∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為16點(diǎn)睛:(1)與拋物線(xiàn)有關(guān)的最值問(wèn)題,一般情況下都與拋物線(xiàn)的定義有關(guān).利用定義可將拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線(xiàn)的距離,可以使運(yùn)算化繁為簡(jiǎn).“看到準(zhǔn)線(xiàn)想焦點(diǎn),看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線(xiàn)”,這是解決拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦有關(guān)問(wèn)題的重要途徑;(2)圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題,可利用基本不等式求解,但要注意不等式成立的條件.14、0.4【解析】
因?yàn)殡S機(jī)變量ζ服從正態(tài)分布,利用正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性,即得解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量ζ服從正態(tài)分布所以正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng),所.【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性在求概率中的應(yīng)用,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.15、2【解析】
由題,得,然后根據(jù)純虛數(shù)的定義,即可得到本題答案.【詳解】由題,得,又復(fù)數(shù)為純虛數(shù),所以,解得.故答案為:2【點(diǎn)睛】本題主要考查純虛數(shù)定義的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.16、【解析】
試題分析:因?yàn)檎庵牡酌孢呴L(zhǎng)為,側(cè)棱長(zhǎng)為為中點(diǎn),所以底面的面積為,到平面的距離為就是底面正三角形的高,所以三棱錐的體積為.考點(diǎn):幾何體的體積的計(jì)算.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析;(2)2【解析】
(1)在中,利用勾股定理,證得,又由題設(shè)條件,得到,利用線(xiàn)面垂直的判定定理,證得平面,進(jìn)而得到;(2)設(shè)三棱臺(tái)和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為,根據(jù)棱臺(tái)的體積公式,列出方程求得,得到,即可求解.【詳解】(1)由題意,在中,,,所以,可得,因?yàn)?,可?又由,,平面,所以平面,因?yàn)槠矫?,所?(2)因?yàn)椋傻?,令,,設(shè)三棱臺(tái)和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為,則,整理得,即,解得,即,又由,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)與平面垂直的判定與應(yīng)用,以及幾何體的體積公式的應(yīng)用,其中解答中熟記線(xiàn)面位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理,以及熟練應(yīng)用幾何體的體積公式進(jìn)行求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.18、(1),表示圓心為,半徑為的圓;(2)【解析】
(1)根據(jù)參數(shù)得到直角坐標(biāo)系方程,再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程得到答案.(2)直線(xiàn)方程為,計(jì)算圓心到直線(xiàn)的距離加上半徑得到答案.【詳解】(1),即,化簡(jiǎn)得到:.即,表示圓心為,半徑為的圓.(2),即,圓心到直線(xiàn)的距離為.故曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離為.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,直線(xiàn)和圓的距離的最值,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.19、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為;(2),;(3)證明見(jiàn)解析.【解析】
(1)由的正負(fù)可確定的單調(diào)區(qū)間;(2)利用基本不等式可求得時(shí),取得最小值,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,從而求得,求得切點(diǎn)坐標(biāo)后,可得到切線(xiàn)方程;(3)由極值點(diǎn)的定義可知是的兩個(gè)不等正根,由判別式大于零得到的取值范圍,同時(shí)得到韋達(dá)定理的形式;化簡(jiǎn)為,結(jié)合的范圍可證得結(jié)論.【詳解】(1)由題意得:的定義域?yàn)?,?dāng)時(shí),,,當(dāng)和時(shí),;當(dāng)時(shí),,的單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為.(2),所以(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)),切線(xiàn)的斜率存在最小值,,解得:,,即切點(diǎn)為,從而切線(xiàn)方程,即:.(3),分別在,處取得極值,,是方程,即的兩個(gè)不等正根.則,解得:,且,.,,,即不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用,涉及到利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等知識(shí);本題中證明不等式的關(guān)鍵是能夠通過(guò)極值點(diǎn)的定義將問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉畏匠谈姆植紗?wèn)題.20、(1);(2)2【解析】
(1)首先利用對(duì)圓C的參數(shù)方程(φ為參數(shù))進(jìn)行消參數(shù)運(yùn)算,化為普通方程,再根據(jù)普通方程化極坐標(biāo)方程的公式得到圓C的極坐標(biāo)方程.(2)設(shè),聯(lián)立直線(xiàn)與圓的極坐標(biāo)方程,解得;設(shè),聯(lián)立直線(xiàn)與直線(xiàn)
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