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文檔簡介
信陽市重點中學2024屆高考數(shù)學必刷試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且在上單調遞增,則()A. B.C. D.2.已知向量,夾角為,,,則()A.2 B.4 C. D.3.已知七人排成一排拍照,其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰,甲、丁兩人必須相鄰,則滿足要求的排隊方法數(shù)為().A.432 B.576 C.696 D.9604.的展開式中,滿足的的系數(shù)之和為()A. B. C. D.5.已知雙曲線的一個焦點為,且與雙曲線的漸近線相同,則雙曲線的標準方程為()A. B. C. D.6.已知是圓心為坐標原點,半徑為1的圓上的任意一點,將射線繞點逆時針旋轉到交圓于點,則的最大值為()A.3 B.2 C. D.7.已知函數(shù)(e為自然對數(shù)底數(shù)),若關于x的不等式有且只有一個正整數(shù)解,則實數(shù)m的最大值為()A. B. C. D.8.函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A. B.C. D.9.已知展開式中第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相等,,若,則的值為()A.1 B.-1 C.8l D.-8110.在中,,,,則在方向上的投影是()A.4 B.3 C.-4 D.-311.若函數(shù)的圖象如圖所示,則的解析式可能是()A. B. C. D.12.已知函數(shù),不等式對恒成立,則的取值范圍為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若點為點在平面上的正投影,則記.如圖,在棱長為1的正方體中,記平面為,平面為,點是線段上一動點,.給出下列四個結論:①為的重心;②;③當時,平面;④當三棱錐的體積最大時,三棱錐外接球的表面積為.其中,所有正確結論的序號是________________.14.已知橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,橢圓的焦距為2c,過C外一點P(c,2c)作線段PF1,PF2分別交橢圓C于點A、B,若|PA|=|AF1|,則_____.15.如圖是某幾何體的三視圖,俯視圖中圓的兩條半徑長為2且互相垂直,則該幾何體的體積為________.16.已知為矩形的對角線的交點,現(xiàn)從這5個點中任選3個點,則這3個點不共線的概率為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)平面直角坐標系中,曲線:.直線經過點,且傾斜角為,以為極點,軸正半軸為極軸,建立極坐標系.(1)寫出曲線的極坐標方程與直線的參數(shù)方程;(2)若直線與曲線相交于,兩點,且,求實數(shù)的值.18.(12分)如圖所示,在四棱錐中,∥,,點分別為的中點.(1)證明:∥面;(2)若,且,面面,求二面角的余弦值.19.(12分)設數(shù)列滿足,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設,求數(shù)列的前項和.20.(12分)在三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,角為鈍角,(1)求的值;(2)求邊的長.21.(12分)設函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù).(Ⅰ)若在上存在兩個極值點,求的取值范圍;(Ⅱ)若,函數(shù)與函數(shù)的圖象交于,且線段的中點為,證明:.22.(10分)已知四棱錐中,底面為等腰梯形,,,,丄底面.(1)證明:平面平面;(2)過的平面交于點,若平面把四棱錐分成體積相等的兩部分,求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)題意,由函數(shù)的奇偶性可得,,又由,結合函數(shù)的單調性分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),則,,有,又由在上單調遞增,則有,故選C.【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調性的綜合應用,注意函數(shù)奇偶性的應用,屬于基礎題.2、A【解析】
根據(jù)模長計算公式和數(shù)量積運算,即可容易求得結果.【詳解】由于,故選:A.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算,模長的求解,屬綜合基礎題.3、B【解析】
先把沒有要求的3人排好,再分如下兩種情況討論:1.甲、丁兩者一起,與乙、丙都不相鄰,2.甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰.【詳解】首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好,共有種不同排列方式,甲、丁排在一起共有種不同方式;若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰,插入余下三人產生的空檔中,共有種不同方式;若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰,插入余下三人產生的空檔中,共有種不同方式;根據(jù)分類加法、分步乘法原理,得滿足要求的排隊方法數(shù)為種.故選:B.【點睛】本題考查排列組合的綜合應用,在分類時,要注意不重不漏的原則,本題是一道中檔題.4、B【解析】
,有,,三種情形,用中的系數(shù)乘以中的系數(shù),然后相加可得.【詳解】當時,的展開式中的系數(shù)為.當,時,系數(shù)為;當,時,系數(shù)為;當,時,系數(shù)為;故滿足的的系數(shù)之和為.故選:B.【點睛】本題考查二項式定理,掌握二項式定理和多項式乘法是解題關鍵.5、B【解析】
根據(jù)焦點所在坐標軸和漸近線方程設出雙曲線的標準方程,結合焦點坐標求解.【詳解】∵雙曲線與的漸近線相同,且焦點在軸上,∴可設雙曲線的方程為,一個焦點為,∴,∴,故的標準方程為.故選:B【點睛】此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點求解雙曲線的標準方程,易錯點在于漏掉考慮焦點所在坐標軸導致方程形式出錯.6、C【解析】
設射線OA與x軸正向所成的角為,由三角函數(shù)的定義得,,,利用輔助角公式計算即可.【詳解】設射線OA與x軸正向所成的角為,由已知,,,所以,當時,取得等號.故選:C.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的最值問題,涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識,是一道容易題.7、A【解析】
若不等式有且只有一個正整數(shù)解,則的圖象在圖象的上方只有一個正整數(shù)值,利用導數(shù)求出的最小值,分別畫出與的圖象,結合圖象可得.【詳解】解:,∴,設,∴,當時,,函數(shù)單調遞增,當時,,函數(shù)單調遞減,∴,當時,,當,,函數(shù)恒過點,分別畫出與的圖象,如圖所示,,若不等式有且只有一個正整數(shù)解,則的圖象在圖象的上方只有一個正整數(shù)值,∴且,即,且∴,故實數(shù)m的最大值為,故選:A【點睛】本題考查考查了不等式恒有一正整數(shù)解問題,考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,考查了數(shù)形結合思想,考查了數(shù)學運算能力.8、B【解析】
根據(jù)定義域排除,求出的值,可以排除,考慮排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域為,所以不合題意;選項,計算,不符合函數(shù)圖象;對于選項,與函數(shù)圖象不一致;選項符合函數(shù)圖象特征.故選:B【點睛】此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式,主要利用函數(shù)性質分析,常見方法為排除法.9、B【解析】
根據(jù)二項式系數(shù)的性質,可求得,再通過賦值求得以及結果即可.【詳解】因為展開式中第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相等,故可得,令,故可得,又因為,令,則,解得令,則.故選:B.【點睛】本題考查二項式系數(shù)的性質,以及通過賦值法求系數(shù)之和,屬綜合基礎題.10、D【解析】分析:根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得,再結合圖形求出與方向上的投影即可.詳解:如圖所示:,,,又,,在方向上的投影是:,故選D.點睛:本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應用問題,也考查了數(shù)形結合思想的應用問題.11、A【解析】
由函數(shù)性質,結合特殊值驗證,通過排除法求得結果.【詳解】對于選項B,為奇函數(shù)可判斷B錯誤;對于選項C,當時,,可判斷C錯誤;對于選項D,,可知函數(shù)在第一象限的圖象無增區(qū)間,故D錯誤;故選:A.【點睛】本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問題,通過函數(shù)性質及特殊值利用排除法是解決本題的關鍵,難度一般.12、C【解析】
確定函數(shù)為奇函數(shù),且單調遞減,不等式轉化為,利用雙勾函數(shù)單調性求最值得到答案.【詳解】是奇函數(shù),,易知均為減函數(shù),故且在上單調遞減,不等式,即,結合函數(shù)的單調性可得,即,設,,故單調遞減,故,當,即時取最大值,所以.故選:.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調性和奇偶性解不等式,參數(shù)分離求最值是解題的關鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①②③【解析】
①點在平面內的正投影為點,而正方體的體對角線與和它不相交的的面對角線垂直,所以直線垂直于平面,而為正三角形,可得為正三角形的重心,所以①是正確的;②取的中點,連接,則點在平面的正投影在上,記為,而平面平面,所以,所以②正確;③若設,則由可得,然后對應邊成比例,可解,所以③正確;④由于,而的面積是定值,所以當點到平面的距離最大時,三棱錐的體積最大,而當點與點重合時,點到平面的距離最大,此時為棱長為的正四面體,其外接球半徑,則球,所以④錯誤.【詳解】因為,連接,則有平面平面為正三角形,所以為正三角形的中心,也是的重心,所以①正確;由平面,可知平面平面,記,由,可得平面平面,則,所以②正確;若平面,則,設由得,易得,由,則,由得,,解得,所以③正確;當與重合時,最大,為棱長為的正四面體,其外接球半徑,則球,所以④錯誤.故答案為:①②③【點睛】此題考查立體幾何中的垂直、平行關系,求幾何體的體積,考查空間想象能力和推理能力,屬于難題.14、【解析】
根據(jù)條件可得判斷OA∥PF2,且|PF2|=2|OA|,從而得到點A為橢圓上頂點,則有b=c,解出B的坐標即可得到比值.【詳解】因為|PA|=|AF1|,所以點A是線段PF1的中點,又因為點O為線段F1F2的中點,所以OA∥PF2,且|PF2|=2|OA|,因為點P(c,2c),所以PF2⊥x軸,則|PF2|=2c,所以OA⊥x軸,則點A為橢圓上頂點,所以|OA|=b,則2b=2c,所以b=c,ac,設B(c,m)(m>0),則,解得mc,所以|BF2|c,則.故答案為:2.【點睛】本題考查橢圓的基本性質,考查直線位置關系的判斷,方程思想,屬于中檔題.15、20【解析】
由三視圖知該幾何體是一個圓柱與一個半球的四分之三的組合,利用球體體積公式、圓柱體積公式計算即可.【詳解】由三視圖知,該幾何體是由一個半徑為2的半球的四分之三和一個底面半徑2、高為4的圓柱組合而成,其體積為.故答案為:20.【點睛】本題考查三視圖以及幾何體體積,考查學生空間想象能力以及數(shù)學運算能力,是一道容易題.16、【解析】
基本事件總數(shù),這3個點共線的情況有兩種和,由此能求出這3個點不共線的概率.【詳解】解:為矩形的對角線的交點,現(xiàn)從,,,,這5個點中任選3個點,基本事件總數(shù),這3個點共線的情況有兩種和,這3個點不共線的概率為.故答案為:.【點睛】本題考查概率的求法,考查對立事件概率計算公式等基礎知識,考查運算求解能力,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)(t為參數(shù));(Ⅱ)或或.【解析】
試題分析:本題主要考查極坐標方程、參數(shù)方程與直角方程的相互轉化、直線與拋物線的位置關系等基礎知識,考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問,用,化簡表達式,得到曲線的極坐標方程,由已知點和傾斜角得到直線的參數(shù)方程;第二問,直線方程與曲線方程聯(lián)立,消參,解出的值.試題解析:(1)即,.(2),符合題意考點:本題主要考查:1.極坐標方程,參數(shù)方程與直角方程的相互轉化;2.直線與拋物線的位置關系.18、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)根據(jù)題意,連接交于,連接,利用三角形全等得,進而可得結論;(2)建立空間直角坐標系,利用向量求得平面的法向量,進而可得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:連接交于,連接,,≌,且,面面,面,(2)取中點,連,.由,面面面,又由,以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系,設,則,,,,,,為面的一個法向量,設面的法向量為,依題意,即,令,解得,所以,平面的法向量,,又因二面角為銳角,故二面角的余弦值為.【點睛】本題考查直線與平面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,解題時要認真審題,注意中位線和向量法的合理運用,屬于基礎題.19、(1);(2).【解析】
(1)令可求得的值,令時,由可得出,兩式相減可得的表達式,然后對是否滿足在時的表達式進行檢驗,由此可得出數(shù)列的通項公式;(2)求出數(shù)列的通項公式,對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論,利用奇偶分組求和法結合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式可求得結果.【詳解】(1),當時,;當時,由得,兩式相減得,.滿足.因此,數(shù)列的通項公式為;(2).①當為奇數(shù)時,;②當為偶數(shù)時,.綜上所述,.【點睛】本題考查數(shù)列通項的求解,同時也考查了奇偶分組求和法,考查計算能力,屬于中等題.20、(1)(2)【解析】
(1)由,分別求得,得到答案;(2)利用正弦定理得到,利用余弦定理解出.【詳解】(1)因為角為鈍角,,所以,又,所以,且,所以.(2)因為,且,所以,又,則,所以.21、(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.【解析】
(Ⅰ)依題意在上存在兩個極值點,等價于在有兩個不等實根,由參變分類可得,令,利用導數(shù)研究的單調性、極值,從而得到參數(shù)的
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