上海市虹口區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期終學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

PAGEPAGE1上海市虹口區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期終學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測(cè)試數(shù)學(xué)試卷【注意】本試卷分A、B組題，請(qǐng)答題者務(wù)必看清自己應(yīng)答的試題．一、填空題（本大題滿分36分.）1.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗由題意函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?故〖答案〗為：.2.若集合，則__________．〖答案〗〖解析〗由解得，即，所以.故〖答案〗為：.3.若一元二次不等式的解集為，則實(shí)數(shù)__________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意可知方程的兩根分別為，根據(jù)韋達(dá)定理可知，.故〖答案〗為：.4.若扇形的圓心角是，其所在圓的半徑是2，則該扇形的面積為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗由題意可得：該扇形的面積為.故〖答案〗為：.5.函數(shù)在區(qū)間上的最小值是__________．〖答案〗〖解析〗由于關(guān)于在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，關(guān)于在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值是.故〖答案〗為：.6.若實(shí)數(shù)和滿足，則__________．〖答案〗1〖解析〗因?yàn)?，則，可得，所以.故〖答案〗為：1.7.已知，，若是的充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗由可得，則，解得，即，若是的充分條件，則是的子集，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：.8.設(shè)，若冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)__________．〖答案〗〖解析〗，若冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則，又冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則.故〖答案〗為：.9.（A組）若存在實(shí)數(shù)使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，由題意可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：.10.（B組）若表示不大于的最大整數(shù)，比如，則不等式的解集為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，且，又因?yàn)楸硎静淮笥诘淖畲笳麛?shù)，所以，所以不等式的解集為.故〖答案〗：.11.（A組）若表示不大于的最大整數(shù)，比如，則__________．〖答案〗3〖解析〗因?yàn)楸硎静淮笥诘淖畲笳麛?shù)，所以，故〖答案〗為：3.12.（B組）已知定義在上的奇函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)．若對(duì)于任意的，總有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗由題意定義在上的奇函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以上嚴(yán)格單調(diào)遞減，所以，由題意若對(duì)于任意的，恒有成立，則恒成立，當(dāng)時(shí)，有，滿足題意，當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，解得，滿足題意，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：.13.（A組）設(shè)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，且，所以，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：.14.（B組）設(shè)，若實(shí)數(shù)滿足：，則的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗作出圖象，如圖所示：令，由圖可知：，且，解得，則，因?yàn)?，則，可得，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：.15.設(shè)，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗由一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知函數(shù)的圖象如圖所示：根據(jù)圖象可知共有個(gè)零點(diǎn)，且個(gè)零點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以零點(diǎn)之和為.故〖答案〗為：.二、選擇題（本大題滿分14分.）16.下列函數(shù)中與函數(shù)相同的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗選項(xiàng)A，，當(dāng)時(shí)，，〖解析〗式與不同，A不正確；選項(xiàng)B，的定義域?yàn)椋冀馕觥绞綖?，定義域和〖解析〗式與相同，B正確；選項(xiàng)C，，該函數(shù)的定義域?yàn)椋c函數(shù)的定義域不同，C不正確；選項(xiàng)D，，該函數(shù)的定義域?yàn)?，與函數(shù)的定義域不同，D不正確.故選：B.17.若是任意實(shí)數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗結(jié)合題意：.故選：C.18.（A組）若在用二分法尋找函數(shù)零點(diǎn)的過(guò)程中，依次確定了零點(diǎn)所在區(qū)間為，則實(shí)數(shù)和分別等于（）A. B.2，3 C. D.〖答案〗A〖解析〗由函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在至多有一個(gè)零點(diǎn)，又由依次確定了零點(diǎn)所在區(qū)間為，可得，即，解得.故選：A.19.（B組）對(duì)于以下兩個(gè)結(jié)論，說(shuō)法正確的是（）結(jié)論①：若函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則的充要條件是；結(jié)論②：若定義在上的函數(shù)滿足，則該函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)．A.①對(duì)②對(duì) B.①對(duì)②錯(cuò) C.①錯(cuò)②對(duì) D.①錯(cuò)②錯(cuò)〖答案〗B〖解析〗結(jié)論①：若函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可以推出，當(dāng)時(shí)，可以推出，故的充要條件是，①對(duì)；結(jié)論②：若定義在上的函數(shù)滿足，則，故不一定恒成立，也不一定恒成立，如函數(shù)，②錯(cuò).故選：B.20.對(duì)于以下兩個(gè)結(jié)論，說(shuō)法正確的是（）結(jié)論①：設(shè)，若任取，且，則必有；結(jié)論②：設(shè)，則有對(duì)恒成立．A.①對(duì)②對(duì) B.①對(duì)②錯(cuò) C.①錯(cuò)②對(duì) D.①錯(cuò)②錯(cuò)〖答案〗B〖解析〗對(duì)于①，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，且在上也是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，則任取，且，必有，①正確；對(duì)于②，，②錯(cuò)誤.故選：B.三、解答題（本大題滿分50分.）21.已知為實(shí)數(shù)，設(shè)集合．（1）當(dāng)時(shí)，用區(qū)間表示集合；（2）設(shè)集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，由，解得：，即.（2）由集合，可得，因?yàn)椋?，所以，即，解得?22.已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在軸的非負(fù)半軸．（1）若角的終邊過(guò)點(diǎn)，求的值；（2）若，求的值．解：（1）由三角函數(shù)的定義可得，若角的終邊過(guò)點(diǎn)，則.（2），，即，.23.（A組）某工廠為確定2024年A產(chǎn)品的生產(chǎn)總產(chǎn)量，調(diào)取了2020年至2023年近四年的A產(chǎn)品生產(chǎn)總產(chǎn)量萬(wàn)件與其所需總成本萬(wàn)元之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（如下表所示），以作為建立與之間函數(shù)關(guān)系的依據(jù)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)估算預(yù)測(cè)．工廠稱此函數(shù)為“參照函數(shù)”．A產(chǎn)品生產(chǎn)總產(chǎn)量x（萬(wàn)件）1234總成本y（萬(wàn)元）12172532該工廠擬用如下三個(gè)函數(shù)〖解析〗式：①；②；③作為“參照函數(shù)”的備選．（1）該工廠應(yīng)選擇哪個(gè)函數(shù)〖解析〗式為“參照函數(shù)”最為合理？請(qǐng)說(shuō)明理由：（2）根據(jù)（1）所選的“參照函數(shù)”，當(dāng)該工廠預(yù)計(jì)2024年生產(chǎn)多少萬(wàn)件A產(chǎn)品時(shí)，其單位成本（即總成本除以總產(chǎn)量）最低？并求出此最低單位成本．解：（1）由題意當(dāng)時(shí)，和25比較近，但當(dāng)時(shí)，和32相差很大，故排除③，通過(guò)表格發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，與的值分別相等，但當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)模擬實(shí)際效果最好，綜上所述，工廠應(yīng)選擇②為“參照函數(shù)”最為合理.（2）由題意單位成本表達(dá)式為，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)單位成本最低為，即預(yù)計(jì)2024年生產(chǎn)3萬(wàn)件A產(chǎn)品時(shí)，單位成本最低為8萬(wàn)元.24.（B組）已知，其中是常數(shù)，．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若對(duì)任意，均有，求所有滿足條件的實(shí)數(shù)的值．解：（1）依題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，，，由，得，即，所以，解得；由，得，即，所以，解得；所以?dāng)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)且時(shí)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù).（2）因，所以可轉(zhuǎn)化為，即，又因?yàn)?，所以，則：當(dāng)時(shí)，，則由可得，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，即；當(dāng)時(shí)，則由可得，故；當(dāng)時(shí)，，則由可得，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，即；綜上所述，若對(duì)任意，均有，則滿足條件的實(shí)數(shù)的值為.25.（A組）已知，其中是常數(shù)，．（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，可得，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，滿足，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)，所以實(shí)數(shù)的值為.（2）由對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有，即時(shí)，恒成立，即在上恒成立，令，設(shè)函數(shù)，因，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的最大值為，可得，所以實(shí)數(shù)數(shù)的取值范圍為．26.（B組）若函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值的集合恰為，則稱區(qū)間為的一個(gè)“區(qū)間”．設(shè)．（1）試判斷區(qū)間是否為函數(shù)的一個(gè)“區(qū)間”，并說(shuō)明理由；（2）求函數(shù)在內(nèi)的“區(qū)間”；（3）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的所有“區(qū)間”的并集記為．是否存在實(shí)數(shù)，使關(guān)于的方程在上恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．若存在，試求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）結(jié)合題意可得：，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，故此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?，而此時(shí)所以區(qū)間不是函數(shù)的一個(gè)“區(qū)間”.（2）設(shè)的“區(qū)間”為，則的值域?yàn)?，此時(shí)在單調(diào)遞減，則，解得，所以的“區(qū)間”為.（3）由（2）知在上的“區(qū)間”為，當(dāng)時(shí)，則，而函數(shù)在上的值域?yàn)?，所以在上不存在這樣的區(qū)間，所以在上滿足條件的區(qū)間為，由，可得函數(shù)為奇函數(shù)，同理易得：當(dāng)，的“區(qū)間”為，所以，要使關(guān)于的方程在上恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則當(dāng)，，即且在單調(diào)遞減；當(dāng)，，即，因?yàn)?，所以不存在?shí)數(shù)，使關(guān)于的方程在上恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.27.若函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值的集合恰為，則稱區(qū)間為的一個(gè)“區(qū)間”．設(shè)．（1）若函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，請(qǐng)直接寫(xiě)出區(qū)間（一個(gè)即可）；（2）試判斷區(qū)間是否為函數(shù)的