2020-2021學(xué)年上海市高三（上）春季高考數(shù)學(xué)模擬試卷（三）（附答案詳解）

2020-2021學(xué)年上海市高三（上）春季高考數(shù)學(xué)模擬試卷

（三）

一、單選題（本大題共4小題，共12.0分）

1.已知點(diǎn)P（a,b）,曲線G的方程y=Hl—/,曲線C2的方程M+y2=1,則“點(diǎn)

P（a,b）在曲線G上“是”點(diǎn)P（a,b）在曲線上“的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

2.復(fù)數(shù)z滿足|z-3i|=2（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z-4模的取值范圍是（）

A.[3,7]B.[0,5]C.[0,9]D.以上都不對(duì)

"2cinvXNO

{：，7：器（X+&）%<0（。€[°'2兀））是奇函數(shù)，貝打=（）

A.0B.7C.nD.y

/alla12a13\

4.由9個(gè)互不相等的正數(shù)組成的矩陣。21。22&23中，每行中的三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,

\a31a32a33/

且+02+%3、。21+@22+。23、。31+。32+。33成等比數(shù)列，下列判斷正確的

有（）

①第2列中的由2、。22、的2必成等比數(shù)列；②第1列中的。11、。21、。31不一定成等

比數(shù)列；③為2+a32>a21+。23；

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.0個(gè)

二、填空題（本大題共12小題，共36.0分）

5.方程lg（x—3）+Igx=1的解X=.

6.已知/（%）=loga%（a>0,。01）,且ft（-1）=2,則fT（X）=.

7,若對(duì)任意實(shí)數(shù)均不等式/NI+Q恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

8.設(shè)五=6,sina）,B=（cosaj）,且五〃邑則cos2a=.

9.在（產(chǎn)一§5二項(xiàng)展開式中，X的一次項(xiàng)系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

10.甲、乙兩人從6門課程中各選修3門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有

______種.

11.如圖，一個(gè)空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為

全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊成

為1,那么這個(gè)幾何體的表面積是.

俯視圖

12.參數(shù)方程卜=Win^+cosR,。6[0,2兀）表示的曲線的普通方程是____.

ly=1+sind

13.已知函數(shù)/（x）=sbuox+cosa）x（3>0）,xER,若函數(shù)/（x）在區(qū)間（話,弓）內(nèi)單調(diào)

遞增，則3的取值范圍為.

14.根據(jù)相關(guān)規(guī)定，機(jī)動(dòng)車駕駛?cè)搜褐械木凭看笥冢ǖ扔冢?0毫克/100毫升的行為

屬于飲酒駕車.假設(shè)飲酒后，血液中的酒精含量為Po毫克八00毫升，經(jīng)過x個(gè)小時(shí)，

酒精含量降為p毫克/100毫升，且滿足關(guān)系式p=Po-er?r為常數(shù)）.若某人飲酒后

血液中的酒精含量為89毫克/100毫升，2小時(shí)后，測(cè)得其血液中酒精含量降為61毫

克/100毫升，則此人飲酒后需經(jīng)過小時(shí)方可駕車.（精確到小時(shí)）

15.若正方體力Mz&Av-BiBzBsBd的棱長為1,則集合口比=硒'?病"6

{1,2,3,4}JG{1,2,3,4}}中元系的個(gè)數(shù)為.

16.已知直線y=x+1上有兩個(gè)點(diǎn)4（%,瓦）、B（a2,b2）,已知由、伉、a2>電滿足

&1的（12+瓦歷|=,=+*xJa：+歷,若%>a2,=我+2,則這樣的點(diǎn)

4有個(gè).

三、解答題（本大題共5小題，共60.0分）

17.已知圓錐母線長為5,底面圓半徑長為4,點(diǎn)M是母

線P4的中點(diǎn)，4B是底面圓的直徑，點(diǎn)C是弧4B的

中點(diǎn)；

（1）求三棱錐P-AC。的體積；

（2）求異面直線MC與P。所成的角的余弦值.

第2頁，共18頁

18.已知函數(shù)/'(x)=+必—2)(a>0),且/'⑴=2；

(1)求a和/1(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)/(%+1)-/(%)>2.

19.平面內(nèi)任意一點(diǎn)P到兩定點(diǎn)及(-75,0)、尸2(75,0)的距離之和為4.

(1)若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)的一點(diǎn)且滿足兩?恒=0,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

設(shè)平面內(nèi)有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩定點(diǎn)、判別西?麗是否有最大值和最

(2)MlM2,

小值，請(qǐng)說明理由？

20.函數(shù)/(x)=sin(tanaix),其中3=0.

(1)討論f(x)的奇偶性;

(2)3=1時(shí)，求證:/(X)的最小正周期是7T;

(3)36(1.50,1.57),當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象與g(x)="x+3的圖象有交點(diǎn)時(shí)，求滿足

條件的3的個(gè)數(shù)，說明理由.

21.設(shè)數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和為當(dāng),若乎W2(n€N*),則稱｛即｝是“緊密數(shù)列”；

4an

Q

(1)若%=1,a2=a3=x,a4=4,求x的取值范圍；

(2)若依高為等差數(shù)列，首項(xiàng)內(nèi)，公差d,且0<dWa「判斷｛a"是否為"緊密數(shù)

列”；

(3)設(shè)數(shù)列｛即｝是公比為q的等比數(shù)列，若數(shù)列｛即｝與｛S"都是“緊密數(shù)列”，求q的

取值范圍.

第4頁，共18頁

答案和解析

1.【答案】

A

【解析】

解：已知點(diǎn)P(a,b),

曲線G的方程丫=斤》，即曲線G為圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓的曲線x軸交點(diǎn)即上

方部分圖形：

曲線C2的方程M+y2=i,即曲線C2為圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓的整個(gè)圖形；

①若"點(diǎn)P(a,b)在曲線G上”則點(diǎn)P(a,b)滿足曲線G的方程y=VF三正，有6=

V1—a2>

因?yàn)榍€Ci為圓的曲線x軸交點(diǎn)即上方部分圖形，b>0；

所以點(diǎn)P(a,b)在曲線G上“能推出''點(diǎn)P(a,b)在曲線上”即能推出+川=1成立,

②若“點(diǎn)P(a,b)在曲線C2上”則點(diǎn)P(a")滿足曲線C2的方程/+y2=1,即+廿=

1成立，

則不一定有b=五二'港，b20成立；

所以點(diǎn)P(a,b)在曲線。2上“不能推出點(diǎn)P(a,b)在曲線G上“

根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行判斷可得

曲線G的方程y=V1-x2.曲線C2的方程/+y2=1,則“點(diǎn)p(a,b)在曲線6上“是"

點(diǎn)P(a,b)在曲線C2上“的充分非必要條件，

故選：A.

根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)充分條件和必要條件的定義是解決本題

的關(guān)鍵.

2.【答案】

A

【解析】

解：由|z-3i|=2,可知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為以B(0,3)為

圓心，以2為半徑的圓上，

如圖：

則復(fù)數(shù)z-4模的最小值為-2=5-2=3,最大值為

|/B|+2=5+2=7.

???復(fù)數(shù)z-4模的取值范圍是[3,7].

故選：A.

由題意畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】

D

【解析】

解:由題意可知，函數(shù)是奇函數(shù)，即/(—4)+f(x)=O,

不妨設(shè)》<0,則一無>0.

則有：/(%)=-x2+cos(x+a),

/(-%)=x2—sinx

那么：—/+cos(x+a)+x2-sinx=0

解得：a=-^+2fc7T(fceZ)

vaG[0,2兀)

???a=—37r

2

故選：D.

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)建立關(guān)系式求解.

本題考查了函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)和誘導(dǎo)公式進(jìn)行對(duì)三角函數(shù)的化簡的能力.屬于中檔題.

4.【答案】

C

【解析】

第6頁，共18頁

a,Q+d,a+2d\

解：由題意設(shè)由9個(gè)正數(shù)組成的矩陣是:b,b+m,b+2m卜

,c,c+弭c+2n/

由的1+%2+。13，a21+a22+a23^。31+。32+。33成等比數(shù)歹汁，

則有：(8+m)2=(G+d)(c+九)，故①正確；

(a+d)+(c+n)N2j(a+d)(c+九)=2(h+m),故③正確；

再題意設(shè)由9個(gè)正數(shù)組成的矩陣是：(214(5),故②正確；

\6.589.5/

故選：C.

a,a+d,a+2d

先由題意設(shè)列出由9個(gè)正數(shù)組成的矩陣(b,b+m,b+2mI,由由i+a12+a13,a21+

\cfc+n,c+3n/

a22+a23?。31+。32+。33成等比數(shù)列，則有：3+小＞=(Q+d)(C+H),得出①正

確；再由(a+d)+(c+n)22yl(a+d)(c+n)=2(b+m),得到③正確；再根據(jù)題設(shè)

列舉出由9個(gè)正數(shù)組成的特殊矩陣判斷②正確即可.

本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)、三階矩陣等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求

解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.

5.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，關(guān)鍵是注意對(duì)數(shù)式本身有意義，是基礎(chǔ)題.

在保證對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0的前提下由對(duì)數(shù)的和等于乘積的對(duì)數(shù)去掉對(duì)數(shù)符號(hào)，求解一

元二次方程得答案.

【解答】

解：由lg(x-3)+Egx=1,得：

%-3>0

%>0

lgx[x-3)=1

故答案為5.

6.【答案】

1

何

【解析】

解：由題意，???/-i(-l)=2,

-/(2)=loga2=-1；

故a=p

故/'T(x)=(}x；

故答案為：G尸.

由題意可得/⑵=10ga2=—1；從而得到。=會(huì)再寫反函數(shù)即可.

本題考查了反函數(shù)的應(yīng)用及指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】

(-00,-1]

【解析】

解：若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式1+a恒成立=若對(duì)任意實(shí)數(shù)X,不等式/—12a恒

成立，

又因?yàn)橐灰?的最小值為—1,所以aS—1.

故答案為：(—°°,-1].

若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式/>1+a恒成立o若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式--12a恒成立，

求一一1的最小值即可.

本題考查分離參數(shù)法求參數(shù)范圍及二次函數(shù)最值問題，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】

0

【解析】

第8頁，共18頁

解：由五=(|,sina),B=(cosa,1),且方〃另，

31

貝ijsinacosa--x-=0,

^VXsinacosa=

所以sin2a=1；

所以2a=]+2/CTT,kEZ；

所以cos2a=0.

故選：0.

由平面向量的共線定理列方程求出si712a的值，再求cos2a的值.

本題考查了平面向量的共線定理與三角函數(shù)求值問題，是基礎(chǔ)題.

9.【答案】

-80

【解析】

解：(/一§5二項(xiàng)展開式中，通項(xiàng)公式為卷+1=c>(一2y.爐。-3『，令10—3r=l,

求得r=3,

可得x的一次項(xiàng)系數(shù)為底?(-2)3=-80,

故答案為：—80.

先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的幕指數(shù)等于1,求得r的值，即可求得展開式

中的x的一次項(xiàng)系數(shù).

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于

基礎(chǔ)題.

10.【答案】

180

【解析】

解：根據(jù)題意，甲乙所選的課程有1門相同，有Cx量x廢=180種情況.

故答案為180

先確定相同的1門，再各自選2門不同的課程，利用乘法原理可得結(jié)論.

本題考查組合公式的運(yùn)用，解題時(shí)注意事件之間的關(guān)系，屬中檔題.

11.【答案】

3+V3

-2~

【解析】

解：由題意可知三視圖復(fù)原的幾何體是三棱錐，正方體的一個(gè)角，

所以幾何體的表面積為：3個(gè)等腰直角三角形與一個(gè)等邊三角形的面積的和，

即：3x；xlxl+fx（魚）2=等.

故答案為：上丑.

2

由題意可知三視圖復(fù)原的幾何體是三棱錐，正方體的一個(gè)角，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，求出

三棱錐的表面積即可.

本題考查由三視圖求幾何體的表面積，考查由三視圖還原直觀圖形，考查四棱錐的表面

積，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題.

12.【答案】

x2=y(0<x<V2,0<y<2)

【解析】

解：x=|sin-+cos-|

(y=14-sin。

???0G[0,2/1),

/.|cos|+sin1|=|V2sin(1+^)|E[0,V2]

1+sinO=(cos14-sin^)2G[0,2]

故答案為：x2=y(0<x<V2,0<y<2)

把上面一個(gè)式子平方，得到/=l+sin0,代入第二個(gè)參數(shù)方程得到一=y,根據(jù)所給

第10頁，共18頁

的角的范圍，寫出兩個(gè)變量的取值范圍，得到普通方程.

本題考查參數(shù)方程化為普通方程，本題解題的關(guān)鍵是看出怎么應(yīng)用三角函數(shù)的恒等變換

得到結(jié)果，注意題目中變量的取值范圍不要漏掉.

13.【答案】

(0,1]

【解析】

解：/(%)=sina)x+coswx=V2sin(0)x+》，

???函數(shù)/⑶在區(qū)間(g,令內(nèi)單調(diào)遞增，

--a)+->2kTt--

???L3tt4n2,kez

-co+-4<2kn+-2

解得3<8/c+1,

M>0,

*3的取值范圍為(0,1],

故答案為：(0,1].

--0>+->2kn--

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，7r342,解得即可.

-co4--<+?

(442

本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用和計(jì)算能力.屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】

8

【解析】

解：由題意，61=89e2r,得r=；lnM<0

289

In空

由89-exr<20,?-?%>2x-4i?7.9,

故答案為8.

本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.

15.【答案】

【解析】

解：如圖,

①當(dāng)無瓦力礫時(shí)，

,??正方體442A344-B1B2B3B4,&B；1儀；,???&B；?4a=0,(Je{1,2,3,4})>

&Bi±B]Bj,：.4&?B$j=0,(j={2,3,4)),

—44++B]Bj,

*'',AjA^=AiB],(4/1+4iBi+B1Bj)=A1B1,AjA1++?B〔Bj=1,

???集合{x|x=硒'W瓦,i6{1,2,3,4}Je{1,2,3,4}}中元系的個(gè)數(shù)為1；

②無瓦=福時(shí)，

x—-A(Bj-A1B1-—AIB1=1-

此時(shí)，集合{x|x=不瓦-硒,ie{1,2,3,4}J6{1,2,3,4}}中元素的個(gè)數(shù)為1.

綜上，集合{x|x=五瓦?硒/e(1,2,3,4},；e{1,2,3,4}}中元素的個(gè)數(shù)為1.

故答案為：1.

將硒=(而+硒(+瓦瓦)代入不瓦?硒，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)化簡，能求出集

合{小=4瓦-硒,ie[1,2,3,4),;e{1,2,3,4}}中元素的個(gè)數(shù).

本題考查集合中元素個(gè)數(shù)的求法，考查向量運(yùn)算法則、向量夾角余弦公式性質(zhì)等基礎(chǔ)知

識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

16.【答案】

第12頁，共18頁

3

【解析】

解：設(shè)<OA,OB>=6,,:四氏。2+瓦切=dW+*xq6+嶺,

???cose=喘湍11=圣則夾角為弓或拳如下圖’

當(dāng)力B關(guān)于y=—“對(duì)稱時(shí)，BD=AE=0D=0E=1,則NBOD=^AOE=2故/40B=

乎（這是一個(gè)臨界值），此時(shí)有一個(gè)點(diǎn)4

根據(jù)對(duì)稱性，在4B上下移動(dòng)過程中，既要保持|48|=應(yīng)+2,又要保持乙4OB=t，

這樣的點(diǎn)4上下各有一個(gè)，

故一共有三個(gè)點(diǎn)4

故答案為：3.

依題意，向量萬彳，礪的夾角為?或手，作圖容易得出結(jié)論.

本題主要考查數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理能力，屬于中檔題.

17.【答案】

解：（1）???圓錐母線長為5,底面圓半徑長為4,

???AB—8,0C=4,

P0=y/PA2-AO2=V25-16=3，

是底面圓的直徑，點(diǎn)C是弧4B的中點(diǎn)，

???OC1AB,

二三棱錐P-4C。的體積為：

1

^P-ACO=WXSAAOCXOP

=|x|x4x4x3=8.

(2)以。為原點(diǎn)，0C為X軸，。8為y軸，0P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

X

0(0,0,0),4(0,-4,0),P(0,0,3),M(0,-2,f),C(4,0,0),

MC=(4,2,—g),PO=(0,0,—3)>

設(shè)異面直線MC與P。所成的角為0,

_I就前I__1__迺

C0SU~\MC\\PO\~底一辛-,

故異面直線MC與P。所成的角的余弦值為跡.

89

【解析】

本題考查柱、錐、臺(tái)體的體積的求法，考查異面直線所成角的求法，考查空間想象能力

與計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.

(1)由已知得48=8,OC=4,OC1AB,PO=3,由此能出三棱錐P-AC。的體積.

(2)以。為原點(diǎn)，OC為支軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能

求出異面直線MC與P。所成的角.

18.【答案】

解：(1)函數(shù)/(x)=+a*-2)(。>0),且/'(1)=2,

2

???log2(a+a-2)=2=log24,

.(a?+a-2>0

la2+a-2=4，

解得a=2,

2xx

/(x)=log2(2+2-2),

第14頁，共18頁

設(shè)t=22X+2*-2>0,解得x>0,

???/(x)的遞增區(qū)間(0,+8);

(2)/(x+l)-/(%)>2,

2z+2X+12xX

l°g2(2+2—2)—log2(2+2—2)>2=log24,

22x+2+2X+1-2>4(22X+2X-2),

2X<3,

???x<log23,

vx>0

???0<x<log23

??.不等式的解集為(0,<log23)

【解析】

(1)代值計(jì)算并根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)的定義域，

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于x的不等式，解得即可.

本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和不等式的解的問題，屬于中

檔題

19.【答案】

解：???曲線C上任意一點(diǎn)P到兩定點(diǎn)尸1(_百,0)與尸2(遮,0)的距離之和為4,

???曲線是焦點(diǎn)為尸式一0)與尸2(8,0)、長軸長為4的橢圓，

設(shè)橢圓的方程：W+l(a>b>0),

a2b2v'

由2a=4,a=2,c=V3,

b2=a2—c2=1,

2

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：-+y2=l

4；

(1)設(shè)p(%,y),則

22

PF1=(%+V3,y)fPF2=(%—V3,y)=PFr-PF?=%+y-3;

vPF；-PF；=0,

:.x2+y2-3=0聯(lián)立9+y2=i==g,y2-1.

??點(diǎn)?p是第二象限內(nèi)的一點(diǎn);

所以點(diǎn)P(-平,日)；

(2)設(shè)則M2(-m,-n)；

???PM；?PM；=(m—x,n—y)■(—m-x,—n—y)=x2+y2-(m2+n2)①：

吟+y2=i②；

②代入①

:.PM；-PM；=1+^x2—(m2+n2)；

又因?yàn)橐?WxW2；

二當(dāng)x=±2時(shí)，PM；-PM;最大值4-(m2+n2),

當(dāng)x=0時(shí)啊>?麗^是最小值1-(/+n2)

【解析】

由題意知曲線是焦點(diǎn)為&(一8,0)與尸2(6,0)、長軸長為4的橢圓，由此能求出曲線C的

方程.

(1)結(jié)合數(shù)量積為0以及橢圓方程的運(yùn)用即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合橢圓中變量的取值范圍即可求解.

本題考查曲線方程的求法以及平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓

定義的靈活運(yùn)用.

20.【答案】

解：(1)由于3X豐上兀+1(kGZ)得函數(shù)fQ)的定義域所在的區(qū)間關(guān)于y軸對(duì)稱，

且/(一%)=sin(tan(—cox))=—sin(tana>x)=—/(x),

所以函數(shù)/(%)為奇函數(shù)；

(2)當(dāng)3=1時(shí),f(x)=sin(tanx),

所以/(久+fczr)=sin(tan(%+fczr))=sin(tanx)=/(%),fc6Z,

所以當(dāng)k=l時(shí)，函數(shù)的最小正周期為TT.

(3)因?yàn)閒(