第三章(上課用)

§3.2一維單原子鏈

絕熱近似

——用一個均勻分布的負電荷產(chǎn)生的常量勢場來描述電子對離子運動的影響晶格具有周期性，晶格的振動具有波的形式——格波格波的研究

——先計算原子之間的相互作用力——根據(jù)牛頓定律寫出原子運動方程，最后求解方程

——將電子的運動和離子的運動分開

一維無限原子鏈——每個原子質(zhì)量m，平衡時原子間距a

——原子之間的作用力

第n個原子離開平衡位置的位移第n個原子和第n＋1個原子間的相對位移第n個原子和第n＋1個原子間的距離平衡位置時，兩個原子間的互作用勢能發(fā)生相對位移后，相互作用勢能——常數(shù)簡諧近似

——振動很微弱，勢能展式中只保留到二階項相鄰原子間的作用力——平衡條件保守力做功和勢能之間的關系原子的運動方程——只考慮相鄰原子的作用，第n個原子受到的作用力第n個原子的運動方程——每一個原子運動方程類似——方程的數(shù)目和原子數(shù)相同方程解和振動頻率

設方程組的解naq—第n個原子振動位相因子得到上式與n無關，表明N個聯(lián)立的方程都歸結為同一個方程。也就是說，只要ω和q之間滿足上式關系，則就表示聯(lián)立方程的解。通常ω和q之間的關系稱為色散關系。格波的物理意義連續(xù)介質(zhì)波波數(shù)——格波和連續(xù)介質(zhì)波具有完全類似的形式——一個格波表示的是所有原子同時做頻率為

的振動格波方程晶體中的格波波長——格波的波形圖——簡諧近似下，格波是簡諧平面波——向上的箭頭代表原子沿X軸向右振動——向下的箭頭代表原子沿X軸向左振動格波波長格波波數(shù)不同原子間位相差格波方程相鄰原子的位相差波數(shù)是波矢的大小，波矢的方向是波的傳播方向。波矢的取值和布里淵區(qū)格波相鄰原子位相差——原子的振動狀態(tài)相同格波2(Green)波矢格波1(Red)波矢相鄰原子位相差相鄰原子的位相差——兩種波矢的格波中，原子的振動完全相同波矢的取值相鄰原子的位相差——第一布里淵區(qū)——只研究清楚第一布里淵區(qū)的晶格振動問題——其它區(qū)域不能提供新的物理內(nèi)容玻恩－卡門（Born-Karman）周期性邊界條件——一維單原子晶格看作無限長，所有原子是等價的，每個原子的振動形式都一樣——實際的晶體為有限，形成的鏈不是無窮長，鏈兩頭的原子不能用中間原子的運動方程來描述

N個原子頭尾相接形成一個環(huán)鏈，保持了所有原子等價的特點

處理問題時要考慮到環(huán)鏈的循環(huán)性

N很大，原子運動近似為直線運動設第n個原子的位移再增加N個原子之后，第N+n個原子的位移則有要求——h為整數(shù)波矢的取值范圍只能取之間的整數(shù)h—N個整數(shù)值，波矢q——取N個不同的分立值——第一布里淵區(qū)包含N個狀態(tài)每個波矢在第一布里淵區(qū)占的線度第一布里淵區(qū)的線度第一布里淵區(qū)狀態(tài)數(shù)波矢格波的色散關系

頻率是波數(shù)的偶函數(shù)

色散關系曲線具有周期性——q空間的周期頻率極小值頻率極大值只有頻率在之間的格波才能在晶體中傳播，其它頻率的格波被強烈衰減——一維單原子晶格看作成低通濾波器色散關系格波——長波極限情況

當——一維單原子格波的色散關系與連續(xù)介質(zhì)中彈性波的色散關系一致格波傳播速度連續(xù)介質(zhì)彈性波相速度——連續(xù)介質(zhì)的彈性模量和介質(zhì)密度——長波極限下，一維單原子晶格格波可以看作是彈性波——晶格可以看成是連續(xù)介質(zhì)

長波極限情況

——伸長模量格波——短波極限情況——一個波長內(nèi)包含許多原子，晶格看作是連續(xù)介質(zhì)短波極限下——相鄰兩個原子振動的位相相反長波極限下，相鄰兩個原子之間的位相差長波極限下短波極限下相鄰兩個原子振動位相差聲子——晶格振動的能量量子；或格波的能量量子一個格波是一種振動模，稱為一種聲子，能量為當這種振動模處于時，說明有個聲子對于由N個原子組成的一維單原子鏈，有N個格波，即有N種聲子，晶格振動的總能量為：03_03一維雙原子鏈聲學波和光學波

物理模型：雙原子鏈牛頓方程及解格波的波矢取值色散關系：聲學波和光學波長波極限和短波極限格波的振幅關系03_03一維雙原子鏈聲學波和光學波

1.一維復式格子的情形——一維無限長鏈牛頓方程及解——兩種原子m和M(M>m)____構成一維復式格子——M原子位于2n-1，2n+1，2n+3……——m原子位于2n，2n+2，2n+4……——同種原子間的距離2a——系統(tǒng)有N個原胞——N個原胞，有2N個獨立的方程（總自由度數(shù)）——兩種原子振動振幅A和B一般不同

第2n+1個M原子的方程

第2n個m原子的方程方程解的形式——A、B有非零的解，系數(shù)行列式為零

第2n+1個M原子

第2n個m原子方程的解——一維復式晶格中存在兩種獨立的格波有解的條件：——與q之間存在著兩種不同的色散關系——一維復式格子存在兩支獨立的格波——光學波——聲學波與一維單原子鏈比一比？相鄰原胞相位差

M和m原子方程2.波矢q的取值h為整數(shù)q值的范圍q第一布里淵區(qū)寬度周期性邊界條件：q的取值每個波矢占的線度FBZ允許的q值的數(shù)目晶體中的原胞數(shù)目一個q對應兩個格波頻率，即——總的格波數(shù)目為2N

：原子的數(shù)目:2N——光學波——聲學波q的取值數(shù)目=晶體中的原胞數(shù)目N3.色散關系的特點

3.1短波極限因為M＞m——不存在格波——頻率間隙——一維雙原子晶格叫做帶通濾波器3.2長波極限

聲學波利用

光學波3.2長波極限折合質(zhì)量利用——光學波——聲學波4兩種格波中m和M原子振動振幅之比——

m原子靜止不動.4.1時m和M原子振動的振幅

聲學波

光學波——

M原子靜止不動.

4.1時m和M原子振動的振幅

長聲學波中相鄰原子的振動——原胞中的兩個原子振動的振幅相同，振動方向一致——代表原胞質(zhì)心的振動4.2時m和M原子振動的振幅——長光學波同種原子振動相位一致，相鄰原子振動相反——原胞質(zhì)心保持不變的振動，原胞中原子之間相對運動

長光學波中相鄰原子的振動

兩種格波中m和M原子振動振幅之比聲學支格波描述元胞內(nèi)原子的同相整體運動光學支格波描述元胞內(nèi)原子的相對運動。5.

長光學波與電磁波的作用——在長波極限下，對于典型的

和

值——對應于遠紅外的光波——遠紅外光波激發(fā)離子晶體可引起晶體中長光學波的共振吸收光波的頻率——波矢遠小于一般格波的波矢，只有的長光學波可以與遠紅外的光波發(fā)生共振吸收能與光波作用的長光學波聲子稱為電磁聲子

例題一維復式格子中，如果計算光學波頻率的最大值和最小值，聲學波頻率的最大值；2)相應聲子的能量,和；3)在下，三種聲子數(shù)目（平均數(shù)）各為多少？如果用電磁波激發(fā)光學波要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長在什么波段？

聲學波的最大頻率光學波的最小頻率

1)光學波的最大頻率2）相應聲子的能量3)某一特定諧振子具有激發(fā)能的幾率——歸一化條件歸一化常數(shù)頻率為

諧振子的平均能量頻率為

i諧振子的能量頻率為

i態(tài)的平均聲子數(shù)頻率為

諧振子的平均能量可見，聲子數(shù)隨溫度變化。——聲子數(shù)目4）如果用電磁波激發(fā)光學波要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長在什么波段？對應電磁波的能量和波長——要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長在中紅外線波段近紅外波段1～3微米中紅外波段3～40微米遠紅外波段40～1000微米討論題長光學支格波與長聲學支格波本質(zhì)上有何差別?2.溫度一定，一個光學波的聲子數(shù)目多呢,還是聲學波的聲子數(shù)目多?答：長光學支格波的特征是表示每個原胞內(nèi)不同原子的相對振動,振動頻率較高,它包含了晶格振動頻率最高的振動模式；長聲學支格波的特征是表示原胞內(nèi)的不同原子沒有相對位移,原胞做整體運動,振動頻率較低,它包含了晶格振動頻率最低的振動模式。任何晶體都存在聲學支格波,但簡單晶格(非復式格子)晶體不存在光學支格波.答：頻率為的格波的(平均)聲子數(shù)為因為光學波的頻率高于聲學波的頻率,大于，所以在溫度一定情況下,一個光學波的聲子數(shù)目少于一個聲學波的聲子數(shù)目.答：設溫度TH>TL,由于小于，所以溫度高時的聲子數(shù)目多于溫度低時的聲子數(shù)目.3.對同一個振動模式,溫度高時的聲子數(shù)目多呢,還是溫度低時的聲子數(shù)目多?4.高溫時,頻率為

的格波的聲子數(shù)目與溫度有何關系?答：溫度很高時,,頻率為的格波的(平均)聲子數(shù)為：可見高溫時,格波的聲子數(shù)目與溫度近似成正比.03_04三維晶格的振動

4.1三維復式格子晶體的原胞數(shù)目原子的質(zhì)量第l個原胞的位置原胞中各原子的位置——一個原胞中有n個原子--沿基矢方向的原胞數(shù)原胞中有n個原子各原子偏離格點的位移對三維晶格，第l個原胞中第k個原子運動方程原胞中各原子的位置對一維原子鏈，有——原子在三個方向上的位移分量第k個原子運動方程——原子在三個方向上的位移分量——一個原胞中有3n個類似的方程三維原子位移方程的解一維原子鏈位移方程的解分量式將方程解代回3n個運動方程得3n個線性齊次方程——系數(shù)行列式為零條件，得到3n個討論：長波極限有3個且對這三個解趨于一致，整個原胞一齊移動?！硗?n－3支長波極限的格波描述一個原胞中n個原子間的相對運動——即3n－3支光學波結論——晶體中一個原胞中有n個原子組成有3支聲學波和3n－3支光學波——三個頻率對應的格波描述不同原胞之間的相對運動——即3支聲學波問題：該結論是否適用于一維和二維情況？波矢——波矢空間的3個基矢三維晶格中的波矢空間----“q空間”——3個系數(shù)4.2q的取值，也是倒格子基矢采用波恩－卡曼邊界條件一維：三維：同理有：－q空間均勻分布的點子——h1,h2,h3為整數(shù)波矢波矢空間一個點占據(jù)的體積倒格子原胞體積狀態(tài)密度單位體積點的數(shù)目（狀態(tài)數(shù)目）---狀態(tài)密度---q空間密度具有體積量綱代表q空間均勻分布的點子波矢的取值_h1h2h3——原子振動波函數(shù)波矢改變一個倒格矢——不同原胞之間振動相位的聯(lián)系——原子振動狀態(tài)一樣，可以只考慮一個倒格子原胞中的q值整數(shù)故二維布里淵區(qū)——即第一布里淵區(qū)——個取值

的取值限制在一個倒格子原胞中對應于一個波矢q

3支聲學波和3n－3支光學波總的格波數(shù)目——晶體中原子的自由度作業(yè)：1.在三維晶體中，格波獨立的支數(shù)，聲學波支數(shù)，光學波支數(shù)，格波總支數(shù)分別等于多少？2.定性地講，聲學波和光學波分別描述了晶體原子的什幺振動狀態(tài)？

對于N個原胞每個原胞有n個原子的三維晶體，則色散關系有3n支，其中有3支是聲學支，剩下的3n-3都是光學支，每一支的q的取值都有N個，因此共有3nN個振動格波。其中3N個聲學支格波，剩下的3nN-3N個都是光學支格波，無論原胞中有多少個原子，色散關系的聲學支只能有3支，因為聲學支對應于原胞中原子的整體運動而這種運動只能有三個，剩下的3n-3支都是光學支，代表了原胞中原子的相對振動。結論：N個原胞每個原胞有n個原子的三維晶體；晶格中振動模式的色散關系＝原胞內(nèi)原子自由度數(shù)3n，其中3支為聲學支，3n-3支為光學支。（均有縱波、橫波之分）；每一支的波矢q的取值＝晶體的原胞數(shù)N；晶格的振動格波＝晶體的自由度數(shù)3nN。03_06確定晶格振動譜的實驗方法

晶格振動的頻率和波矢間的關系——晶格振動的振動譜晶格振動的振動譜測定方法

中子非彈性散射——中子的德布羅意波與格波的相互作用。

光子與晶格的非彈性散射X射線散射布里淵散射拉曼散射1中子非彈性散射

入射晶體時中子的動量和能量出射晶體后中子的動量和能量

能量守恒能量守恒動量守恒倒格子矢量聲子的準動量——中子能量~0.02~0.04eV與聲子的能量~10–2eV具有相同的數(shù)量級。中子的德布羅意波長約為2-3×10-10m，正好是晶格常數(shù)的數(shù)量級，提供了確定格波q和ω的最有利條件。測得各個方位入射和散射中子的能量差——確定聲子的頻率入射中子和散射中子方向的幾何關系

——確定聲子的波矢

——得到聲子的振動譜中子源單色器準直器準直器樣品分析器探測器2

中子譜儀結構示意圖反應堆中產(chǎn)生的慢中子流布拉格反射產(chǎn)生單色的動量為p的中子布拉格反射產(chǎn)生單色的動量為p’的中子中子散射實驗儀器2光子與晶格的非彈性散射

入射光子散射光子滿足能量守恒動量守恒——入射光子受到聲子散射__變成散射光子與此同時在晶格中放出__或者吸收一個聲子——固定入射光的頻率和入射方向測量不同方向散射光的頻率__得到聲子的振動譜

——入射光子受到聲子散射在晶格中放出一個聲子或者吸收一個聲子1)

光子與長聲學波聲子相互作用——

光子的布里淵散射

長聲學波聲子光子的頻率

如果光子與聲子波矢大小近似相等——可見光光子的波矢~105cm-1——散射前后入射光子與散射光子的波矢大小近似相等長聲學波聲子的波矢——不同角度方向測得散射光子的頻率__得到聲子頻率聲子振動譜散射光和入射光的頻率位移—布里淵散射2)

光子與光學波聲子的相互作用——光子的拉曼散射

能量守恒動量守恒——光子的拉曼散射限于光子與長光學波聲子的相互作用——可見光或紅外光波矢很小要求聲子的波矢必須很小——頻率位移(1)布里淵散射：光子與長聲學波聲子的相互作用，散射光的頻率移動；(2)拉曼散射：光子與光學波聲子的相互作用，頻率移動約在；(3)斯托克斯散射：散射頻率低于入射頻率的散射，發(fā)射聲子過程；(4)反斯托克斯散射：散射頻率高于入射頻率的散射，吸收聲子過程。3X光非彈性散射

也可以利用X射線的散射，測定晶格振動譜，X射線的波數(shù)矢量與倒格子矢量數(shù)量級相同，因此測量范圍可以遍及整個布里淵區(qū)，而不是局限在布里淵區(qū)中心附近。缺點：

X射線的能量~104eV遠遠大于聲子能量~10–2eV。很難精確地直接測量X光散射前后的能量差，因此，用能量守恒關系確定聲子的能量很困難。03_08晶體熱容的量子理論

固體的定容熱容—固體的平均內(nèi)能固體內(nèi)能——晶格振動的能量和電子熱運動的能量實驗結果——低溫下金屬的熱容——溫度不是太低的情況__忽略電子對熱容的貢獻——電子對熱容的貢獻，稱為電子熱容。——晶格熱振動對熱容的貢獻，稱為晶格熱容。1晶格振動對熱容的貢獻——經(jīng)典理論

一個簡諧振動平均能量N個原子__總的平均能量摩爾固體熱容——在低溫時熱容量隨溫度迅速趨于零!——能量均分定理即熱容是一個與溫度和材料性質(zhì)無關的常數(shù)，這就是杜?。晏娑?。在高溫時，定律與實驗結果符合的很好。

一個頻率為

j的振動模對熱容的貢獻頻率為

j的振動模由一系列量子能級組成——子體系子體系處于量子態(tài)的概率2晶格振動對熱容的貢獻——量子理論子體系處于量子態(tài)的概率一個振動模的平均能量

j振動模的平均能量——與晶格振動頻率和溫度有關

一個振動模對熱容貢獻一個振動模的平均能量第一項為常數(shù)，一般稱為零點能，第二項代表平均熱能。高溫極限

一個振動模對熱容貢獻——與杜隆－珀替定律相符——忽略不計——忽略不計教材有誤！低溫極限——與實驗結果相符

一個振動模對熱容貢獻教材有誤！

晶體中有3N個振動模__總的能量晶體總的熱容上述結果表明，只要知道晶格的各振動的頻率，就可以直接寫出晶格的熱容，然而對于具體晶體，計算出3N個頻率往往是十分復雜的，一般情況下，采用兩種模型進行簡化處理。3愛因斯坦模型

N個原子構成的晶體——所有原子的振動頻率

0

熱容總能量愛因斯坦溫度

E值選取——較大溫度變化范圍理論與實驗結果符合——大多數(shù)固體——愛因斯坦熱容函數(shù)金剛石愛因斯坦理論計算和實驗結果比較

溫度較高時

晶體熱容——與杜隆—珀替定律相符晶體熱容溫度較高時

溫度非常低時——按溫度的指數(shù)形式降低晶體熱容——按溫度的指數(shù)形式降低——實驗結果愛因斯坦模型——忽略了各格波的頻率差別晶體熱容很顯然，表達式中指數(shù)項起主要作用，溫度下降，熱容量降低。當T→0時，CV→

0，這與實驗結果定性符合。但更精細的實驗結果表明，當溫度很低時，CV∝T3，這說明Einstein理論假定單一頻率是過分簡單了。模型要點：（1）用連續(xù)介質(zhì)中的彈性波替代格波，即以彈性波的色散關系ω(q)=Cq替代晶格格波的色散關系ω(q);（2）德拜認為，對于一定的波數(shù)矢量q，只存在三支彈性波，一支縱波和二支橫波，其色散關系分別為：ωl(q)=Clq

和ωt(q)=Ctq

。體系規(guī)定：N個原子組成，共有3N個晶格振動模。4德拜模型

——1912年德拜提出以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來代表格波將布拉伐晶格看作是各向同性的連續(xù)介質(zhì)對于同一波數(shù)矢量q，有1個縱波和2個獨立的橫波不同q的縱波和橫波——構成晶格的全部振動模不同頻率的振動模——能量不同色散關系三維晶格__態(tài)密度q值雖然不能取任意值，但由于V是一個宏觀體積，故允許的q值在q空間是很密集的，q是準連續(xù)變化的。狀態(tài)數(shù)目球?qū)印猇為晶體體積表示均勻分布q值的“密度”，頻率在之間振動模式的數(shù)目

可以看出，縱波、橫波的頻率取值也是準連續(xù)的?！駝宇l率分布函數(shù)或振動模的態(tài)密度函數(shù)

由——

振動頻率分布函數(shù)的計算方法之間__縱波數(shù)目之間__格波數(shù)目之間__橫波數(shù)目之間的q值的數(shù)目頻率分布函數(shù)頻率在間__格波數(shù)目——一個振動模的熱容

根據(jù)頻率分布函數(shù)可以直接寫出晶體的熱容根據(jù)以上頻率分布函數(shù)計算熱容，還有一個重要問題必須解決。對于彈性波：格波并非彈性波，情況如何呢？對于格波：N個原子，自由度為3N（并非無限）。德拜作出如下假設：大于ωm的波不存在，即ωm以下的振動?？蓱脧椥圆▉斫铺幚?，而不存在大于ωm的振動模。那么ωm稱為德拜截止頻，其值受到晶體總振動模式數(shù)目的限制。對于ωm以下的振動都可以應用彈性波的近似，ωm則根據(jù)自由度確定如下：晶體總熱容

頻率分布函數(shù)格波總的數(shù)目德拜溫度總的熱容

令高溫極限——與杜?。晏娑梢恢碌掳轃崛莺瘮?shù)晶體總的熱容

低溫極限——T3成正比——德拜定律晶體熱容

晶體熱容

條件：低溫(T<<ΘD)討論：伽瑪函數(shù)表達式：符合實驗結果稱為德拜T3定律可見實際上T3定律一般只適用于大約的范圍內(nèi)。晶體熱容

（1）只有在低溫極限情況下，德拜的宏觀近似才成立。德拜理論在低溫的極限是嚴格正確的：即德拜的T3定律。Debye模型的評價（2）按照德拜理論，一種晶體的CV特征完全由它的德拜溫度確定。故可以由CV（實驗）得到ΘD，使CV（理論）與實驗值符合更好。（3）德拜理論得到不同溫度下的ΘD是不同的（實際上ΘD應該是恒定值）。偏離恒定值的情況表現(xiàn)出德拜溫度的局限性。由CV（T/ΘD

）=CV（實驗）的關系，可以獲得ΘD~T的關系。金屬銦的德拜溫度隨T的變化德拜理論與實驗比較（實驗點是鐿的測量值）03_09晶格振動模式密度

為了準確求出晶格熱容以及它與溫度的變化關系，必須用較精確的辦法計算出晶格振動的模式密度（也叫頻率分布函數(shù)）。原則上講，只要知道了晶格振動譜ωj(q)，也就知道了各個振動模的頻率，模式密度函數(shù)g(ω)也就確定了。但是，一般來說，ω與q之間的關系是復雜的，除非在一些特殊的情況下，得不到g(ω)的解析表達式，因而往往要用數(shù)值計算。左圖給出