2024年中考數(shù)學(xué)二輪專題提升訓(xùn)練：圓的綜合

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024年中考數(shù)學(xué)二輪專題提升訓(xùn)練：圓的綜合1．如圖，以的邊為直徑的交于點(diǎn)D，的切線，垂足為點(diǎn)E．

(1)求證：．(2)若的半徑等于5，，求的長(zhǎng)．2．如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，D為延長(zhǎng)線一點(diǎn)，且，于點(diǎn)E．

(1)求證：直線為的切線；(2)設(shè)與交于點(diǎn)F，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)P，①求證：；②若，，求和的值3．已知中，直徑長(zhǎng)為12，、分別切于點(diǎn)，，弦．

(1)如圖1，若，求的大小和弦的長(zhǎng)；(2)如圖2，過點(diǎn)的切線分別與、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，且，求弦的長(zhǎng)．4．如圖，的直徑，點(diǎn)C、點(diǎn)D在上，，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接，且．

(1)證明：；(2)證明：的切線；(3)若，，求的長(zhǎng)．5．如圖1，是的直徑，是的切線，點(diǎn)是直徑右側(cè)半圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)．

(1)求證：．(2)連結(jié)、，若，求證：．(3)如圖2，連結(jié)，若是的切線，求證：．6．如圖，為的直徑，弦于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．7．如圖，是的直徑，弦于E，與弦交于G，過點(diǎn)F的直線分別與的延長(zhǎng)線交于M，N，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．8．如圖，是的直徑，點(diǎn)C是半圓的中點(diǎn)，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．(1)求證：是的切線；(2)連接，若，，求的半徑．9．如圖，已知是圓的直徑，點(diǎn)在圓上，且，過點(diǎn)作弦的平行線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)(1)若圓的半徑為，且點(diǎn)為弧的中點(diǎn)時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；(2)在（1）的條件下，當(dāng)，α?xí)r，求線段的長(zhǎng)度；（答案用含α的代數(shù)式表示）(3)若，且，求的面積．10．如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)，作的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．11．如圖，四邊形為的內(nèi)接四邊形，為直徑，平分，過點(diǎn)作的平行線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：與相切；(2)求證：．12．如圖，半徑為2，弦，A是弦所對(duì)優(yōu)弧上的一個(gè)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交點(diǎn)M，連接，過點(diǎn)B作，垂足為E．(1)求證：．(2)過點(diǎn)A作，分別交，于點(diǎn)H，D．求的長(zhǎng)．13．已知為的直徑，點(diǎn)C和點(diǎn)D為上的動(dòng)點(diǎn)（兩點(diǎn)在的異側(cè)且都不與A、B重合），連接與交于點(diǎn)E，連接，．(1)如圖1，若，，求的度數(shù)；(2)如圖2，在（1）的條件下，若，求的長(zhǎng)度；(3)如圖2，若，，且對(duì)任意的點(diǎn)C，弦上都有一點(diǎn)F滿足，連接，求線段的最小值．14．已知：是的外接圓，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，．(1)如圖，求證：；(2)如圖，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，且，求證：；(3)如圖，在（2）的條件下，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，若，，求線段的長(zhǎng)．15．已知為的直徑，C為上一點(diǎn)，和過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D，交于點(diǎn)E．(1)如圖①，求證：平分；(2)如圖②，過B作交于點(diǎn)F，連接，若，，求的長(zhǎng)．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．(2)【詳解】（1）證明：如圖，連接．

∵為的切線，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵為的直徑，∴．又∵，∴，∴；（2）解：∵的半徑等于5，∴．∵，∴，∴在中，．∵，∴．又∵，∴，∴，即，解得：．2．②，【詳解】（1）證明：如圖所示，連接．∵于點(diǎn)E，∴，

∵，∴C是的中點(diǎn)，又∵O是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，∴，又∵點(diǎn)C在圓上，∴是圓O的切線；（2）解：①如圖所示，連接，

∵，∴，∵是直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，且，∴，且，∴，∴，∴；②∵是直徑，點(diǎn)F在圓上，∴，∵，∴，∴，∴又由（2）的①知：，∴，∴在直角中，．3．(1)，(2)【詳解】（1）解：、分別切于點(diǎn)，，，在四邊形中，，，，，是的直徑，，即，，，（2）解：連接、、，如圖，，為的切線，

，在和中，，同理：，，為的切線，，，，，∴四邊形為平行四邊形，．，設(shè)則，，在中，，即，，是的直徑，為斜邊上的高，，12x560．4．(3)4【詳解】（1）證明：∵四邊形內(nèi)接于，∴．∵．∴．∵為的直徑，∴．∵，∴．∴．∴；（2）證明：連接，

∵，∴．由（1）得，，∴．又∵，∴．∴．∵，∴．∴為的切線；（3）解：∵，∴．又∵，∴．∵，∴．連接，∴．∵為的直徑，∴．在中，，∴．5．【詳解】（1）證明：是的直徑，是的切線，，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，，；（2）證明：如圖1，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，

，，，，，，，，，，；（3）證明：如圖2，連結(jié)并延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，連結(jié)、、，

、都是的切線，，，，是的直徑，，，，，，，，，，，，．6．(2)的長(zhǎng)是【詳解】（1）證明：如圖，連接，則，∴，∵于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，且，∴點(diǎn)C在的平分線上，∴平分，∴，∴，∴，∴，∵經(jīng)過的半徑的外端，且，∴是的切線．（2）解：∵為的直徑，弦于點(diǎn)E，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的長(zhǎng)是．7．(2)【詳解】（1）證明：連接．則．∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．即．∴是的切線．（2）連接．由（1），．可設(shè)，．∵，∴．∵，∴．∴，．∴．∵是直徑，∴．∴∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．8．(2)的半徑為【詳解】（1）證明：連接∵點(diǎn)C是半圓的中點(diǎn)∴，∴∵∴∵∴又∵∴∴∴，即又∵為的半徑∴為的切線（2）解：∵為的直徑∴∵∴∵∴，∴∵∴∴又∵∴∴即∴，∴∴的半徑為9．(1)；(2)；(3)108．【詳解】（1）解∶如圖，過作于，連接，則，∵是圓的直徑，∴，∵點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，∴弧弧，∴，∴，∴，∴，∵圓的半徑為，即，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴，由可知，∴；（3）解：如圖，連接，，，并延長(zhǎng)至點(diǎn)，∵是圓的直徑，∴，∵，，∴垂直平分，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴即，設(shè)，則，∴，，∴，，∵，∴，∵，∴，，∴，即，解，∴，∴的面積．10．(2)．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，∵是的切線，∴，，∵為的直徑，∴，∵平分，∴，∵是圓周角，是圓心角，所對(duì)弧相同，∴，∴，∴．（2）解：如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，∵，，，∴，∴，由（1）知：，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．11．【詳解】（1）證明：如圖：連接．∵平分，∴，∴；∵為直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴與相切．（2）解：∵，∴，又∵，∴；∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，∴，∴，∴，∴，又∵，∴．12．(2)【詳解】（1）證明：由題意得為的直徑，∴，∴∵，∴；（2）解：如下圖所示，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，連接∵，∴，，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵是直徑，∴，∴．13．(1)(2)(3)【詳解】（1）解：連接，如圖所示：∵，∴，∵，∴的度數(shù)為：，∴，∵，∴．（2）解：過點(diǎn)C作于點(diǎn)G，如圖所示：∵，，，∴，∴，∴，解得：，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，∴．（3）解：連接，，，如圖所示：∵為直徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴點(diǎn)F在以為直徑的圓上，設(shè)點(diǎn)M為的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)H處時(shí)，最小，過點(diǎn)M作于點(diǎn)N，如圖所示：∵為等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴的最小值為．14．(3)【詳解】（1）如圖，連接，，，，（垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等）．，；（2）證明：如圖，連接，設(shè)，，．，，（垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等），，．四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，∴；（3）解：如圖，連接，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，．，，，，．∵，，，