matlab定積分的近似計(jì)算 實(shí)驗(yàn)報(bào)告二

《matlab與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)序號(hào)：實(shí)驗(yàn)二日期：2015年05月09日班級(jí)132132002姓名高馨學(xué)號(hào)1321320041實(shí)驗(yàn)名稱(chēng)定積分的近似計(jì)算問(wèn)題背景描述定積分的很多應(yīng)用問(wèn)題中，被積函數(shù)甚至沒(méi)有解析表達(dá)式，可能只是一條實(shí)驗(yàn)記錄曲線，或者是一組離散的采樣值，這時(shí)只能應(yīng)用近似方法去計(jì)算相應(yīng)的定積分．實(shí)驗(yàn)?zāi)康谋緦?shí)驗(yàn)將主要研究定積分的三種近似計(jì)算算法：矩形法、梯形法、拋物線法．對(duì)于定積分的近似數(shù)值計(jì)算實(shí)驗(yàn)原理與數(shù)學(xué)模型MATLAB7.11.0主要內(nèi)容（要點(diǎn)）實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容中的例子，即分別采用矩形法、梯形法、拋物線法計(jì)算，取，并比較三種方法的精確程度．分別用梯形法與拋物線法，計(jì)算，?。L試直接使用函數(shù)trapz()、quad()進(jìn)行計(jì)算求解，比較結(jié)果的差異．將的近似計(jì)算結(jié)果與Matlab中各命令的計(jì)算結(jié)果相比較，試猜測(cè)Matlab中的數(shù)值積分命令最可能采用了哪一種近似計(jì)算方法？并找出其他例子支持你的觀點(diǎn)．學(xué)習(xí)fulu2sum.m的程序設(shè)計(jì)方法，嘗試用函數(shù)sum改寫(xiě)附錄1和附錄3的程序，避免for循環(huán)。實(shí)驗(yàn)過(guò)程記錄（含基本步驟、主要程序清單及異常情況記錄等）實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容中的例子，即分別采用矩形法、梯形法、拋物線法計(jì)算，取，并比較三種方法的精確程度．矩形法（中點(diǎn)法）程序：clearformatlong;a=0;b=1;n=258;h=(b-a)/n;C=0;fori=1:n;xi=(i-1)*h;xj=i*h;xz=(xi+xj)/2;C=C+h*(1/(1+xz*xz));enddisp(C)E=abs((C-pi/4)/(pi/4));fprintf('TherelativeerrorbetweenCandreal-valueisabout:%d\n',E)答案：0.785398476379441TherelativeerrorbetweenCandreal-valueisabout:3.985010e-007（二）梯形法程序：clearformatlong;a=0;b=1;n=258;h=(b-a)/n;B=0;x1=0;y1=1/(1+x1*x1);B=h*y1/2;fori=1:n-1xi=i*h;fxi=1/(1+xi*xi);B=B+h*fxi;endxn=1;yn=1/(1+xn*xn);B=B+h*yn/2;disp(B)E=abs((B-pi/4)/(pi/4));fprintf('TherelativeerrorbetweenBandreal-valueisabout:%d\n',E)答案：0.785397537433464TherelativeerrorbetweenBandreal-valueisabout:7.970021e-007（三）拋物線法程序：clearformatlonga=0;b=1;n=258;h=(b-a)/n;A=0;fori=1:nxj=(i-1)*h;xi=i*h;xk=(xi+xj)/2;fxi=1/(1+xi*xi);fxj=1/(1+xj*xj);fxk=1/(1+xk*xk);A=A+(h/6)*(fxj+4*fxk+fxi);enddisp(A)E=abs((B-pi/4)/(pi/4));fprintf('TherelativeerrorbetweenAandreal-valueisabout:%d\n',E)答案：0.785398163397449TherelativeerrorbetweenAandreal-valueisabout:2.827160e-016從他們的相對(duì)誤差值，我們可以看出，拋物線法精確程度最高，其次是矩形法，最后是梯形法。二、分別用梯形法與拋物線法，計(jì)算，?。L試直接使用函數(shù)trapz()、quad()進(jìn)行計(jì)算求解，比較結(jié)果的差異．梯形法：程序clearformatlong;a=1;b=2;n=120;h=(b-a)/n;B=0;x1=1;y1=1/x1;B=h*y1/2;fori=1:n-1xi=1+i*h;fxi=1/xi;B=B+h*fxi;endxn=2;yn=1/xn;B=B+h*yn/2;disp(B)答案0.684887057990131（2）trapzx=1:1/120:2;y=1./x;trapz(x,y)答案：ans=0.693151520800048（二）拋物線法：（1）程序clearformatlonga=1;b=2;n=120;h=(b-a)/n;A=0;fori=1:nxj=1+(i-1)*h;xi=1+i*h;xk=(xi+xj)/2;fxi=1/xi;fxj=1/xj;fxk=1/xk;A=A+(h/6)*(fxj+4*fxk+fxi);enddisp(A)答案：0.684848377754341quadf=inline('1./x');I=quad(f,1,2)答案：I=0.693147199862970從他們的最終結(jié)果可以看出，用梯形法與拋物線法求解的結(jié)果比直接使用函數(shù)trapz()、quad()進(jìn)行計(jì)算求解的結(jié)果都要來(lái)得小。使用函數(shù)trapz()與梯形法命令的結(jié)果接近，說(shuō)明函數(shù)trapz()后臺(tái)計(jì)算時(shí)用的是梯形法的算法。。。。。。同理）三、將的近似計(jì)算結(jié)果與Matlab中各命令的計(jì)算結(jié)果相比較，試猜測(cè)Matlab中的數(shù)值積分命令最可能采用了哪一種近似計(jì)算方法？并找出其他例子支持你的觀點(diǎn)．Matlab中的數(shù)值積分命令最可能采用了中點(diǎn)法近似計(jì)算。如下的梯形法中的左點(diǎn)法、中點(diǎn)法與右點(diǎn)法中中點(diǎn)法更接近Matlab中各命令的計(jì)算結(jié)果。（1）clearformatlong;a=0;b=1;n=258;h=(b-a)/n;A=0;B=0;C=0;fori=1:n;xi=(i-1)*h;xj=i*h;xz=(xi+xj)/2;A=A+h*(1/(1+xi*xi));B=B+h*(1/(1+xj*xj));C=C+h*(1/(1+xz*xz));enddisp(A)disp(B)disp(C)答案：0.7863665296815260.7844285451854020.785398476379441（2）x=0:1/100:1;y=1./(1+x.^2);trapz(x,y)答案：ans=0.785393996730782可以看出中點(diǎn)法與答案更接近。（算出誤差）4、學(xué)習(xí)fulu2sum.m的程序設(shè)計(jì)方法，嘗試用函數(shù)sum改寫(xiě)附錄1和附錄3的程序，避免for循環(huán)．附錄1formatlongn=100;a=0;b=1;inum1=0;inum2=0;inum3=0;symsxfxfx=1/(1+x^2);i=1:n；（不然會(huì)把結(jié)果直接輸出來(lái)）xj=a+(i-1)*(b-a)/n;%左點(diǎn)xi=a+i*(b-a)/n;%右點(diǎn)fxj=subs(fx,'x',xj);%左點(diǎn)值fxi=subs(fx,'x',xi);%右點(diǎn)值fxij=subs(fx,'x',(xi+xj)/2);%中點(diǎn)值e=fxj*(b-a)/n;f=fxi*(b-a)/n;g=fxij*(b-a)/n;inum1=sum(e);inum2=sum(f);inum3=sum(g);integrate=int(fx,0,1)integrate=double(integrate)fprintf('Therelativeerrorbetweeninum1andreal-valueisabout:%d\n\n',...abs((inum1-integrate)/integrate))fprintf('Therelativeerrorbetweeninum2andreal-valueisabout:%d\n\n',...abs((inum2-integrate)/integrate))fprintf('Therelativeerrorbetweeninum3andreal-valueisabout:%d\n\n',...abs((inum3-integrate)/integrate))答案：integrate=pi/4integrate=0.785398163397448Therelativeerrorbetweeninum1andreal-valueisabout:3.177794e-003Therelativeerrorbetweeninum2andreal-valueisabout:3.188404e-003Therelativeerrorbetweeninum3andreal-valueisabout:2.652582e-006附錄3clearformatlongn=100;a=0;b=1;inum=0;ie=0symsxfxfx=1/(1+x^2);fori=1:nxj=a+(i-1)*(b-a)/n;%左點(diǎn)xi=a+i*(b-a)/n;%右點(diǎn)xk=(xi+xj)/2;%中點(diǎn)fxj=subs(fx,'x',xj);fxi=subs(fx,'x',xi);fxk=subs(fx,'x',xk);ie=ie+(fxj+4*fxk+fxi)*(b-a)/(6*n);endinum=sum(ie);integrate=int(fx,0,1)integrate=double(integrate)fprintf('Therelativeerrorbetweeninumandreal-valueisabout:%d\n\n',...abs((inum-integrate)/integrate))答案：ie=0integrate=pi/4integrate=0.785398163397448Therelativeerrorbetweeninumandreal-valueisabout:2.827160e-016實(shí)驗(yàn)結(jié)果報(bào)告與實(shí)驗(yàn)總結(jié)其實(shí)最重要的就是弄清楚第一題