2024年重慶市渝中區(qū)重點中學校保送生考試數學試卷（含答案）

年重慶市渝中區(qū)重點中學保送生數學試卷一、填空題（每題7分，共70分）1．（7分）有1、2、﹣2三個數，小明分別對這三個數求了絕對值；小亮分別對這三個數求了倒數；小穎分別對這三個數求了﹣2次冪．將小明、小亮、小穎三人求得的數各任意選一個相乘，則乘積恰好為整數的概率為．2．（7分）已知，則的值為．3．（7分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC是對角線，∠CAB＝90°，以點A為圓心，以AB的長為半徑作⊙A，交BC邊于點E，交AC于點F，連接DE．且∠ADE＝30°，AD＝6，則陰影部分的面積為．4．（7分）將圖1所示的菱形沿兩條對角線剪開后重新拼成圖2、圖3兩種圖案，其中圖2得到的大正方形的面積為5，圖3得到的圖形的外輪廓的周長為，則圖1中sin∠CEB＝．5．（7分）若關于x的一元一次不等式組有解且至多有6個整數解，且關于y的分式方程的解是整數，則所有滿足條件的整數m的值之和為．6．（7分）若實數p、q，滿足，且q＞0，則的值為．7．（7分）如圖所示，已知銳角△ABC中，，BC＝6，將△ABC繞點A逆時針旋轉至△ADE位置，恰好使得CE⊥BC于C，且CE＝BC，連接BD，則BD的長為．8．（7分）我們把不超過實數x的最大整數稱為x的整數部分，記作[x]，又把x﹣[x]稱為x的小數部分，記作{x}，則有x＝[x]+{x}．如：[2.4]＝2，{2.4}＝0.4，2.4＝[2.4]+{2.4}；[﹣2.4]＝﹣3，{﹣2.4}＝0.6，﹣2.4＝[﹣2.4]+{﹣2.4}，則下列說法正確的是（填序號）．①；②如，則實數m的取值范圍是﹣6≤m＜4；③若1＜|x|＜2且，則；④方程5[x]+2＝{x}+4x的實數解有4個．9．（7分）如果一個四位自然數的各數位上的數字互不相等且均不為0，滿足，那么稱這個四位數為“神奇數”，例如：四位數1428，∵14+28＝42，∴1428是“神奇數”；又如四位數3526，因為35+26≠52，∴3526不是“神奇數”．若一個“神奇數”的前三個數字組成的三位數與后三個數字組成的三位數的和能被9整除，則滿足條件的所有“神奇數”的平均數是．10．（7分）如圖所示，平面直角坐標中，四邊形OABC是矩形，點A在第一象限，點B、C在第二象限，S△OAB＝，將△OAB沿OB翻折至△OA′B，反比例函數恰好經過點B和點A′，連接A′C交x軸于點M，則點M的坐標為．二、解答題（11題10分，12、13題每題15分，14、15題每題20分）11．（10分）近年來，抽盲盒成為當下青少年喜歡的消費方式，小王同學就樂于收集某商家出品的星球大戰(zhàn)系列盲盒和精靈天團系列盲盒，十月份他在線下實體店購買了若干盒星球大戰(zhàn)盲盒和精靈天團盲盒，分別花費260元和375元，若星球大戰(zhàn)的單價比精靈天團的單價少10元，精靈天團的數量比星球大戰(zhàn)的數量多1個．（1）十月份，小王購買的星球大戰(zhàn)和精靈天團的盲盒單價分別為多少元？（2）十一月份，商家在“雙十一”開啟了打折促銷活動．其中星球大戰(zhàn)的單價下降了5元，精靈天團的單價下降了m%．小王為了抽取隱藏款，果斷增加了購買量，星球大戰(zhàn)購買數量在十月份基礎上增加了5m%，精靈天團購買數量在十月份的基礎上增加了4m%，結果這次購物的金額比十月份增加了208元，求m的值．12．（15分）如圖1，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，兩對角線交點為O，有兩個動點E、F同時從點A出發(fā)，點E以每秒1個單位長度的速度沿AB邊從A向點B運動，點F以每秒2個單位長度的速度沿折線A→D→C方向運動，當其中一點到達終點時另一點也隨之停止運動．設運動時間為t秒，△DOF的面積為y1，△BEF的面積為y2（y1≠0，y2≠0）．（1）請直接寫出y1、y2關于t的函數表達式，并注明自變量t的取值范圍．（2）在圖2給定的平面直角坐標系中畫出這兩個函數的圖象，并寫出函數y1的一條性質．（3）結合函數圖象，求出△DOF和△BEF面積相等時的t的值．13．（15分）如圖，筒車是我國古代利用水力驅動的灌溉工具，唐代陳廷章在《水輪賦》中寫道：“水能利物，輪乃曲成”．如圖，半徑為3m的筒車⊙O按逆時針方向每分鐘轉1圈，筒車與水面分別交于點A、B，筒車的軸心O距離水面的高度OC長為2.4m，筒車上均勻分布著若干個盛水筒．若以某個盛水筒P剛浮出水面時開始計算時間．（1）浮出水面2.5秒后，盛水筒P距離水面約多高？（2）若接水槽MN所在直線是⊙O的切線，且與直線AB交于點M，已知MO＝8m，求盛水筒P從最高點開始，至少經過多長時間可以將水倒入水槽MN中（即點P恰好在直線MN上）？（參考數據sin37.5°≈0.6，cos37.5°≈0.8，sin17°＝cos73°≈0.3）14．（20分）平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣均為常數）與y軸相交于點A，與x軸相交于B（﹣3、兩點，連接AB，過點C作CD∥AB交拋物線于點D．（1）求出該拋物線的函數表達式及點D的坐標；（2）如圖1，已知點G是線段AB上方拋物線上一點，過點G作GP∥y軸交CD于P，在線段AC和線段CD上分別有兩個動點K、L，且滿足KL＝2，M是KL的中點，當GP+DP取得最大值時，在線段AB上是否存在一點R，使得RP+RM的值最??？若存在，請求出P點的坐標以及RP+RM的最小值；若不存在，請說明理由．（3）如圖2，E是線段BO上一定點，且滿足OE：OB＝4：9，連接AE，將線段AE沿y軸向下平移6個單位至HF，連接EF，T是線段EF上一動點，點A、H同時繞點T逆時針旋轉90°，應對點分別是A′、H′．在旋轉過程中，當△EA′H′是直角三角形時，請直接寫出此時A′的坐標．15．（20分）如圖1，等腰△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝30°，AB＝AC＝2，D是BC邊上一動點，以AD為邊在AD的右側作一個等邊△ADE．（1）當AD與BC所夾銳角為45°時，求CD的長．（2）如圖2，連接BE，取BE中點F，再連接AF、DF．①求證：；②在射線AC上另有一動點P，且AP＝CD，連接BP．當AD+BP的值最小時，求出此時四邊形ACDF的面積．參考答案一、填空題（每題7分，共70分）1．； 2．﹣2； 3．﹣π； 4．； 5．﹣6； 6．； 7．； 8．①； 9．4725； 10．； 二、解答題（11題10分，12、13題每題15分，14、15題每題20分）11．（1）小王購買的星球大戰(zhàn)的盲盒單價為65元，精靈天團的盲盒單價為75元；（2）m的值為10．； 12．（1）y1關于t的函數表達式為y1＝，y2關于t的函數表達式為y2＝