遼寧省錦州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)

2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.命題“”的否定為（）A. B.C. D.3.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列對事件的表述正確的是（）A.與互為對立事件 B.與互斥C.與相互獨立 D.4.已知，下列不等式中正確的是（）A. B.C. D.5.青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）A.0.8 B.0.9 C.1.2 D.1.36.已知函數(shù)是定義域為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，則（）A. B.C. D.7.如圖，在梯形中，直線交于點為中點，設(shè)則（）A. B. C. D.8.設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，例如：，，，則稱為高斯函數(shù).已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是（）A. B. C. D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.某公司為了解用戶對其一款產(chǎn)品的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了10名用戶的滿意度評分，滿意度最低為0分，最高為10分，分?jǐn)?shù)越高表示滿意度越高.這10名用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：.則下列說法正確的是（）A.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7B.這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為8C.這組數(shù)據(jù)的極差為6D.這組數(shù)據(jù)的方差為3.210.若函數(shù)有三個零點，且，則下列說法正確的有（）A. B. C. D.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.當(dāng)時，函數(shù)的定義域為B.當(dāng)時，函數(shù)的值域為C.函數(shù)有最小值的充要條件為D.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是12.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點分別為三角形的外心?重心?垂心，且為的中點，則（）A. B.C. D.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則__________.14.已知甲?乙?丙三人投籃的命中率分別為，，，若甲?乙?丙各投籃一次（三人投籃互不影響），則至少有一人命中的概率為__________.15.已知實數(shù)，則的最小值為__________.16.已知函數(shù)，若方程有4個不同的實數(shù)根且，則的取值范圍為__________；的取值范圍為__________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.平面內(nèi)給定兩個向量，.（1）若，求實數(shù)；（2）若向量為單位向量，且，求的坐標(biāo).18.在①，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的橫線上，并回答下列問題.設(shè)全集，__________，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.19.已知且.（1）求函數(shù)的解析式，并寫出函數(shù)圖象恒過的定點；（2）若，求證：.20.某高中為了解木校高一年級學(xué)塵的綜合素養(yǎng)情況，從高年級的學(xué)生中隨機(jī)抽取了n名學(xué)生作為樣本，進(jìn)行了“綜合素養(yǎng)測評”，根據(jù)測評結(jié)果繪制了測評分?jǐn)?shù)的頻率分布直方閣和頻數(shù)分布表，如下圖.4101284（1）求的值；（2）由頻率分布直方圖分別估計該校高一年級學(xué)生綜合素養(yǎng)成績的中位數(shù)（精確到0.01）?平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）在選取的樣本中，從低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人，求抽取的兩名學(xué)生成績屬于同一組的概率.21.某高校為舉辦百年校慶，需要氦氣用于制作氣球裝飾校園，化學(xué)實驗社團(tuán)主動承擔(dān)了這一任務(wù)．社團(tuán)已有設(shè)備每天最多可制備氦氣，按計劃社團(tuán)必須在天內(nèi)制備完畢．社團(tuán)成員接到任務(wù)后，立即以每天的速度制備氦氣．已知每制備氦氣所需的原料成本為百元．若氦氣日產(chǎn)量不足，日均額外成本為（百元）；若氦氣日產(chǎn)量大于等于，日均額外成本為（百元）．制備成本由原料成本和額外成本兩部分組成．（1）寫出總成本（百元）關(guān)于日產(chǎn)量關(guān)系式（2）當(dāng)社團(tuán)每天制備多少升氦氣時，總成本最少？并求出最低成本．22已知函數(shù)，且滿足.（1）求實數(shù)值；（2）若函數(shù)的圖像與直線的圖像只有一個交點，求的取值范圍；（3）若函數(shù)，是否存在實數(shù)使得的最小值為0？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先寫出集合，再利用集合的交集運算求解即可.【詳解】，，.故選：B.2.命題“”的否定為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用全稱量詞命題的否定求解.【詳解】全稱量詞命題否定是存在量詞命題，因為命題“”是全稱量詞的命題，則“”的否定為“”.故選：D.3.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列對事件的表述正確的是（）A.與互為對立事件 B.與互斥C.與相互獨立 D.【答案】C【解析】【分析】列舉出拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果，再逐一分析判斷各個選項即可.【詳解】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），事件包含的結(jié)果有：（正，正），（正，反），事件包含的結(jié)果有：（正，反），（反，反），事件包含的結(jié)果有：（正，反），所以與不互斥，且不對立，故A、B錯誤；又，所以，所以與相互獨立，故C正確，D錯誤.故選：C.4.已知，下列不等式中正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】對于AB：根據(jù)不等式的性質(zhì)分析求解；對于CD：舉反例說明即可.【詳解】因，可得，則，故A錯誤，B正確；例如，可得，故C錯誤；例如，可得，即，故D錯誤；故選：B.5.青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）A.0.8 B.0.9 C.1.2 D.1.3【答案】A【解析】【分析】由題中等式和對數(shù)與指數(shù)的互化運算得出.【詳解】因為，所以，代入數(shù)據(jù)可得，故選：A.6.已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)可知，在內(nèi)單調(diào)遞減，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性可得，即可得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，則，又因為在內(nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)單調(diào)遞減，由在內(nèi)單調(diào)遞增，則；由在內(nèi)單調(diào)遞減，則；由在內(nèi)單調(diào)遞增，則；綜上所述：，所以.故選：D.7.如圖，在梯形中，直線交于點為中點，設(shè)則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用幾何圖形，對向量做加減線性運算即可.【詳解】因為，所以，所以，又因為為中點，所以,所以=.故選：D.8.設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，例如：，，，則稱為高斯函數(shù).已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可知為奇函數(shù)，利用分離常數(shù)法可得的值域，由表示不超過的最大整數(shù)可求得的值域.【詳解】由題意可知，且，，所以為奇函數(shù)，又因為，，，所以的值域為，根據(jù)表示不超過的最大整數(shù)可知當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，綜上的值域為，故選：A二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.某公司為了解用戶對其一款產(chǎn)品的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了10名用戶的滿意度評分，滿意度最低為0分，最高為10分，分?jǐn)?shù)越高表示滿意度越高.這10名用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：.則下列說法正確的是（）A.這組數(shù)據(jù)眾數(shù)為7B.這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為8C.這組數(shù)據(jù)的極差為6D.這組數(shù)據(jù)的方差為3.2【答案】ACD【解析】【分析】把這組數(shù)從小到大排列后，再根據(jù)相關(guān)數(shù)字特征的定義求出眾數(shù)、百分位數(shù)、極差和方差.【詳解】這組數(shù)從小到大排列為.對于A，眾數(shù)為，故A正確；對于B，因為，所以分位數(shù)為第8個數(shù)據(jù)和第9個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即，故B錯誤；對于C，極差為，故C正確；對于D，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則方差，故D正確.故選：ACD.10.若函數(shù)有三個零點，且，則下列說法正確的有（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由和是的兩個零點求得，，可判斷選項A和B；然后得到也是函數(shù)的零點，即，可判斷選項C；根據(jù)可判斷選項D.【詳解】和是函數(shù)的零點，，解得，，故A錯誤，B正確；，令，得或或，由題知，，即，故C正確；，即，，故D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.當(dāng)時，函數(shù)的定義域為B.當(dāng)時，函數(shù)的值域為C.函數(shù)有最小值的充要條件為D.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是【答案】AC【解析】【分析】對于A、B，當(dāng)時，直接求解函數(shù)的定義域和值域即可，對于C，換元后，只需要即可，對于D，換元后利用復(fù)合函數(shù)求單調(diào)性的方法求解即可.【詳解】當(dāng)時，，對任意恒成立，所以的定義域為，又因為，所以，的值域為，故A正確，B錯誤.對于C，令，則，當(dāng)時，有最小值，反之也成立，故C正確；對于D，令，則，當(dāng)在區(qū)間上單調(diào)遞增時，，解得，故D錯誤.故選：AC.12.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點分別為三角形的外心?重心?垂心，且為的中點，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由題意可知：可得，根據(jù)向量的線性運算結(jié)合三角形各心得性質(zhì)逐項分析判斷.【詳解】因為是的重心，是的外心，是的垂心，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，所以，對于選項A：，故選項A不正確；對于選項B：因為是的重心，為的中點，所以，又因為，則，即，故選項B正確；對于選項C：設(shè)點是的外心，所以點到三個頂點距離相等，即，故選項C正確；對于選項D：，故選項D正確；故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解題的關(guān)鍵是利用已知條件得，利用向量的線性運算結(jié)合可得出向量間的關(guān)系.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可列關(guān)系式求解.【詳解】由題意可得，解得，故答案為：14.已知甲?乙?丙三人投籃的命中率分別為，，，若甲?乙?丙各投籃一次（三人投籃互不影響），則至少有一人命中的概率為__________.【答案】##【解析】【分析】利用相互獨立事件的概率計算公式，事件和它的對立事件概率間的關(guān)系，求出結(jié)果.【詳解】甲?乙?丙三人投籃的命中率分別為，，，甲?乙?丙各投籃一次，則他們都沒有命中的概率為，則至少有一人命中的概率為.故答案為：.15.已知實數(shù)，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】把變形為，再利用乘“1”法和基本不等式求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時即時，取等號.故答案為：.16.已知函數(shù)，若方程有4個不同的實數(shù)根且，則的取值范圍為__________；的取值范圍為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】分析函數(shù)的性質(zhì)，并作出函數(shù)圖象，結(jié)合方程根的意義及對勾函數(shù)單調(diào)性求解即得.【詳解】函數(shù)的圖象對稱軸是，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，由，得，因此方程的根即為直線與函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，觀察圖象知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有4個交點，因此方程有4個不同的實數(shù)根，的取值范圍是；顯然，當(dāng)時，或，于是，由，得，即，則，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而，即，則，所以的取值范圍是.【點睛】思路點睛：涉及同一函數(shù)的幾個不同自變量值對應(yīng)函數(shù)值相等問題，可以轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點橫坐標(biāo)問題，結(jié)合函數(shù)圖象性質(zhì)求解.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.平面內(nèi)給定兩個向量，.（1）若，求實數(shù)；（2）若向量為單位向量，且，求的坐標(biāo).【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)平行關(guān)系，列出方程，求出實數(shù)；（2）根據(jù)平行關(guān)系和模長，列出方程組，求出的坐標(biāo).【小問1詳解】，，因為，所以，解得；【小問2詳解】設(shè)向量，因為向量為單位向量，所以①，又因為，所以②，由①②解得或，所以或.18.在①，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的橫線上，并回答下列問題.設(shè)全集，__________，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)分式不等式，絕對值不等式，對數(shù)函數(shù)的定義域即可分別求出三種情形下的集合；（2）對集合中不等式進(jìn)行因式分解，再根據(jù)充分必要條件和集合包含關(guān)系即可求解.【小問1詳解】若選①：，，即，等價于，解得，，因為，所以，，；若選②：，，解得，，因為，所以，，；若選③：，解得，，因為，所以，，；【小問2詳解】由（1）知，，因為“”是“”的充分不必要條件，所以是的真子集.（i）若，即，此時，所以，等號不同時取得，解得.（ii）若，即，則，不合題意舍去；（iii）若，即，此時，所以，等號不同時取得，解得.綜上所述，的取值范圍是.19.已知且.（1）求函數(shù)的解析式，并寫出函數(shù)圖象恒過的定點；（2）若，求證：.【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）用換元法令，代入函數(shù)解析式即可求出；（2）作差，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明.小問1詳解】令，得，則，所以令，得，且，因此，函數(shù)圖象恒過的定點坐標(biāo)為.【小問2詳解】證明：因為又因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以又由，可得，所以，即即.20.某高中為了解木校高一年級學(xué)塵的綜合素養(yǎng)情況，從高年級的學(xué)生中隨機(jī)抽取了n名學(xué)生作為樣本，進(jìn)行了“綜合素養(yǎng)測評”，根據(jù)測評結(jié)果繪制了測評分?jǐn)?shù)的頻率分布直方閣和頻數(shù)分布表，如下圖.4101284（1）求的值；（2）由頻率分布直方圖分別估計該校高一年級學(xué)生綜合素養(yǎng)成績的中位數(shù)（精確到0.01）?平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）在選取的樣本中，從低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人，求抽取的兩名學(xué)生成績屬于同一組的概率.【答案】（1），，（2）平均數(shù)，中位數(shù)為（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合頻率和頻數(shù)之間的關(guān)系分析求解；（2）根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)的定義結(jié)合頻率分布直方圖運算求解；（3）求低于60分的各組人數(shù)，利用列舉法結(jié)合古典概型分析求解.【小問1詳解】由圖知第三組的頻率為0.25，又由第三組的頻數(shù)為10，所以，所以.【小問2詳解】由（1）可知：每組的頻率依次為，平均數(shù)，設(shè)中位數(shù)為，且，可知，所以，解的.【小問3詳解】記事件：從低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人成績屬于同一組，由（1）知樣本中位于內(nèi)的有兩人，分別記為；位于內(nèi)的有四人，分別記為；從低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人的樣本空間，，共包含15個樣本點，所以共包含7個樣本點，所以，即從低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人成績屬于同一組的概率為.21.某高校為舉辦百年校慶，需要氦氣用于制作氣球裝飾校園，化學(xué)實驗社團(tuán)主動承擔(dān)了這一任務(wù)．社團(tuán)已有的設(shè)備每天最多可制備氦氣，按計劃社團(tuán)必須在天內(nèi)制備完畢．社團(tuán)成員接到任務(wù)后，立即以每天的速度制備氦氣．已知每制備氦氣所需的原料成本為百元．若氦氣日產(chǎn)量不足，日均額外成本為（百元）；若氦氣日產(chǎn)量大于等于，日均額外成本為（百元）．制備成本由原料成本和額外成本兩部分組成．（1）寫出總成