排列組合練習(xí)題及答案及排列組合問題-插板法(分組)、插空法（不相鄰）、捆綁法（相鄰）

《排列組合》一、排列與組合1.從9人中選派2人參加某一活動(dòng)，有多少種不同選法？2.從9人中選派2人參加文藝活動(dòng)，1人下鄉(xiāng)演出，1人在本地演出，有多少種不同選派方法？3.現(xiàn)從男、女8名學(xué)生干部中選出2名男同學(xué)和1名女同學(xué)分別參加全?！百Y源”、“生態(tài)”和“環(huán)?！比齻€(gè)夏令營(yíng)活動(dòng)，已知共有90種不同的方案，那么男、女同學(xué)的人數(shù)是A.男同學(xué)2人，女同學(xué)6人B.男同學(xué)3人，女同學(xué)5人C.男同學(xué)5人，女同學(xué)3人D.男同學(xué)6人，女同學(xué)2人4.一條鐵路原有m個(gè)車站，為了適應(yīng)客運(yùn)需要新增加n個(gè)車站（n>1），則客運(yùn)車票增加了58種（從甲站到乙站與乙站到甲站需要兩種不同車票），那么原有的車站有A.12個(gè)B.13個(gè)C.14個(gè)D.15個(gè)5．用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字，（1）可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？（2）可以組成多少個(gè)數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)？（3）可以組成多少個(gè)數(shù)字不允許重復(fù)的三位數(shù)的奇數(shù)？（4）可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的小于1000的自然數(shù)？（5）可以組成多少個(gè)大于3000，小于5421的數(shù)字不重復(fù)的四位數(shù)？二、注意附加條件1.6人排成一列（1）甲乙必須站兩端，有多少種不同排法？（2）甲乙必須站兩端，丙站中間，有多少種不同排法？2.由1、2、3、4、5、6六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且是6的倍數(shù)的五位數(shù)？3.由數(shù)字1，2，3，4，5，6，7所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，按從小到大的順序排列起來，第379個(gè)數(shù)是A.3761B.4175C.5132D.61574.設(shè)有編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)茶杯和編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)杯蓋，將五個(gè)杯蓋蓋在五個(gè)茶杯上，至少有兩個(gè)杯蓋和茶杯的編號(hào)相同的蓋法有A.30種B.31種C.32種D.36種5.從編號(hào)為1，2，…，10,11的11個(gè)球中取5個(gè)，使這5個(gè)球中既有編號(hào)為偶數(shù)的球又有編號(hào)為奇數(shù)的球，且它們的編號(hào)之和為奇數(shù)，其取法總數(shù)是A.230種B.236種C.455種D.2640種6.從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有1雙同色的取法有A.240種B.180種C.120種D.60種7.用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)，將這些四位數(shù)從小到大排列起來，第71個(gè)數(shù)是。三、間接與直接1.有4名女同學(xué)，6名男同學(xué)，現(xiàn)選3名同學(xué)參加某一比賽，至少有1名女同學(xué)，由多少種不同選法？2.6名男生4名女生排成一行，女生不全相鄰的排法有多少種？3.已知集合A和B各12個(gè)元素，含有4個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的集合C的個(gè)數(shù)：（1）且C中含有三個(gè)元素；（2）,表示空集。4.從5門不同的文科學(xué)科和4門不同的理科學(xué)科中任選4門，組成一個(gè)綜合高考科目組，若要求這組科目中文理科都有，則不同的選法的種數(shù)A.60種B.80種C.120種D.140種5.四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)不同取法有多少種？6.以正方體的8個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四棱錐有多少個(gè)？7.對(duì)正方體的8個(gè)頂點(diǎn)兩兩連線，其中能成異面直線的有多少對(duì)？四、分類與分步1.求下列集合的元素個(gè)數(shù)．

（1）；

（2）．2.一個(gè)文藝團(tuán)隊(duì)有9名成員，有7人會(huì)唱歌，5人會(huì)跳舞，現(xiàn)派2人參加演出，其中1名會(huì)唱歌，1名會(huì)跳舞，有多少種不同選派方法？3.已知直線，在上取3個(gè)點(diǎn)，在上取4個(gè)點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)連成直線，那么這些直線在和之間的交點(diǎn)（不包括、上的點(diǎn)）最多有A.18個(gè)B.20個(gè)C.24個(gè)D.36個(gè)4.9名翻譯人員中，6人懂英語(yǔ)，4人懂日語(yǔ)，從中選拔5人參加外事活動(dòng)，要求其中3人擔(dān)任英語(yǔ)翻譯，2人擔(dān)任日語(yǔ)翻譯，選拔的方法有種（用數(shù)字作答）。5.某博物館要在20天內(nèi)接待8所學(xué)校的學(xué)生參觀，每天只安排一所學(xué)校，其中一所人數(shù)較多的學(xué)校要連續(xù)參觀3天，其余學(xué)校只參觀1天，則在這20天內(nèi)不同的安排方法為A.種B.種C.種D.種6.從10種不同的作物種子選出6種放入6個(gè)不同的瓶子展出，如果甲乙兩種種子不許放第一號(hào)瓶?jī)?nèi)，那么不同的放法共有A.種B.種C.種D.種7.在畫廊要展出1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國(guó)畫，要求排成一排，并且同一種的畫擺放在一起，還要求水彩畫不能擺兩端，那么不同的陳列方式有A.種B.種C.種D.種8.把一個(gè)圓周24等分，過其中任意3個(gè)分點(diǎn)，可以連成圓的內(nèi)接三角形，其中直角三角形的個(gè)數(shù)是A.122B.132C.2649.有三張紙片，正、反面分別寫著數(shù)字1、2、3和4、5、6，將這三張紙片上的數(shù)字排成三位數(shù)，共能組不同三位數(shù)的個(gè)數(shù)是A.24B.36C.48D.6410.在1～20共20個(gè)整數(shù)中取兩個(gè)數(shù)相加,使其和為偶數(shù)的不同取法共有多少種?11.如下圖,共有多少個(gè)不同的三角形?解:所有不同的三角形可分為三類：第一類:其中有兩條邊是原五邊形的邊,這樣的三角形共有5個(gè)第二類:其中有且只有一條邊是原五邊形的邊,這樣的三角形共有5×4=20個(gè)第三類:沒有一條邊是原五邊形的邊,即由五條對(duì)角線圍成的三角形,共有5+5=10個(gè)由分類計(jì)數(shù)原理得,不同的三角形共有5+20+10=35個(gè).12.從5部不同的影片中選出4部，在3個(gè)影院放映，每個(gè)影院至少放映一部，每部影片只放映一場(chǎng)，共有種不同的放映方法（用數(shù)字作答）。五、元素與位置——位置分析1.7人爭(zhēng)奪5項(xiàng)冠軍，結(jié)果有多少種情況？2.75600有多少個(gè)正約數(shù)?有多少個(gè)奇約數(shù)?解:75600的約數(shù)就是能整除75600的整數(shù),所以本題就是分別求能整除75600的整數(shù)和奇約數(shù)的個(gè)數(shù).由于75600=24×33×52×7(1)75600的每個(gè)約數(shù)都可以寫成的形式,其中,,,于是,要確定75600的一個(gè)約數(shù),可分四步完成,即分別在各自的范圍內(nèi)任取一個(gè)值,這樣有5種取法,有4種取法,有3種取法,有2種取法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得約數(shù)的個(gè)數(shù)為5×4×3×2=120個(gè).(2)奇約數(shù)中步不含有2的因數(shù),因此75600的每個(gè)奇約數(shù)都可以寫成的形式,同上奇約數(shù)的個(gè)數(shù)為4×3×2=24個(gè).3.2名醫(yī)生和4名護(hù)士被分配到兩所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，不同分配方法有多少種？4．有四位同學(xué)參加三項(xiàng)不同的比賽，（1）每位同學(xué)必須參加一項(xiàng)競(jìng)賽，有多少種不同的結(jié)果？（2）每項(xiàng)競(jìng)賽只許一位學(xué)生參加，有多少種不同的結(jié)果？解：（1）每位學(xué)生有三種選擇，四位學(xué)生共有參賽方法：種；（2）每項(xiàng)競(jìng)賽被選擇的方法有四種，三項(xiàng)競(jìng)賽共有參賽方法：種.六、染色問題1.如圖一,要給①,②,③,④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色,則不同涂色方法種數(shù)為()A.180B.160C.96D.60①①③④②①②③④④③②①圖一圖二圖三若變?yōu)閳D二,圖三呢?(240種,5×4×4×4=320種)2.某班宣傳小組一期國(guó)慶?？?，現(xiàn)有紅、黃、白、綠、藍(lán)五種顏色的粉筆供選用，要求在黑板中A、B、C、D（如圖）每一部分只寫一種顏色，相鄰兩塊顏色不同，則不同顏色粉筆書寫的方法共有種（用具體數(shù)字作答）。七、消序 1.有4名男生，3名女生?，F(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右女生從矮到高排列，有多少種排法？2.書架上有6本書，現(xiàn)再放入3本書，要求不改變?cè)瓉?本書前后的相對(duì)順序，有多少種不同排法？八、分組分配1.某校高中一年級(jí)有6個(gè)班，分派3名教師任教，每名教師任教二個(gè)班，不同的安排方法有多少種？2.高三級(jí)8個(gè)班，分派4名數(shù)學(xué)老師任教，每位教師任教2個(gè)班，則不同安排方法有多少種？3.6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人一本、二本、三本的不同分法有多少種？4.8項(xiàng)工程，甲承包三項(xiàng)，乙承包一項(xiàng)，丙、丁各承包二項(xiàng)，不同的承包方案有種5..六人住A、B、C三間房，每房最多住三人，（1）每間住兩人，有種不同的住法，（2）一間住三人，一間住二人，一間住一人，有種不同的住宿方案。6.8人住ABC三個(gè)房間，每間最多住3人，有多少種不同住宿方案？7.有4個(gè)不同小球放入四個(gè)不同盒子，其中有且只有一個(gè)盒子留空，有多少種不同放法？7.把標(biāo)有a，b，c，d，…的8件不同紀(jì)念品平均贈(zèng)給甲、乙兩位同學(xué)，其中a、b不贈(zèng)給同一個(gè)人，則不同的贈(zèng)送方法有種（用數(shù)字作答）。九、捆綁1.A、B、C、D、E五個(gè)人并排站成一列，若A、B必相鄰，則有多少種不同排法？2.有8本不同的書，其中科技書3本，文藝書2本，其它書3本，將這些書豎排在書架上，則科技書連在一起，文藝書也連在一起的不同排法種數(shù)與這8本書的不同排法之比為A.1:14B.1:28C.1:140D.1:336十、插空1.要排一個(gè)有6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目都不相鄰，有多少種不同排法？2、4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相間，則不同的排法數(shù)有（）A.2880B.1152C.48D.1443.要排一個(gè)有5個(gè)歌唱節(jié)目和3個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，如果舞蹈節(jié)目不相鄰，則有多少種不同排法？4.5人排成一排，要求甲、乙之間至少有1人，共有多少種不同排法？5..把5本不同的書排列在書架的同一層上，其中某3本書要排在中間位置，有多少種不同排法？6.1到7七個(gè)自然數(shù)組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，其中偶數(shù)不相鄰的個(gè)數(shù)有個(gè).7.排成一排的8個(gè)空位上，坐3人，使每人兩邊都有空位，有多少種不同坐法？8.8張椅子放成一排，4人就坐，恰有連續(xù)三個(gè)空位的坐法有多少種？9.排成一排的9個(gè)空位上，坐3人，使三處有連續(xù)二個(gè)空位，有多少種不同坐法？10.排成一排的9個(gè)空位上，坐3人，使三處空位中有一處一個(gè)空位、有一處連續(xù)二個(gè)空位、有一處連續(xù)三個(gè)空位，有多少種不同坐法？11.某城市修建的一條道路上有12只路燈，為了節(jié)省用電而又不影響正常的照明，可以熄滅其中三只燈，但不能熄滅兩端的燈，也不能熄滅相鄰的兩只燈，那么熄燈的方法共有種A.B.C.D.12.在一次文藝演出中，需給舞臺(tái)上方安裝一排彩燈共15只，以不同的點(diǎn)燈方式增加舞臺(tái)效果，要求設(shè)計(jì)者按照每次點(diǎn)亮?xí)r，必需有6只燈是關(guān)的，且相鄰的燈不能同時(shí)被關(guān)掉，兩端的燈必需點(diǎn)亮的要求進(jìn)行設(shè)計(jì)，那么不同的點(diǎn)亮方式是A.28種B.84種C.180種D.360種13.一排長(zhǎng)椅上共有10個(gè)座位，現(xiàn)有4人就座，恰有五個(gè)連續(xù)空位的坐法種數(shù)為。（用數(shù)字作答）十一、隔板法1.不定方程的正整數(shù)解的組數(shù)是，非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)是。2.某運(yùn)輸公司有7個(gè)車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)的車多于4輛，現(xiàn)從這7個(gè)車隊(duì)中抽出10輛車，且每個(gè)車隊(duì)至少抽一輛組成運(yùn)輸隊(duì)，則不同的抽法有A.84種B.120種C.63種D.301種3.要從7所學(xué)校選出10人參加素質(zhì)教育研討班，每所學(xué)校至少參加1人，則這10個(gè)名額共有種分配方法。4.有編號(hào)為1、2、3的3個(gè)盒子和10個(gè)相同的小球，現(xiàn)把10個(gè)小球全部裝入3個(gè)盒子中，使得每個(gè)盒子所裝球數(shù)不小于盒子的編號(hào)數(shù)，這種裝法共有A.9種B.12種C.15種D.18種5.將7只相同的小球全部放入4個(gè)不同盒子，每盒至少1球的方法有多少種？6.某中學(xué)從高中7個(gè)班中選出12名學(xué)生組成校代表隊(duì)，參加市中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題競(jìng)賽活動(dòng)，使代表中每班至少有1人參加的選法有多少種？十二、對(duì)應(yīng)的思想1.在100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽（即一場(chǎng)比賽失敗要退出比賽），最后產(chǎn)生一名冠軍，問要舉行幾場(chǎng)？十三、找規(guī)律1.在1～20共20個(gè)整數(shù)中取兩個(gè)數(shù)相加,使其和大于20的不同取法共有多少種?解:分類標(biāo)準(zhǔn)一,固定小加數(shù).小加數(shù)為1時(shí),大加數(shù)只有20這1種取法;小加數(shù)為2時(shí),大加數(shù)有19或20兩種取法;小加數(shù)為3時(shí),大加數(shù)為18,19或20共3種取法…小加數(shù)為10時(shí),大加數(shù)為11,12,…,20共10種取法;小加數(shù)為11時(shí),大加數(shù)有9種取法…小加數(shù)取19時(shí),大加數(shù)有1種取法.由分類計(jì)數(shù)原理,得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100種.分類標(biāo)準(zhǔn)二:固定和的值.有和為21,22,…,39這幾類,依次有取法10,9,9,8,8,…,2,2,1,1種.由分類計(jì)數(shù)原理得不同取法共有10+9+9+…+2+2+1+1=100種.2.從1到100的自然數(shù)中，每次取出不同的兩個(gè)數(shù)，使它們的和大于一百，則不同的取法有A.50種B.100種C.1275種D.2500種十四、實(shí)驗(yàn)——寫出所有的排列或組合1.將數(shù)字1,2,3,4填入標(biāo)號(hào)1,2,3,4的四個(gè)方格中，每個(gè)格填一個(gè)，則每一個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不同的填法有種.A.6B.9C.11D.23解:列表排出所有的分配方案,共有3+3+3=9種,或種．未歸類幾道題1.從數(shù)字0，1，3，5，7中取出不同的三位數(shù)作系數(shù)，可以組成多少個(gè)不同的一元二次方程ax+bx+c=0?其中有實(shí)根的方程有多少個(gè)？變式：若直線Ax+By+C=0的系數(shù)A、B可以從0，1，2，3，6，7這六個(gè)數(shù)字中取不同的數(shù)值，則這些方程所表示的直線條數(shù)是（A）A.18B.20C.12D.222.在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件不合格品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件(1)一共有多少種不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有一件是不合格品的抽法有多少種?(3)抽出的3件中至少有一件是不合格品的抽法有多少種?3.10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意抽取4只，試求各有多少種情況出現(xiàn)如下結(jié)果(1)4只鞋子沒有成雙；(2)4只鞋子恰好成雙；(3)4只鞋子有2只成雙，另2只不成雙4.f是集合M={a,b,c,d}到N{0,1,2}的映射，且f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4,則不同的映射有多少個(gè)？解：根據(jù)a,b,c,d對(duì)應(yīng)的象為2的個(gè)數(shù)分類，可分為三類：第一類，沒有一個(gè)元素的象為2，其和又為4，則集合M所有元素的象都為1，這樣的映射只有1個(gè)第二類，有一個(gè)元素的象為2，其和又為4，則其余3個(gè)元素的象為0，1，1，這樣的映射有C41C31C22個(gè)第三類，有兩個(gè)元素的象為2，其和又為4，則其余2個(gè)元素的象必為0，這樣的映射有C42C22個(gè)根據(jù)加法原理共有1+C41C31C22+C42C22=19個(gè)5.四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，則恰有一個(gè)空盒的方法共有多少種？6.由12個(gè)人組成的課外文娛小組，其中5個(gè)人只會(huì)跳舞，5個(gè)人只會(huì)唱歌，2個(gè)人既會(huì)跳舞又會(huì)唱歌，若從中選出4個(gè)會(huì)跳舞和4個(gè)會(huì)唱歌的人去排演節(jié)目，共有多少種不同選法？排列、組合練習(xí)題參考答案:1.2.3.解析：設(shè)男生有n人，則女生有（8-n）人，由題意得即用選支驗(yàn)證選（B）4.分類：①恰有兩個(gè)杯蓋和茶杯的編號(hào)相同的蓋法有種；②恰有三個(gè)杯蓋和茶杯的編號(hào)相同的蓋法有種；③無恰有四個(gè)杯蓋和茶杯的編號(hào)相同的蓋法，只有五個(gè)杯蓋和茶杯的編號(hào)完全相同的蓋法1種。故選（B）31種。5.分類：①1奇4偶：②3奇2偶：選（A）6.分步：選（A）A4BA4B88或分類：8.間接法：9.間接法：10.對(duì)應(yīng)：一交點(diǎn)對(duì)應(yīng)、上各兩點(diǎn)：個(gè)選（A）11.分類：①英語(yǔ)翻譯從單會(huì)英語(yǔ)中選派：懂英語(yǔ)1懂日語(yǔ)懂英語(yǔ)1懂日語(yǔ)56填9012.分步：選（D）13.元素與位置：以冠軍為位置，選人：14.①；②15.分步：填18016.消序：=504或分步插空：=504或17.先分組后分配：或位置分析：18.先分組后分配：19.位置分析：20.（1）仿17題；（2）先分組后分配：21.先分組后分配：或分類，先確定住兩人的房間——位置分析：重復(fù)題目:先分組后分配：或分類——位置分析：322.捆綁：選（B）23.插空:24.插空:25.插空:26.插空:27.插空:28.(A)29.隔板法：選（A）30.先在編號(hào)為2、3的2個(gè)盒子分別放入1個(gè)小球、2個(gè)小球；對(duì)余下7個(gè)小球用隔板法。選（C）31.對(duì)應(yīng)的思想：100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽，最后產(chǎn)生一名冠軍，要環(huán)淘99名選手，每淘汰1名選手，對(duì)應(yīng)一場(chǎng)比賽。故要舉行99場(chǎng)比賽。32.[解法一]:找規(guī)律：固定小加數(shù).小加數(shù)為1時(shí),大加數(shù)只有20這1種取法;小加數(shù)為2時(shí),大加數(shù)有19或20兩種取法;小加數(shù)為3時(shí),大加數(shù)為18,19或20共3種取法…小加數(shù)為10時(shí),大加數(shù)為11,12,…,20共10種取法;小加數(shù)為11時(shí),大加數(shù)有9種取法…小加數(shù)取19時(shí),大加數(shù)有1種取法.由分類計(jì)數(shù)原理,得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100種.[法二]:固定和的值.有和為21,22,…,39這幾類,依次有取法10,9,9,8,8,…,2,2,1,1種.由分類計(jì)數(shù)原理得不同取法共有10+9+9+…+2+2+1+1=100種.以上兩種方法是兩種不同的分類。33.解:列表排出所有的分配方案,共有3+3+3=9種,或種．34.(1)(2)(3)35.解：根據(jù)a,b,c,d對(duì)應(yīng)的象為2的個(gè)數(shù)分類，可分為三類：第一類，沒有一個(gè)元素的象為2，其和又為4，則集合M所有元素的象都為1，這樣的映射只有1個(gè)第二類，有一個(gè)元素的象為2，其和又為4，則其余3個(gè)元素的象為0，1，1，這樣的映射有=12個(gè)第三類，有兩個(gè)元素的象為2，其和又為4，則其余2個(gè)元素的象必為0，這樣的映射有=6個(gè)根據(jù)加法原理共有1++=1+12+6=19個(gè)排列組合問題——插板法(分組)、插空法（不相鄰）、捆綁法（相鄰）插板法（m為空的數(shù)量）【基本題型】

有n個(gè)相同的元素，要求分到不同的m組中，且每組至少有一個(gè)元素，問有多少種分法？

圖中“”表示相同的名額，“”表示名額間形成的空隙，設(shè)想在這幾個(gè)空隙中插入六塊“擋板”，則將這10個(gè)名額分割成七個(gè)部分，將第一、二、三、……七個(gè)部分所包含的名額數(shù)分給第一、二、三……七所學(xué)校，則“擋板”的一種插法恰好對(duì)應(yīng)了10個(gè)名額的一種分配方法，反之，名額的一種分配方法也決定了檔板的一種插法，即擋板的插法種數(shù)與名額的分配方法種數(shù)是相等的，【總結(jié)】

需滿足條件：n個(gè)相同元素，不同個(gè)m組，每組至少有一個(gè)元素，則只需在n個(gè)元素的n-1個(gè)間隙中放置m-1塊隔板把它隔成m份即可,共有種不同方法。

注意：這樣對(duì)于很多的問題，是不能直接利用插板法解題的。但，可以通過一定的轉(zhuǎn)變，將其變成符合上面3個(gè)條件的問題，這樣就可以利用插板法解決，并且常常會(huì)產(chǎn)生意想不到的效果。插板法就是在n個(gè)元素間的（n-1）個(gè)空中插入若干個(gè)（b）個(gè)板,可以把n個(gè)元素分成（b+1）組的方法.

應(yīng)用插板法必須滿足三個(gè)條件：

（1）這n個(gè)元素必須互不相異

（2）所分成的每一組至少分得一個(gè)元素

(3)分成的組別彼此相異

舉個(gè)很普通的例子來說明

把10個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的箱子,每個(gè)箱子至少一個(gè),問有幾種情況?

問題的題干滿足條件（1）（2）,適用插板法,c92=36

下面通過幾道題目介紹下插板法的應(yīng)用

e二次插板法

例8：在一張節(jié)目單中原有6個(gè)節(jié)目,若保持這些節(jié)目相對(duì)次序不變,再添加3個(gè)節(jié)目,共有幾種情況?

-o-o-o-o-o-o-三個(gè)節(jié)目abc

可以用一個(gè)節(jié)目去插7個(gè)空位,再用第二個(gè)節(jié)目去插8個(gè)空位,用最后個(gè)節(jié)目去插9個(gè)空位

所以一共是c71×c81×c91=504種

【基本解題思路】

將n個(gè)相同的元素排成一行，n個(gè)元素之間出現(xiàn)了（n-1）個(gè)空檔，現(xiàn)在我們用（m-1）個(gè)“檔板”插入（n-1）個(gè)空檔中，就把n個(gè)元素隔成有序的m份，每個(gè)組依次按組序號(hào)分到對(duì)應(yīng)位置的幾個(gè)元素（可能是1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、….），這樣不同的插入辦法就對(duì)應(yīng)著n個(gè)相同的元素分到m組的一種分法，這種借助于這樣的虛擬“檔板”分配元素的方法稱之為插板法。

【基本題型例題】

【例1】共有10完全相同的球分到7個(gè)班里，每個(gè)班至少要分到一個(gè)球，問有幾種不同分法？

解析：我們可以將10個(gè)相同的球排成一行，10個(gè)球之間出現(xiàn)了9個(gè)空隙，現(xiàn)在我們用6個(gè)檔板”插入這9個(gè)空隙中，就“把10個(gè)球隔成有序的7份，每個(gè)班級(jí)依次按班級(jí)序號(hào)分到對(duì)應(yīng)位置的幾個(gè)球（可能是1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)），這樣，借助于虛擬“檔板”就可以把10個(gè)球分到了7個(gè)班中。

【基本題型的變形（一）】

題型：有n個(gè)相同的元素，要求分到m組中，問有多少種不同的分法？

解題思路：這種問題是允許有些組中分到的元素為“0”，也就是組中可以為空的。對(duì)于這樣的題，我們就首先將每組都填上1個(gè)，這樣所要元素總數(shù)就m個(gè)，問題也就是轉(zhuǎn)變成將（n+m）個(gè)元素分到m組，并且每組至少分到一個(gè)的問題，也就可以用插板法來解決。

【例2】有8個(gè)相同的球放到三個(gè)不同的盒子里，共有（）種不同方法.

A．35B．28C．21D．45

解答：題目允許盒子有空，則需要每個(gè)組添加1個(gè)，則球的總數(shù)為8+3×1=11，此題就有C（10，2）=45（種）分法了，選項(xiàng)D為正確答案。

【基本題型的變形（二）】

題型：有n個(gè)相同的元素，要求分到m組，要求各組中分到的元素至少某個(gè)確定值S（s＞1，且每組的s值可以不同），問有多少種不同的分法？

解題思路：這種問題是要求組中分到的元素不能少某個(gè)確定值s，各組分到的不是至少為一個(gè)了。對(duì)于這樣的題，我們就首先將各組都填滿，即各組就填上對(duì)應(yīng)的確定值s那么多個(gè)，這樣就滿足了題目中要求的最起碼的條件，之后我們?cè)俜质Ｏ碌那?。這樣這個(gè)問題就轉(zhuǎn)變?yōu)樯厦嫖覀兲岬降淖冃危ㄒ唬┑膯栴}了，我們也就可以用插板法來解決。

【例3】15個(gè)相同的球放入編號(hào)為1、2、3的盒子內(nèi)，盒內(nèi)球數(shù)不少于編號(hào)數(shù)，有幾種不同的放法？

解析：

編號(hào)1：至少1個(gè)，符合要求。編號(hào)2：至少2個(gè)：需預(yù)先添加1個(gè)球，則總數(shù)-1編號(hào)3：至少3個(gè)，需預(yù)先添加2個(gè)，才能滿足條件，后面添加一個(gè)，則總數(shù)-2

則球總數(shù)15-1-2=12個(gè)放進(jìn)3個(gè)盒子里所以C（11，2）=55（種）

【例】10個(gè)學(xué)生中，男女生各有5人，選4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽。（1）至少有一名女生的選法種數(shù)為_______________。（2）A、B兩人中最多只有一人參加的選法種數(shù)為___________解法1：10名中選4名代表的選法的種類：C104,排除4名參賽全是男生：C54(排除法)C104C54=205解法2：選1女生時(shí)，選2個(gè)女生時(shí)，選3、4個(gè)女生時(shí)的選法，分別相加真題

（2010年國(guó)考真題）某單位訂閱了30份學(xué)習(xí)材料發(fā)放給3個(gè)部門，每個(gè)部門至少發(fā)放9份材料。問一共有多少種不同的發(fā)放方法？（）A.7B.9C.10D.12解析：每個(gè)部門先放8個(gè)，后面就至少放一個(gè)，三個(gè)部門則要先放8×3=24份，還剩下30-24=6份來放入這三個(gè)部門，且每個(gè)部門至少發(fā)放1份，則C（5,2）=10插空法插空法就是對(duì)于解決某幾個(gè)元素要求不相鄰的問題時(shí)，先將其他元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入它們的間隙或兩端位置。首要特點(diǎn)就是不相鄰。下面舉例說明。一.數(shù)字問題【例】把1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字且數(shù)字1，2不相鄰的五位數(shù)，則所有不同排法有多少種？解析：本題直接解答較為麻煩，因?yàn)榭上葘?，4，5三個(gè)元素排定，共有種排法，然后再將1，2插入四個(gè)空位共有種排法，故由乘法原理得，所有不同的五位數(shù)有二.節(jié)目單問題【例】在一張節(jié)目單中原有六個(gè)節(jié)目，若保持這些節(jié)目的相對(duì)順序不變，再添加進(jìn)去三個(gè)節(jié)目，則所有不同的添加方法共有多少種？解析：-o-o-o-o-o-o-

六個(gè)節(jié)目算上前后共有七個(gè)空位，那么加上的第一個(gè)節(jié)目則有種方法；此時(shí)有七個(gè)節(jié)目，再用第二個(gè)節(jié)目去插八個(gè)空位有種方法；此時(shí)有八個(gè)節(jié)目，用最后一個(gè)節(jié)目去插九個(gè)空位有種方法。由乘法原理得，所有不同的添加方法為：。三.關(guān)燈問題【例】一條馬路上有編號(hào)1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盞路燈，為了節(jié)約用電，可以把其中的三盞燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰兩盞或三盞，則所有不同的關(guān)燈方法有多少種？解析：如果直接解答須分類討論，故可把六盞亮著的燈看作六個(gè)元素，然后用不亮的三盞燈去插七個(gè)空位（用不亮的3盞燈去插剩下亮的6盞燈空位，就有7個(gè)空位）共有種方法，因此所有不同的關(guān)燈方法為種。四.停車問題【例】停車場(chǎng)劃出一排12個(gè)停車位置，今有8輛車需要停放，要求空位置連在一起，不同的停車方法有多少種？解析：先排好8輛車有種方法，要求空位置連在一起（剩下4個(gè)空位在一起，來插入8輛車，有9個(gè)空位可以插），將空位置插入其中有種方法。所以共有種方法。五.座位問題【例】3個(gè)人坐在一排8個(gè)椅子上，若每個(gè)人左右兩邊都有空位，則坐法的種類有多少種？解法：先拿出5個(gè)椅子排成一排，在5個(gè)椅子中間出現(xiàn)4個(gè)空，再讓3個(gè)人每人帶一把椅子去插空，于是有種。捆綁法解答：根據(jù)題目要求，則其中一個(gè)盒子必須得放2個(gè)，其他每個(gè)盒子放1個(gè)球，所以從6個(gè)球中挑出2個(gè)球看成一個(gè)整體，則有，這個(gè)整體和剩下4個(gè)球放入5個(gè)盒子里，則有。方法是排列組合中的解題方法之插板法一、基礎(chǔ)理論：插板是一個(gè)無形的東西即板子，它不能代表一個(gè)元素，它區(qū)別于插空法。插板法是用于解決“相同元素”分組問題。判斷插板法的題目主要看題干中的兩個(gè)詞語(yǔ)：①相同元素

②至少為1，

如果有這樣兩個(gè)詞語(yǔ)一般此題就可以直接插板進(jìn)行解題。引例說明：春節(jié)前單位慰問困難職工，將10份相同的慰問品分給6名職工，每名職工至少要分得1份慰問品，分配方法共有：A.84種

B.126種

C.210種

D.252種【分析】此題第一眼給人的感覺是能用列舉法進(jìn)行分類解題，但是細(xì)一思考分類的情況太多了，不易計(jì)算，因?yàn)橄胗貌灏宸ń忸}一般是分兩類或三類。而插板法就可以使這種為題迎刃而解。利用無形的板子把其分割開來?！窘馕觥俊?0份慰問品相同且每人至少得1份”，滿足插板法的兩個(gè)前提①相同元素②至少為1，故可直接使用插板法。將10份慰問品依次排成一條直線，我們用插板的形式把慰問品分給6名職工，中間形成9個(gè)空，插上第1個(gè)板子，則第一個(gè)板子之前的分給第一名職工，在后面又插了一個(gè)板子，表示第1個(gè)板子和第2個(gè)板子之間的分給第二名職工，依次類推，因?yàn)橐纸o6個(gè)人，所以要插5個(gè)板子，第5個(gè)板子之后的分給第六名職工，所以只要板子固定了，那么每名職工分幾份慰問品就固定了。所以10分慰問品中間形成了9個(gè)空;分給6個(gè)